函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性的討論（Word）

1、西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)系本科畢業(yè)論文開題報告論文題目二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性的討論畢業(yè)年份2010.6系院數(shù)學(xué)系專業(yè)、班級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)06級2班學(xué)生姓名韓曉莉?qū)W號02101060211指導(dǎo)教師胡洪萍一、擬開展研究的價值和意義 二元函數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)及可微性是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念，深刻理解并掌握此內(nèi)容及它們之間的關(guān)系有著重要的應(yīng)用價值。在我們的教材中對于該部分的內(nèi)容比較粗略，比較淺顯，二元函數(shù)連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)及可微性一直也是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中的一個難點，使初學(xué)者在學(xué)習(xí)過程中常遇到一些困難，因此有必要對此部分有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)、探討，對教材內(nèi)容做一適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和擴(kuò)展，也對初學(xué)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析有一定的借

2、鑒作用. 二、研究的步驟方法1.選題定內(nèi)容：根據(jù)自己的能力，結(jié)合理論意識和現(xiàn)實意義，選擇有現(xiàn)實針對性的內(nèi)容。2.收集資料：在題目所涉及的領(lǐng)域中廣泛收集材料，并將材料分為理論材料和現(xiàn)實材料，對所收集的材料進(jìn)行分析、比較、篩選。3.確定主要參考書目：從相關(guān)的材料中篩選與論文密切相關(guān)的參考書目為只要參考文獻(xiàn)，再進(jìn)一步進(jìn)行精讀分析。4.寫開題報告和資料綜述：在開題報告中確定研究內(nèi)容的范圍和論文提綱。5.撰寫論文：完成論文寫作一稿，二稿，三稿，在此過程中與指導(dǎo)老師聯(lián)系，請求相關(guān)問題。6.答辯前的準(zhǔn)備：對自己的論文和資料進(jìn)行重新閱讀，理清思路，抓住重點，實事求是，謙虛謹(jǐn)慎。7.定稿：論文經(jīng)導(dǎo)師同意后，定稿

3、打印，對打印格式進(jìn)行校對。8.答辯。三、論文擬定提綱（一）二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)及可微的定義 1. 連續(xù)的定義 2.偏導(dǎo)的定義 3.可微的定義（二）二元函數(shù)連續(xù)性的進(jìn)一步研究（三）舉例說明二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、可微性之間的關(guān)系（四）舉例說明二元函數(shù)可微性、連續(xù)性之間的關(guān)系（五）舉例說明二元函數(shù)連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)及可微性之間關(guān)系1 / 19四、主要參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（下）M . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 112 2 吉米多維奇. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集M . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-783馬振民. 數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講M. 蘭州: 蘭州大學(xué)出版社,

4、1999: 36-54.4 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.5 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析M . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.6 李超. 有關(guān)多元函數(shù)連續(xù)性的幾個新結(jié)論J. 韶關(guān)學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2002，23（6）: 1-6.7 周良正，王愛國. 偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)連續(xù)及可微的關(guān)系J. 高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版）.2005，19（5）: 1-4.8 何鵬，余文輝，雷敏斂. 二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)、可微等諸條件間關(guān)系的研究J. 南昌高專學(xué)報. 2005，61（6）: 1-2.9 黃梅英. 淺談二元函數(shù)

5、可微性J. 三名師專學(xué)報. 2000，17（1）: 1-5.10 龔俊新. 二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系J. 湖北師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2000，20（3）: 1-3.指導(dǎo)教師意見及建議簽字： 胡洪萍09年 3 月 10 日系（院）主管主任意見及建議簽字（蓋章）： 年 月 日 注：此表前4項由學(xué)生填寫后，交指導(dǎo)教師簽署意見，經(jīng)主管系主任審批后，才能開題。西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)系本科畢業(yè)論文進(jìn)度表論文題目二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性的討論學(xué)生姓名韓曉莉?qū)I(yè)班級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)06級2 班指導(dǎo)教師胡洪萍寫作提綱審核指導(dǎo)意見： 論文提綱的內(nèi)容層次清晰，簡明扼要，重點突出，基本符合要求，作者對論

6、文內(nèi)容的結(jié)構(gòu)框架已基本做到了心中有數(shù)，建議：進(jìn)一步搜集更多的資料，并對搜集的資料整理歸類，力爭豐富論文內(nèi)容；能在對資料認(rèn)真分析、研讀的基礎(chǔ)，有更多的啟發(fā)，從而寫出自己更多的新觀點，使文章更具有創(chuàng)新性。簽字：胡洪萍 年月日初稿審核指導(dǎo)意見： 論文涉及的內(nèi)容對二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性的認(rèn)識有一定的指導(dǎo)意義，正文寫作思路基本明確，論述比較充分，條理層次清晰。但對于文章的語言不夠精煉，個別段落的標(biāo)題不夠恰當(dāng)，不夠準(zhǔn)確，文章中的有些銜接語言不夠貼切。希望認(rèn)真閱讀論文，糾正類似錯誤，同時注意第三到第五部分應(yīng)先寫出結(jié)論，再給予證明，找出連續(xù)與偏導(dǎo)、偏導(dǎo)與可微、連續(xù)與可微之間存在的關(guān)系。簽字：胡洪萍 年

7、月日二稿審核指導(dǎo)意見： 在一稿的基礎(chǔ)上有了一定的改進(jìn)，主要問題多已解決，特別是一稿中第三到第五部分的修改。請注意數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確性,認(rèn)真斟酌畫紅線的句子，將第三部分放到最后，并去掉結(jié)束語，注意完善。簽字：胡洪萍 年月日三稿審核指導(dǎo)意見：經(jīng)過前兩次的修改，論文的結(jié)構(gòu)已比較完整，各部分基本符合論文的寫作規(guī)范。希望對文章中的個別錯別字，語句不通順的地方以及標(biāo)點符號作全面的檢查糾正，并且按照西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)士學(xué)位論文格式要求排版，力求版面整齊和諧。 簽字：胡洪萍年月日定稿審核指導(dǎo)意見：經(jīng)過多次的修改，論文的內(nèi)容及論述觀點已科學(xué)合理，能重點圍繞二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性展開論述，有一定的自己的觀點

8、，文章結(jié)構(gòu)合理，格式規(guī)范，內(nèi)容充實，排版合理。達(dá)到了論文題目對內(nèi)容的要求,論文可以定稿。簽字：胡洪萍 年月 日實驗方法、技術(shù)審核指導(dǎo)意見：在論文的寫作過程中，作者能夠按照指導(dǎo)教師提供的查找資料途徑，合理、有效地利用圖書館、實驗室及網(wǎng)絡(luò)，加強(qiáng)對資料的收集整理與分析。簽字： 年 月 日讀書筆記或?qū)嶒炗涗浨闆r：論文完成期間，作者查閱了大量的相關(guān)文獻(xiàn)資料，并認(rèn)真地撰寫了近萬字的讀書筆記。通過讀書筆記反映了該同學(xué)在論文撰寫中進(jìn)行了充分的準(zhǔn)備工作，掌握了較為科學(xué)的研究問題的手段和方法。簽字：胡洪萍 2009年 5月 31日分類號： 西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)士學(xué)位論文二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性的討論系 院

9、名 稱 數(shù) 學(xué) 系 指 導(dǎo) 老 師 胡 洪 萍 學(xué) 生 姓 名 韓 曉 莉 學(xué) 生 學(xué) 號 02101060211 專 業(yè)、班 級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)06級2班 提 交 時 間 二一年五月二十一 西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)系二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性的討論韓曉莉（西安文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710065）摘要： 本文對多元函數(shù)微分學(xué)中連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及可微三個概念之間的關(guān)系作了較為詳細(xì)的論述，并給出了簡潔全面的證明，同時給出相應(yīng)的反例加以說明，用實例說明了它們的無關(guān)性與在一定條件下所具有的共性.關(guān)鍵詞： 二元函數(shù)；連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)；可微多元函數(shù)微分學(xué)的內(nèi)容與一元函數(shù)微分學(xué)的內(nèi)容大體上是平行的，但在注意多元

10、函數(shù)與一元函數(shù)的共性的同時，特別要注意多元函數(shù)所具有的特性.二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念，在一般的教材中對于該部分內(nèi)容的介紹比較粗略，比較淺顯，本文就二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性在教材相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步的探討、研究，對教材內(nèi)容做一些適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和擴(kuò)展，為后繼課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).1 二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的定義定義1 設(shè)為定義在點集上的二元函數(shù),(它或者是的聚點，或者是的孤立點).對于任給的正數(shù)，總存在相應(yīng)的正數(shù)，只要，就有 則稱關(guān)于集合在點連續(xù)，也稱在點連續(xù).若在上任何點都關(guān)于集合連續(xù)，則稱為上的連續(xù)函數(shù). 定義2 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在

11、，而在處有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù).如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點處對(或?qū)?的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是，的函數(shù)，稱它為函數(shù)對自變量（或?qū)Γ┑钠珜?dǎo)函數(shù).定義3 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，對于中的點,若函數(shù)在點處的全增量可表示為 , 其中A,B是僅與點有關(guān)的常數(shù)，是較高階的無窮小量，則稱函數(shù)在點處可微，并稱上式中關(guān)于，的線性函數(shù)AB為函數(shù)在點的全微分，記作 . 2 二元函數(shù)的連續(xù)性 一元函數(shù)若在某點存在左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，則這個一元函數(shù)必在這點連續(xù)，但對于二元函數(shù)來說，即使它在某點既存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，又存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，也未必在點連續(xù).不過，我們卻有

12、如下定理：定理1 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,若作為的一元函數(shù)在點=連續(xù),在內(nèi)有界,則在點連續(xù).證明 任取, 則= (1)由于在存在,故對于取定的, 作為的一元函數(shù)在以和+為端點的閉區(qū)間上可導(dǎo),從而據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中的拉格朗日中值定理,存在(0 ,1) ,使將它代入(1) 式, 得 = . (2)由于 ,故有界,因而當(dāng)時, 有0.又據(jù)定理的條件知,在=連續(xù),故當(dāng)時, 又有0.所以, 由(2) 知, 有 = 0.這說明在點連續(xù).推論1 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若作為的一元函數(shù)在點=連續(xù),在點 連續(xù),則在點連續(xù).證明 由于在點 連續(xù),故必在點的某鄰域內(nèi)有界,因而據(jù)定理1 ,在點連續(xù).推論2 設(shè)

13、函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義. 若在有界, 存在,則 在點連續(xù).證明 由于存在,故作為的一元函數(shù)在點=連續(xù),因而據(jù)定理1 ,在點 連續(xù).推論3 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若在點連續(xù), 存在,則在點連續(xù).證明 由于在點連續(xù),故必在點的某鄰域內(nèi)有界. 又由于存在,故作為的一元函數(shù)在點=連續(xù),因而據(jù)定理1 ,在點連續(xù).同理可證如下的定理2及其推論.定理2 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域有定義,在內(nèi)有界,作為的一元函數(shù)在點=連續(xù),則在連續(xù).推論1 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義, 在點連續(xù), 作為的一元函數(shù)在點=連續(xù),則在點連續(xù).推論2 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,在內(nèi)有界, 存在,則在點 連續(xù).推論3 設(shè)函數(shù)在點的某

14、鄰域有定義, 在點連續(xù), 存在,則在點連續(xù).3 二元函數(shù)在點偏導(dǎo)與可微的關(guān)系定理3 若二元函數(shù)在點可微，則在該點關(guān)于每個自變量的偏導(dǎo)數(shù)存在且為.證明 如果函數(shù)在點可微，的某個鄰域，則總成立，當(dāng)=0，上式仍成立，此時，所以存在，同理可證存在.注意 函數(shù)在某點可微，在該點偏導(dǎo)數(shù)必存在;但在某點偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在該點卻不一定可微.例1 證明函數(shù)=在原點存在兩個偏導(dǎo)數(shù)但不可微. 證明 由于= = =0 = = =0所以函數(shù)在原點兩個偏導(dǎo)數(shù)存在.下證函數(shù)在原點不可微，用反證法，設(shè)函數(shù)在原點可微，于是 =+=0 =(0+,0+)-(0,0)=特別取=，有= =所以=0這說明比不是高階無窮小，（當(dāng)時）此與可

15、微的定義矛盾，故函數(shù)=在原點不可微.4 二元函數(shù)在點可微與連續(xù)的關(guān)系定理4 若二元函數(shù)在其定義域內(nèi)一點可微，則在該點必然連續(xù).證明 事實上， 故在連續(xù).注意 函數(shù)在某點可微，則在該點連續(xù);但在某點連續(xù)，函數(shù)在該點卻不一定可微.例2 證明函數(shù)=在點連續(xù)，但在該點不可微.證明 ,有 =2 則>0， ，當(dāng)<時，有 <則在連續(xù)，即在點連續(xù).又因為不存在 不存在所以在點不存在偏導(dǎo)數(shù)，即在該點不可微.5 二元函數(shù)在點連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系對于二元函數(shù)可微的充分性條件，一般的數(shù)學(xué)分析教材如華東師范大學(xué)編的數(shù)學(xué)分析是這樣敘述的： 若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點的某鄰域內(nèi)存在，且與在點處連續(xù)，則函數(shù)在點可

16、微.關(guān)于二元函數(shù)可微的充分性條件，如果完全放棄對兩個偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性要求，從另一個條件出發(fā)，仍可得到可微的充分條件的另一命題.定理5 若函數(shù)在點的鄰域G內(nèi)連續(xù)，存在，則函數(shù)在點可微.證明 對于鄰域G內(nèi)任意一點，函數(shù)有全增量 = =由于一元函數(shù)在點的鄰域G內(nèi)滿足微分中值定理條件，有（0<<1）已知在點連續(xù)，故有=（，）又由于存在，故一元函數(shù)在可導(dǎo)，于是有 （）從而有 = =而 （）或 ，于是 即函數(shù)在點可微.注意 這個條件是可微的充分條件并非必要條件，即在的鄰域G內(nèi)存在但不連續(xù)，但在點也可微.例3 設(shè)函數(shù)= ，討論在原點 （1）是否存在 （2）是否連續(xù) （3）是否可微.解 （1）由定義

17、知= = =0 所以是否存在.（2）因為當(dāng)時，偏導(dǎo)數(shù)存在，故 ，而不存在，故在原點不連續(xù).（3）因為， 所以在原點可微.對于二元函數(shù)在某點的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在，兩者之間沒有必然的聯(lián)系，即在某點偏導(dǎo)數(shù)存在與否，與其在該點是否連續(xù)無關(guān).例4 證明函數(shù)=（圓錐）在原點的連續(xù)性，但偏導(dǎo)數(shù)不存在.證明 因為 =0 = 所以在原點連續(xù). 又因為 = =此極限不存在，因此在原點關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)不存在，同理可證，在原點關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)也不存在.例5 證明函數(shù)= ，在原點存在偏導(dǎo)數(shù)但不連續(xù).證明 由偏導(dǎo)數(shù)的定義有 = =0 同理可證=0，即在原點關(guān)于與的偏導(dǎo)數(shù)存在.又因為當(dāng)動點沿直線而趨于定點時，由于此時 所以 =此結(jié)

18、果說明動點沿不同斜率的直線趨于定點時，對應(yīng)得極限值也不同，故在原點沒有極限，從而不連續(xù).以上兩例說明在某點偏導(dǎo)數(shù)存,在點可以不連續(xù)；在某點連續(xù)，在點偏導(dǎo)數(shù)也可能不存在.即在某點偏導(dǎo)數(shù)存在與否，與其在該點是否連續(xù)無關(guān).結(jié)束語本文以上的討論說明了函數(shù)在某點的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及其在該點是否可微之間的關(guān)系，它們雖然沒有直接的聯(lián)系，但當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時，其可微性、連續(xù)性都存在了.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（下）M . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 112 2 吉米多維奇. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集M . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-783馬振民. 數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選

19、講M. 蘭州: 蘭州大學(xué)出版社, 1999: 36-54.4 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.5 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析M . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.6 李超. 有關(guān)多元函數(shù)連續(xù)性的幾個新結(jié)論J. 韶關(guān)學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2002，23（6）: 1-6.7 周良正，王愛國. 偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)連續(xù)及可微的關(guān)系J. 高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版）.2005，19（5）: 1-4.8 何鵬，余文輝，雷敏斂. 二元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微等諸條件間關(guān)系的研究J. 南昌高專學(xué)報. 2005，61（6）:

20、 1-2.9 黃梅英. 淺談二元函數(shù)可微性J. 三名師專學(xué)報. 2000，17（1）: 1-5.10 龔俊新. 二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系J. 湖北師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2000，20（3）: 1-3.Dual function continuity, partial derivative and differentiability discussionHAN Xiao-li（Department of Mathematics, Xian University of Arts and Science, Xian 710065,China） Abstract：This article to the function of many variables differential calculus in continuously, between the partial derivative and the differentiable three concept's relations has made a more detailed elaboration, and has given the succinct comprehen