外接球問題典型例題

1、在三棱柱中，已知,，此三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為（ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的性質(zhì);球內(nèi)接多面體;球體積的公式.【答案解析】A解析 ：解：直三棱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，（如圖），中，下底面的外心為的中點(diǎn)，同理，可得上底面的外心為的中點(diǎn)，連接，則與側(cè)棱平行，所以平面再取中點(diǎn)，可得：點(diǎn)到的距離相等，點(diǎn)是三棱柱外接球的球心中，即外接球半徑，因此，三棱柱外接球的球的體積為：故選：A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意并結(jié)合空間線面垂直的性質(zhì)，可得三棱柱外接球的球心是上下底面斜邊中點(diǎn)的連線段的中點(diǎn)在直角中，利用勾股定理算出的長(zhǎng)，即得外接球半徑的大小，再用球的體積公式即可算出所求外接球的體積四面

2、體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積（ ）A25p B45p C50p D100p【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的外接球的表面積的求法;割補(bǔ)法的應(yīng)用.【答案解析】C解析 ：解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以,為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，則有（2R）2=x2+y2+z2=50（R為球的半徑），得R2=，所以球的表面積為S=4R2=50故選：C【思路

3、點(diǎn)撥】將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，通過求解長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則它的外接球的表面積的值為 【知識(shí)點(diǎn)】球內(nèi)接多面體【答案解析】解析 ：解：正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)為：1；對(duì)角線長(zhǎng)為：，棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球半徑為所以外接球的表面積為，故答案為.【思路點(diǎn)撥】正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，求出直徑即可求出外接球半徑,可求外接球的表面積已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為

4、_。【答案】【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱平面四邊形中，,將其沿對(duì)角線折成四面體,使平面平面，若四面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為 （ ）（A） （B） （C） （D）1.A 根據(jù)題意，如圖，可知中，在中，,又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以球心就是的中點(diǎn)，半徑為，所以球的體積為： 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（ ）A B C D【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R，則棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，R2=

5、（4R）2+（）2，R=，球的表面積為4（）2=故選：A一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積【答案解析】解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為，如圖：其中OA=OB=OC=1，SO平面ABC，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，則，得x=，外接球的半徑R=，幾何體的外接球的表面積S=4=.【思路點(diǎn)撥】由三視圖解決幾何問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；再求幾何體的外接球的表面積與體積時(shí)，能直接確定圓心位置的可通過圓心

6、位置求球的半徑，若圓心位置難以確定可考慮用補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體外接球問題.如圖，三棱錐中，它的三視圖如下，求該棱錐的正視圖俯視圖側(cè)視圖（）全面積；（）內(nèi)切球體積；（）外接球表面積【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù) 三視圖的定義正確讀取三棱錐中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，幾何體內(nèi)切球半徑、外切球半徑的求法.【答案解析】(1)；(2) ；(3)解析 ：解：（1）由三視圖可知此三棱錐是：底面是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形ABC，頂點(diǎn)P在底面上射影是底面直角三角形斜邊中點(diǎn)E，且高為 4的三棱錐。側(cè)面PAB、PAC的高都是5，底面斜邊長(zhǎng)，所以全面積為：（2）設(shè)內(nèi)切球球心O,半徑r，則由得，解得r=,所以內(nèi)切球體積為（3）設(shè)外接

7、球球心M，半徑R,M在高PE所在直線上，因?yàn)?,所以,解得R=，所以外接球表面積為?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）三視圖的定義正確讀取三棱錐中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而求得三棱錐的全面積.（2）內(nèi)切球球心與三棱錐各頂點(diǎn)連線，把原三棱錐分割成四個(gè)小三棱錐，利用等體積法求內(nèi)切球半徑。（3）分析外切球球心位置，利用已知的數(shù)量，求外切圓半徑。三棱錐的外接球?yàn)榍颍虻闹睆绞?，且都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則三棱錐的體積是（ ） A B C D 【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的體積【答案解析】A解析：因?yàn)榻孛鍮OC與直徑AD垂直，而BO=CO=，所以三角形BOC為等腰直角三角形，其面積為，而AD=，所以三棱錐的體積為，選A【思路點(diǎn)撥】求

8、棱錐的體積若直接利用所給的底面求體積不方便時(shí)，可通過換底面法或補(bǔ)形法或分割法求體積，本題采取分割法求體積即把一個(gè)棱錐分割成兩個(gè)棱錐的體積的和.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積【答案解析】解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為，如圖：其中OA=OB=OC=1，SO平面ABC，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，則，得x=，外接球的半徑R=，幾何體的外接球的表面積S=4=.【思路點(diǎn)撥】由三視圖解決幾何問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；再求幾何體的外接球的表面積與體積時(shí)，能直接確定圓心位置的可通過圓心位置求球的半徑，若圓心位置難以確定可考慮用補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體外接球問題.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此