傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換

1、錯過這篇文章，可能你這輩子不懂什么叫傅里葉變換了（一）圖片：TMAB2003 / CC BY-ND如果看了這篇文章你還不懂傅里葉變換，那就過來掐死我吧 Heinrich，生娃學(xué)工打折腿這篇文章的核心思想就是：要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。傅里葉分析不僅僅是一個數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實說，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實在是太嚴肅了。（您把教材寫得好玩一點會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分

2、析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻，仔細讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)。以上是定場詩下面進入正題：抱歉，還是要啰嗦一句：其實學(xué)習(xí)本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心里想著：以后有時間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個頁面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多一、嘛叫頻域從我們出生，我們看到的世界都以

3、時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當(dāng)然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。先舉一個公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過的例子：在你的理解中，一段音樂是什么呢？這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：好的！下課，同學(xué)們再見。是的，其實這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂在時域的樣

4、子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已?，F(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的。將以上兩圖簡化：時域：頻域：在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恒的音符。所（前方高能！非戰(zhàn)斗人員退散）以（前方高能預(yù)警前方高能）你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。（眾人：雞湯滾出知乎?。┍?，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個例子里我們可以理解為，利用對

5、不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。二、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)還是舉個栗子并且有圖有真相才好理解。如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：第一幅圖是一個郁悶的正弦波 cos（x）第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos(x)+a.cos(3x)第三幅圖是 4 個發(fā)春的正弦波的疊加

6、第四幅圖是 10 個便秘的正弦波的疊加隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？（只要努力，彎的都能掰直?。╇S著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就

7、開始有意思起來了。還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。好了，關(guān)鍵的地方來了！如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。對于我們最常

8、見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。（好吧，數(shù)學(xué)稱法為基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）時域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波 cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。正弦波就是一

9、個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓知乎不能傳動態(tài)圖真是太讓人惋惜了想看動圖的同學(xué)請戳這里：File:Fourier series square wave circles animation.gif以及這里：File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif點出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：這是什么奇怪的東西？這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一

10、般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是再清楚一點：可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項的振幅都是 0，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。動圖請戳：File:Fourier series and transform.gif老實說，在我學(xué)傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜相位譜。但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似

11、混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢？我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當(dāng)時想想似懂非懂，直到有一

12、天我學(xué)到了傅里葉級數(shù)這三種變換都非常重要！任何理工學(xué)科都不可避免需要這些變換。這三種變換的本質(zhì)是將信號從時域轉(zhuǎn)換為頻域。傅里葉變換的出現(xiàn)顛覆了人類對世界的認知：世界不僅可以看作雖時間的變化，也可以看做各種頻率不同加權(quán)的組合。舉個不太恰當(dāng)?shù)睦樱阂皇卒撉偾穆曇舨ㄐ问菚r域表達，而他的鋼琴譜則是頻域表達。三種變換由于可以將微分方程或者差分方程轉(zhuǎn)化為多項式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的計算成本。另外，在通信領(lǐng)域，沒有信號的頻域分析，將很難在時域理解一個信號。因為通信領(lǐng)域中經(jīng)常需要用頻率劃分信道，所以一個信號的頻域特性要比時域特性重要的多。具體三種變換的分析（應(yīng)該是四種）是這樣的：傅里葉分析包

13、含傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。傅里葉級數(shù)用于對周期信號轉(zhuǎn)換，傅里葉變換用于對非周期信號轉(zhuǎn)換。但是對于不收斂信號，傅里葉變換無能為力，只能借助拉普拉斯變換。（主要用于計算微分方程）而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。（主要用于計算差分方程）從復(fù)平面來說，傅里葉分析直注意虛數(shù)部分，拉普拉斯變換則關(guān)注全部復(fù)平面，而z變換則是將拉普拉斯的復(fù)平面投影到z平面，將虛軸變?yōu)橐粋€圓環(huán)。（不恰當(dāng)?shù)谋确骄褪悄欠N一幅畫只能通過在固定位置放一個金屬棒，從金屬棒反光才能看清這幅畫的人物那種感覺。）我假定樓主對這些變換已有一些了解，至少知道這些變換怎么算。好了，接下來我將從幾個不同的角度來闡述這些變換。一個信號，通常用一個

14、時間的函數(shù)來表示，這樣簡單直觀，因為它的函數(shù)圖像可以看做信號的波形，比如聲波和水波等等。很多時候，對信號的處理是很特殊的，比如說線性電路會將輸入的正弦信號處理后，輸出仍然是正弦信號，只是幅度和相位有一個變化（實際上從數(shù)學(xué)上看是因為指數(shù)函數(shù)是線性微分方程的特征函數(shù)，就好像矩陣的特征向量一樣，而這個復(fù)幅度對應(yīng)特征值）。因此，如果我們將信號全部分解成正弦信號的線性組合（傅里葉變換），那么就可以用一個傳遞函數(shù)來描述這個線性系統(tǒng)。倘若這個信號很特殊，例如，傅里葉變換在數(shù)學(xué)上不存在，這個時候就引入拉普拉斯變換來解決這個問題。這樣一個線性系統(tǒng)都可以用一個傳遞函數(shù)來表示。所以，從這里可以看到將信號分解為正弦函

15、數(shù)（傅里葉變換）或者 復(fù)指數(shù)函數(shù)（拉普拉斯變換）對分析線性系統(tǒng)至關(guān)重要。如果只關(guān)心信號本身，不關(guān)心系統(tǒng)，這幾個變換的關(guān)系可以通過這樣一個過程聯(lián)系起來。首先需要明確一個觀點，不管使用時域還是頻域（或s域）來表示一個信號，他們表示的都是同一個信號！關(guān)于這一點，你可以從線性空間的角度理解。同一個信號，如果采用不同的坐標(biāo)框架（或者說基向量），那么他們的坐標(biāo)就不同。例如，采用作為坐標(biāo)，那么信號就可以表示為，而采用則表示為傅里葉變換的形式。線性代數(shù)里面講過，兩個不同坐標(biāo)框架下，同一個向量的坐標(biāo)可以通過一個線性變換聯(lián)系起來，如果是有限維的空間，則可以表示為一個矩陣，在這里是無限維，這個線性變換就是傅里葉變換

16、。如果我們將拉普拉斯的域畫出來，他是一個復(fù)平面，拉普拉斯變換是這個復(fù)平面上的一個復(fù)變函數(shù)。而這個函數(shù)沿虛軸的值就是傅里葉變換。到現(xiàn)在，對信號的形式還沒有多少假定，如果信號是帶寬受限信號，也就是說只在一個小范圍內(nèi)（如）不為0。根據(jù)采樣定理，可以對時域采樣，只要采樣的頻率足夠高，就可以無失真地將信號還原出來。那么采樣對信號的影響是什么呢？從s平面來看，時域的采樣將沿虛軸方向作周期延拓！這個性質(zhì)從數(shù)學(xué)上可以很容易驗證。z變換可以看做拉普拉斯變換的一種特殊形式，即做了一個代換，T是采樣的周期。這個變換將信號從s域變換到z域。請記住前面說的那個觀點，s域和z域表示的是同一個信號，即采樣完了之后的信號。只

17、有采樣才會改變信號本身！從復(fù)平面上來看，這個變換將與軸平行的條帶變換到z平面的一個單葉分支。你會看到前面采樣導(dǎo)致的周期延拓產(chǎn)生的條帶重疊在一起了，因為具有周期性，所以z域不同的分支的函數(shù)值是相同的。換句話說，如果沒有采樣，直接進行z變換，將會得到一個多值的復(fù)變函數(shù)！所以一般只對采樣完了后的信號做z變換！這里講了時域的采樣，時域采樣后，信號只有間的頻譜，即最高頻率只有采樣頻率一半，但是要記錄這樣一個信號，仍然需要無限大的存儲空間，可以進一步對頻域進行采樣。如果時間有限（這與頻率受限互相矛盾）的信號，那么通過頻域采樣（時域做周期擴展）可以不失真地從采樣的信號中恢復(fù)原始信號。并且信號長度是有限的，這

18、就是離散傅里葉變換(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里葉變換(FFT)。為什么我要說DFT呢，因為計算機要有效地對一般的信號做傅里葉變換，都是用DFT來實現(xiàn)的。除非信號具有簡單的解析表達式！總結(jié)起來說，就是對于一個線性系統(tǒng)，輸入輸出是線性關(guān)系的，不論是線性電路還是光路，只要可以用一個線性方程或線性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）來描述的系統(tǒng)，都可以通過傅里葉分析從頻域來分析這個系統(tǒng)的特性，比單純從時域分析要強大得多！兩個著名的應(yīng)用例子就是線性電路和傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。甚至非線性系統(tǒng)，也在很多情況里面使用線性系統(tǒng)的東西！所以傅里葉變換才這么重要！你看最早傅里葉最早也是為了求解熱傳導(dǎo)方

19、程（那里其實也可以看做一個線性系統(tǒng)）！傅里葉變換的思想還在不同領(lǐng)域有很多演變，比如在信號處理中的小波變換，它也是采用一組基函數(shù)來表達信號，只不過克服了傅里葉變換不能同時做時頻分析的問題。最后，我從純數(shù)學(xué)的角度說一下傅里葉變化到底是什么。還記得線性代數(shù)中的代數(shù)方程嗎？如果A是對稱方陣，可以找到矩陣A的所有互相正交的特征向量和特征值，然后將向量x和b表示成特征向量的組合。由于特征向量的正交關(guān)系，矩陣的代數(shù)方程可以化為n個標(biāo)量代數(shù)方程，是不是很神奇！你會問這跟傅里葉變換有毛關(guān)系啊？別急，再看非齊次線性常微分方程，可以驗證指數(shù)函數(shù)是他的特征函數(shù)，如果把方程改寫為算子表示，那么有，這是不是和線性方程的特

20、征向量特征值很像。把y 和 z都表示為指數(shù)函數(shù)的線性組合，那么經(jīng)過這種變換之后，常微分方程變?yōu)闃?biāo)量代數(shù)方程了！而將y和z表示成指數(shù)函數(shù)的線性組合的過程就是傅里葉變換（或拉普拉斯變換）。在偏微分方程如波動方程中也有類似結(jié)論！這是我在上數(shù)理方程課程的時候體會到的。歸納起來，就是說傅里葉變換就是線性空間中的一個特殊的正交變換！他之所以特殊是因為指數(shù)函數(shù)是微分算子的特征函數(shù)！一般頻域用傅里葉，復(fù)數(shù)域用 拉普拉斯復(fù)變函數(shù)表示下的微分方程可以通過laplace變換變成普通方程。Laplace變換起源于傅立葉變換，只不過是對傅立葉變換進行了拓展，從時間t>0開始進行積分運算，比較適合實際物理模型。對一

21、個系統(tǒng)進行分析和研究，首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，也就是要建立反映該系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達式，即偏微分方程，利用Laplace變換可以將偏微分方程化成常微分方程，將常微分方程化為代數(shù)方程，根據(jù)這個代數(shù)方程求出像函數(shù)，然后再取逆變換求出原微分方程的解。類似于傅利葉變換完成時域和頻域轉(zhuǎn)換一樣，拉普拉斯變換將一個信號從時域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域。從數(shù)學(xué)上講應(yīng)用拉普拉斯變換將指數(shù)關(guān)系運算轉(zhuǎn)換乘法關(guān)系運算，因此可用來解常變量齊次微分方程，拉普拉斯變換可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。拉普拉斯變換（英文：Laplace Transform)，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。應(yīng)用拉氏變換：（1）求解方程得到簡化。且初始條件自動包含在變換式里。（2）拉氏變換將“微分”變換成“乘法”，“積分”變換成“除法”。即將微分方程變成代數(shù)方程。拉氏變換將時域中卷積運算變換成“乘法”運算。 (3)利用系統(tǒng)函數(shù)零點、極點分布分析系統(tǒng)的規(guī)律。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優(yōu)點，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性（見信號流程圖、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運動過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系