高三數(shù)學復習專題8平面向量

1、2017屆高三數(shù)學復習專題8平面向量1(2015·課標，7，易)設D為ABC所在平面內(nèi)一點，3，則()A. B.C. D.1A考向1如圖所示，在ABC中，.又3，.2(2014·課標，6，易)設D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則()A. B. C. D.2A考向1如圖，()·2.3(2012·廣東，3，易)若向量(2，3)，(4，7)，則()A(2，4) B(2，4)C(6，10) D(6，10)3A考向3(2，3)(4，7)(2，4)4(2013·遼寧，3，易)已知點A(1，3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為(

2、)A. B.C. D.4A考向2(3，4)，|5.與同方向的單位向量為.故選A.5(2012·安徽，8，中)在平面直角坐標系中，點O(0，0)，P(6，8)，將向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得向量，則點Q的坐標是()A(7，) B(7，)C(4，2) D(4，2)5A考向3由題意，得|10，由三角函數(shù)定義，設P點坐標為(10cos ，10sin )，則cos ，sin .則Q點的坐標應為.由三角函數(shù)知識得10 cos 7，10sin，所以Q(7，)故選A.思路點撥：向量旋轉(zhuǎn)前后模保持不變，因此求Q點的坐標關(guān)系是求出旋轉(zhuǎn)后與x軸正向的夾角，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解6(2014·

3、;北京，10，易)已知向量a，b滿足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，則|_.6考向3【解析】ab0，ab.|a|b|，|·|a|b|，|·1，|.【答案】7(2013·四川，12，易)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，則_7考向1【解析】如圖，因為ABCD為平行四邊形，所以2，已知，故2.【答案】28(2014·陜西，18，12分，中)在直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上(1)若0，求|；(2)設mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值8

4、考向1，3解：(1)方法一：0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，解得x2，y2，即(2，2)，故|2.方法二：0，則()()()0，()(2，2)，|2.(2)(x，y)，(1，2)，(2，1)mn，(x，y)(m2n，2mn)，得，mnyx，令mnt，由圖知，當直線yxt過點B(2，3)時，t取得最大值，故mn的最大值為1.思路點撥：(1)根據(jù)向量相等，求出P點坐標后求|；(2)根據(jù)向量相等，將mn轉(zhuǎn)化為x，y的關(guān)系，變換為線性規(guī)劃問題平面向量的線性運算是高考對平面向量考查的一個重點內(nèi)容，主要考查三角形法則及平行四邊形法則的應用，通常有兩個考查角度：(1)向量

5、的線性表示；(2)加(減)法運算幾何意義的應用考題多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目，所占分值為5分 1(1)(2014·浙江，8)記maxx，yminx，y設a，b為平面向量，則()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2(2)(2015·北京，13)在ABC中，點M，N滿足2，若xy，則x_；y_.【解析】(1)方法一：對于平面向量a，b，|ab|與|ab|表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度，而根據(jù)平面幾

6、何知識可得，平行四邊形兩對角線長度的較小者與相鄰兩邊長度的較小者，沒有確定的大小關(guān)系，故選項A，B均錯；又|ab|，|ab|中的較大者與|a|，|b|一定構(gòu)成非銳角三角形的三條邊，由余弦定理知，必有max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故選項D正確，選項C錯誤方法二：若a，b同向，令|a|2，|b|3，這時|ab|5，|ab|1，min|ab|，|ab|1，min|a|，|b|2；若令|a|2，|b|6，這時|ab|8，|ab|4，min|ab|，|ab|4，而min|a|，|b|2，顯然對任意a，b，min|ab|，|ab|與min|a|，|b|的大小關(guān)系不確定，即選項A、B均錯同理

7、，若a，b同向，取|a|1，|b|2，則|ab|3，|ab|1，這時max|ab|2，|ab|29，而|a|2|b|25，不可能有max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故選C項錯(2)如圖，在ABC中，()，x，y.【答案】(1)D(2) 1.(2013·江蘇，10)設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_1【解析】()，又12，1，2.12.【答案】2(2014·課標，15)已知A，B，C為圓O上的三點，若()，則與的夾角為_2【解析】由()可知O為BC的中點，即BC為圓O的直徑，又因為直徑所對的圓周角為

8、直角，所以BAC90°，所以與的夾角為90°.【答案】90°,解題(1)的關(guān)鍵是結(jié)合向量模的幾何意義，加減運算的幾何意義，通過圖形分析得到正確選項；也可從選擇題的特點入手，通過對a，b特殊化，從而得到|ab|，|ab|的值，通過比較大小關(guān)系排除錯誤選項，得出正確答案解題(2)的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，正確運用平面向量加減運算的三角形法則，通過對向量的逐步分解即可求得結(jié)果平面向量線性運算的解題策略(1)用已知向量表示某個向量問題的基本解題思路觀察各個向量的位置，特別注意平行關(guān)系；尋找相應的三角形或多邊形；利用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果其中要特別注意結(jié)論：若AD是ABC的中線，則有

9、()(2)構(gòu)造三角形或平行四邊形分析向量模之間的關(guān)系根據(jù)向量線性運算的幾何意義，涉及比較分析向量的模之間的大小關(guān)系等問題，均可構(gòu)造三角形或平行四邊形，通過三角形中的邊角關(guān)系來確定向量模之間的關(guān)系高考對共線向量定理、平面向量基本定理的考查主要有以下幾個方面：(1)利用共線向量定理求參數(shù)的值；(2)利用平面向量基本定理結(jié)合向量的線性運算對向量進行分解；(3)在坐標表示的前提下由向量共線求參數(shù)值或?qū)ο蛄窟M行分解一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，分值為5分 2(1)(2012·大綱全國文，9)ABC中，AB邊的高為CD，若a，b，a·b0，|a|1，|b|2，則()A.ab

10、B.abC.ab D.ab(2)(2015·課標，13)設向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_【解析】(1)方法一：a·b0，ACB90°，AB，CD.BD，AD，ADBD41.()ab.方法二：如圖，以C為原點，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系由已知得A(2，0)，B(0，1)又因為CDAB，所以可求得D，于是，而a(0，1)，b(2，0)，若設xayb，則有即故ab.(2)因為ab與a2b平行，所以存在實數(shù)，使ab(a2b)，即()a(12)b0.由于a，b不平行，所以解得.【答案】(1)D(2) 1.(2014·福建

11、，8)在下列向量組中，可以把向量a(3，2)表示出來的是()Ae1(0，0)，e2(1，2) Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10) De1(2，3)，e2(2，3)1B方法一：若e1(0，0)，e2(1，2)，則e1e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1(1，2)，e2(5，2)，因為，所以e1，e2不共線，根據(jù)平面向量基本定理，可以把向量a(3，2)表示出來，故選B.方法二：因為a(3，2)，若e1(0，0)，e2(1，2)，不存在實數(shù)，使得ae1 e2，排除A；若e1(1，2)，e2(5，2)，設存在實數(shù)，使得ae1 e2，則(3，2)(5，22)，所

12、以解得所以a2e1e2，故選B.2(2012·四川，7)設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|2C因為向量的方向與向量a相同，向量的方向與向量b相同，且，所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項A，B，D.當a2b時，故a2b是成立的充分條件,求解向量共線問題的注意事項(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線(3)若a與

13、b不共線且ab，則0.(4)直線的向量式參數(shù)方程，A，P，B三點共線(1t)·t(O為平面內(nèi)任一點，tR)(5)(，為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則1.應用平面向量基本定理應注意的問題(1)只要兩個向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時，合理地選擇基底會給解題帶來方便(2)利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算高考對平面向量坐標運算的考查主要有以下幾個方面：(1)用坐標進行線性運算；(2)在坐標表示下兩向量共線與垂直條件的應用；(3)用坐標運算進行向量的分解高考中該類問題多以客觀題的形式出

14、現(xiàn)，難度一般，為中低檔題目，分值為5分 3(1)(2014·陜西，13)設0<<，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _(2)(2013·北京，13)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，R)，則_【解析】(1)因為ab，所以sin 2cos2，即2sin cos cos2.因為0<<，所以cos 0，得2sin cos ，所以tan .(2)以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)，則A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1

15、，3)cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即解得2，4.【答案】(1)(2)4 在考題展示(1)中，若，a，b的坐標不變，且ab，求tan 的值解：由于ab，所以a·b0，即sin 2·cos cos 0，因為<<，所以cos 0，于是sin 21，即2，從而，故tan tan1.,平面向量坐標運算的方法技巧(1)向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用(2)利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)1(2016&#

16、183;山東濟南二模，3)已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個點，若20，則向量等于()A. BC2 D21C考向1因為，所以22()()20，所以2，故選C.2(2015·河北邯鄲一模，5)已知向量a(2，3)，b(1，2)，若(manb)(a2b)，則等于()A2 B2 C D.2C考向3由題意得manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，故選C.3(2016·四川成都一模，4)在ABC中，D是AB邊上一點，3，且，則的值為()A. B C. D3B考向2依題意有()，故.4(2015·浙江杭州質(zhì)檢，5)設

17、O是ABC的外心，若，則BAC等于()A30° B45° C60° D90°4 C考向1取BC的中點D，連接AD，則2.由題意，得32，O為ABC的重心又O為ABC的外心，ABC為正三角形，BAC60°，故選C.5(2016·山東濰坊一模，8)若M是ABC內(nèi)一點，且滿足4，則ABM與ACM的面積之比為()A. B. C. D25A考向1設AC的中點為D，則2，于是24，從而2，即M為BD的中點，于是.6(2015·陜西西安質(zhì)檢，14)已知向量e1，e2是兩個不共線的向量，若a2e1e2與be1e2共線，則_.6考向2【解析】

18、依題意，設akb，即2e1e2k(e1e2)，于是解得.【答案】7 (2015·河南開封二模，13)平面直角坐標系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(1，c)(c>0)，且|OC|2，若，則實數(shù)，的值分別是_7考向3【解析】|2，|21c24，c>0，c.，(1，)(1，0)(0，1)，1，.【答案】1，8(2015·安徽阜陽一模，14)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點若，則_8考向2【解析】方法一：由，得·()·()，則0，得0，得0.又因為，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以.方法二

19、：如圖，連接MN并延長交AB的延長線于T，由已知易得ABAT，.T，M，N三點共線，.【答案】1(2016·課標，3，易)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A8 B6 C6 D81D考向1方法一：ab(4，m2)，(ab)b，(ab)·b0，即122(m2)0，解得m8.方法二：(ab)b，(ab)·b0，即a·bb20.32m940，解得m8.2(2016·課標，3，易)已知向量，則ABC()A30° B45° C60° D120°2A考向2如圖易知|1，則60°，30

20、°，ABC30°.3(2016·山東，8，中)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，則實數(shù)t的值為()A4 B4 C. D3B考向1由題意得，cosm，n，所以m·nn2.因為n·(tmn)0，所以tm·nn20，即tn2n20，所以t4.4(2015·山東，4，易)已知菱形ABCD的邊長為a，ABC60°，則·()Aa2 Ba2C.a2 D.a24D考向1，且，·()··2|cos 60°|2a2a2a2.故選D.5(2014

21、83;重慶，4，易)已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，則實數(shù)k()A B0 C3 D.5C考向22a3b(2k3，6)，由(2a3b)c，得4k660，解得k3.故選C.6(2014·課標，3，易)設向量a，b滿足|ab|，|ab|，則a·b()A1 B2 C3 D56A考向2由|ab|得a2b22a·b10，由|ab|得a2b22a·b6，得4a·b4，a·b1，故選A.7(2013·福建，5，易)在四邊形ABCD中，(1，2)，(4，2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D107

22、C考向3·(1，2)·(4，2)0，故.故四邊形ABCD的對角線互相垂直，面積S|××25，故選C.8(2015·安徽，8，中)ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A|b|1 BabCa·b1 D(4ab)8D考向1在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以a·b|a|b|cos 120°1，所以(4ab)·(4ab)·b4a·b|b|24×(1)40，所以(4ab)，故選D.9(2013·湖南，8，中)

23、已知a，b是單位向量，a·b0，若向量c滿足|cab|1，則|c|的最大值為()A.1 B.C.1 D.29C考向3建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意知ab，且a與b是單位向量，可設a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即點C(x，y)的軌跡是以M(1，1)為圓心，1為半徑的圓而|c|，|c|的最大值為|OM|1，即|c|max1，故選C.思路點撥：由于a，b是相互垂直的單位向量，故可建立直角坐標系，根據(jù)向量加法、減法以及模的幾何意義進行求解，求解向量問題要善于運用數(shù)形結(jié)合的思想10(2014·天津，8，中)已

24、知菱形ABCD的邊長為2，BAD120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BEBC，DFDC.若·1，·，則()A. B. C. D.10C考向1以，為基向量，則·()·()22(1)·4()2(1)1.·(1)·(1)2(1)(1).由可得.11(2016·課標，13，易)設向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_11考向2【解析】方法一：ab(m1，3)，又|ab|2|a|2|b|2.(m1)232m215，解得m2.方法二：由|ab|2|a|2|b|2，得a·b0

25、，即m20，解得m2.【答案】212(2015·湖北，11，易)已知向量，|3，則·_12考向1【解析】··()2·9.【答案】913(2014·江西，14，中)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _13考向2【解析】a·b(3e12e2)·(3e1e2)929×1×1×8.|a|2(3e12e2)29412×1×1×9，|a|3.|b|2(3e1e2)2916×1×1

26、5;8，|b|2，cos .【答案】14(2012·安徽，14，中)若平面向量a，b滿足|2ab|3，則a·b的最小值是_14考向3【解析】由向量的數(shù)量積知，|a|b|a·b|a|b|a|·|b|a·b(當且僅當a，b時等號成立)由|2ab|34|a|24a·b|b|2994a·b4|a|2|b|24|a|b|4a·ba·b(當且僅當2|a|b|，a，b時取等號)，a·b的最小值為.【答案】思路點撥：先由|2ab|3找出a·b與|a|·|b|之間關(guān)系，再利用基本不等式及數(shù)量積

27、的定義求最值.平面向量數(shù)量積的概念與計算是高考對平面向量考查的一個重點內(nèi)容，主要從以下幾個角度考查：(1)對數(shù)量積定義式的理解與應用；(2)在具體平面圖形中計算數(shù)量積的值；(3)求一個向量在另一個向量方向上的投影這類考題一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，多為中低檔題目，所占分值為5分 1(1)(2015·陜西，7)對任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A|a·b|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)·(ab)a2b2(2)(2015·四川，7)設四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4.若點M，N滿足3，2，則·()

28、A20B15C9D6(3)(2013·課標，13)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·_.【解析】(1)根據(jù)a·b|a|b|cos ，又cos 1，知|a·b|a|b|，A恒成立；當向量a和b方向不相同時，|ab|>|a|b|，B不恒成立；根據(jù)|ab|2a22a·bb2(ab)2，C恒成立；根據(jù)向量的運算性質(zhì)得(ab)·(ab)a2b2，D恒成立(2)如圖所示，由題意知，AD，··|2|2··×36×169.(3)方法一：如圖，以A為坐標原點，AB，AD所

29、在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(1，2)于是(1，2)，(2，2)，故·1×(2)2×22.方法二：由于四邊形ABCD為正方形，且邊長為2，所以·()·()·()|2·|2220×222.【答案】(1)B(2)C(3)2 1.(2013·湖北，6)已知點A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為()A. B. C D1A由(2，1)，(5，5)，得·15，|5.·|cos ，|cos ，.故選

30、A.2(2012·天津，7)已知ABC為等邊三角形，AB2.設點P，Q滿足，(1)，R.若·，則()A. B. C. D.2A如圖，·，()·()，····.又，(1)，代入上式得(1)·(1)···.(*)ABC為等邊三角形，且|2，·|·|·cos 60°2×2×2，|24，|24，代入(*)式得42410，即(21)20，故選A.思路點撥：本題的關(guān)鍵在于將，用一組基底，來線性表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律，結(jié)合已

31、知條件建立參數(shù)的方程求解,求平面向量數(shù)量積的方法給出向量a，b，求a·b的三種方法：(1)若兩個向量共起點，且兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點不同，需要通過平移使它們的起點重合，然后再計算(2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量a，b，然后再根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進行計算求解(3)若圖形適合建立平面直角坐標系，可建立坐標系，求出a，b的坐標，通過坐標運算法則求得求向量a在向量b方向上的投影的方法(1)根據(jù)定義求，即a在b方向上的投影為|a|cosa，b；(2)利用數(shù)量積求解，即a在b方向上的投影為.平面向量的夾角與模的

32、計算問題是高考的熱點內(nèi)容，一般有以下幾個考查角度：(1)求兩個向量的夾角；(2)求某一個向量的模；(3)由向量垂直求參數(shù)值等高考對該類問題的考查往往會將知識進行交匯考查，多為中低檔題目，難度一般，主要以客觀題形式出現(xiàn)，所占分值為5分 2(1)(2015·重慶，6)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A.B.C.D(2)(2014·大綱全國，4)若向量a，b滿足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，則|b|()A2 B. C1 D.(3)(2013·山東，15)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實數(shù)

33、的值為_【解析】(1)設|b|x，a，b，則|a|x，a·bx2cos .(ab)(3a2b)，(ab)·(3a2b)0，3a22a·b3a·b2b20，即3×x2x2cos 2x20，cos ，cos .0，故選A.(2)因為(ab)a，所以(ab)·a0，即|a|2a·b0，又因為|a|1，所以a·b1.又因為(2ab)b，所以(2ab)·b0，即2a·b|b|20，所以|b|22，所以|b|.(3)，·0，()·0，即()·()·22·0.

34、向量與的夾角為120°，|3，|2，(1)|·cos 120°940，解得.【答案】(1)A(2)B(3) 1.(2014·四川，7)平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m()A2 B1 C1 D21Dcmab(m4，2m2)，a·c5m8，b·c8m20.由兩向量的夾角相等可得，即為，解得m2.2(2013·天津，12)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點若·1，則AB的長為_2【解析】方法一：由題意可知，.因為·1，

35、所以()·1，則2·21.因為|1，BAD60°，所以·|，因此式可化為1|21.解得|0(舍去)或，所以AB的長為.方法二：以A為原點，AB為x軸建立如圖的直角坐標系，過D作DMAB于點M.由AD1，BAD60°，可知AM，DM.設|AB|m(m0)，則B(m，0)C，D.因為E是CD的中點，所以E.所以，.由·1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故AB的長為.【答案】,求解兩個非零向量之間的夾角的步驟第一步，由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數(shù)量積；第二步，分別求出這兩個向量的?；蛘页鰞蓚€模之間的關(guān)系；第三步，根據(jù)公式c

36、osa，b(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)求解出這兩個向量夾角的余弦值；第四步，根據(jù)兩個向量夾角的范圍為0，及其余弦值，求出這兩個向量的夾角求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|及(a±b)2|a|2±2a·b|b|2，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算(2)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解平面向量中的最值或范圍問題也是高考考查的重點，多以下列角度進行考查：(1)求數(shù)量積的最值或范圍；(2)求模的最值；(3)求夾角的最值或范圍；(4)求其他參數(shù)的取值范圍或最值這類考題往往具有較強的綜

37、合性，難度較大，多以客觀題形式出現(xiàn)，所占分值為5分 3(1)(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°，動點E和F分別在線段BC和DC上，且，則·的最小值為_(2)(2011·浙江，14)若平面向量，滿足1，1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_【解析】(1)方法一：如圖，分別過C，D作CNAB于N，DMAB于M，則AMBN，CDMN1.·()·()2·····412·2，當且僅當，即時等號成立，此時&

38、#183;有最小值.方法二：在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60°，可得ADDC1.建立平面直角坐標系如圖所示，則A(0，0)，B(2，0)，C，D，(2，0)，(1，0)，E.，F(xiàn).··2.當且僅當，即時取等號，符合題意·的最小值為.(2)如圖，向量與在單位圓O內(nèi)，由于|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故以向量，為兩邊的三角形的面積為，故的終點在如圖所示的線段AB上，因此夾角的取值范圍為.【答案】(1)(2) (2011·課標全國，10)已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題：p1：|ab|&

39、gt;1p2：|ab|>1p3：|ab|>1 p4：|ab|>1其中的真命題是()Ap1，p4Bp1，p3Cp2，p3Dp2，p4A|a|b|1，且0，若|ab|>1，則(ab)2>1，a22a·bb2>1，即a·b>，cos a·b>，；若|ab|>1，同理求得a·b<，cos a·b<，p1，p4正確，故選A.,解題(1)時，方法一：將，轉(zhuǎn)化為已知向量和夾角，并由向量的模和向量的夾角得·關(guān)于的表達式，然后利用均值不等式求得最值；方法二：考慮到圖形中線段長度和夾角已知

40、較多，故可以建立坐標系，通過坐標運算得到·關(guān)于的表達式，然后利用均值不等式求得最值；解題(2)時，考慮到已知條件的特點，可運用數(shù)形結(jié)合的方法求解求解平面向量最值或范圍問題的常見方法(1)利用不等式求最值解題時要靈活運用不等式|a|b|a±b|a|b|.(2)利用函數(shù)思想求最值常利用“平方技巧”找到向量的模的表達式，然后利用函數(shù)思想求最值，有時也常與三角函數(shù)知識結(jié)合求最值(3)利用數(shù)形結(jié)合思想求最值要充分利用平面向量“形”的特征，充分挖掘向量的模所表示的幾何意義，從圖形上觀察分析出模的最值1(2016·廣東佛山質(zhì)檢，3)已知向量a(2，0)，b(1，1)，則下列結(jié)論

41、正確的是()Aa·b2 BabCb(ab) D|a|b|1C考向1由已知得ab(1，1)，于是b·(ab)0，故b(ab)2(2016·遼寧大連一模，6)如圖，在ABC中，AB1，AC3，D是BC的中點，則·()A3 B4C5 D不能確定2B考向1由于D是BC的中點，所以()又因為，所以·()·()(|2|2)4.3(2016·陜西西安質(zhì)檢，7)已知向量a，b滿足|a|3，|b|2，且a(ab)，則b在a方向上的投影為()A3 B3 C D.3B考向1由a(ab)得a·(ab)0，即|a|2a·b0，于是

42、a·b9，因此b在a方向上的投影為3.4(2015·浙江溫州二模，5)已知|a|1，a·b，(ab)21，則a與b的夾角等于()A30° B45° C60° D120°4C考向2設a與b的夾角為，因為a·b|a|b|·cos ，且|a|1，所以|b|cos .又(ab)2|a|2|b|22a·b1，即1|b|211，故|b|1.由得cos .又0°180°，所以60°.故選C.5(2016·河北石家莊一模，7)已知平面向量a(1，x)，b(2，y)，且ab

43、，則|ab|的最小值等于()A1 B. C. D35D考向3由ab可得1×2xy0，即xy2，于是|ab|3.6(2016·吉林長春一模，8)非零向量a，b滿足2a·ba2b2，|a|b|2，則a與b的夾角的最小值是()A. B. C D6B考向3設a與b的夾角為，則cos |a|·|b|，又|a|b|22，所以|a|b|1，故cos ，所以，即a與b的夾角的最小值是.7(2016·福建廈門二模，13)已知正方形ABCD的邊長為a，則|等于_7考向2【解析】|2|2|22·2a2a22a·a·5a2，于是|a.【答

44、案】a8(2016·浙江杭州質(zhì)檢，9)已知BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，2，則·的值是_8考向1【解析】因為，所以·()·()|2·()·0(1).【答案】9(2015·山東淄博一模，14)若a，b是兩個非零向量，且|a|b|ab|，則b與ab夾角的取值范圍是_9考向3【解析】設a，b，以OA與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，因為|a|b|，所以四邊形OACB是菱形，設BOC，則OBC2.在OBC中，由正弦定理可得，化簡得cos ，由得，所以，所以b，ab.【答案】10(2016·山西太原聯(lián)考，14)已知單

45、位向量e滿足|ae|a2e|，則向量a在e方向上的投影等于_10考向2【解析】由|ae|a2e|得(ae)2(a2e)2，于是|a|22a·e1|a|24a·e4，解得a·e，于是向量a在e方向上的投影為.【答案】11(2016·山東濟寧一模，14)定義a*b是向量a和b的“向量積”，其長度|a*b|a|b|sin ，其中為向量a與b的夾角若u(2，0)，uv(1，)，則|u*(uv)|_.11考向2【解析】因為u(2，0)，uv(1，)，所以v(1，)，從而uv(3，)若設u與(uv)的夾角為，則cos ，從而sin ，故|u*(uv)|u|·

46、;|uv|·sin 2×2×2.【答案】2思路點撥：本題為新定義問題，按照所給定義，關(guān)鍵是求出u與(uv)的夾角的正弦值，可以由已知條件求出二者的坐標，再根據(jù)數(shù)量積求出夾角的余弦值，從而求得正弦值，最后由公式即得所求1(2016·天津，7，中)已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則·的值為()A B. C. D.1B考向2方法一：，·()×1×1××1×1×，選B.方法二：以BC為x軸，E為坐標原點建立如圖

47、所示平面直角坐標系，易知A，B，E(0，0)，C，D.又2，設F(x，y)，2(x，y)，x，y，F(xiàn)，··(1，0)0.2(2016·四川，10，難)在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足|，···2，動點P，M滿足|1，則|2的最大值是()A. B.C. D.2B考向2由題意，|，所以D到A，B，C三點的距離相等，D是ABC的外心···2···()·0，所以DBAC，同得可得，DABC，DCAB，從而D是ABC的垂心ABC的外心與垂心重合，因此ABC是正三角形，且D是A

48、BC的中心·|cosADB|·|×2|2，所以正三角形ABC的邊長為2.如圖，以A為原點建立直角坐標系，則B(3，)，C(3，)，D(2，0)由|1，設P點的坐標為(cos ，sin )，其中0，2)，而，故M是PC的中點，可知M的坐標為，則|2.3(2012·湖南，7，中)在ABC中，AB2，AC3，·1，則BC()A. B. C2 D.3A考向1··()·21，·5，即2×3cos A5，cos A.由余弦定理得BC2AB2AC22AB·ACcos A3，BC，故選A.思路點撥：先

49、根據(jù)數(shù)量積求出角A的三角函數(shù)值，再由余弦定理求BC.4(2012·江西，7，中)在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則()A2 B4 C5 D104D考向2方法一：如圖，以C為原點，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標系設A(a，0)，B(0，b)，則D，P.從而|PA|2|PB|2(a2b2)10|PC|2，故10.方法二：因為，且2，兩式平方相加得22222424242202，故10.5(2014·安徽，10，難)在平面直角坐標系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，a·b0，點Q滿足(ab)曲線CP|acos bsi

50、n ，02，區(qū)域P|0r|R，rR若C為兩段分離的曲線，則()A1rR3 B1r3RCr1R3 D1r3R5A考向1由題意，可取a(1，0)，b(0，1)，則(，)，(cos ，sin )，(cos ，sin )，|2(cos )2(sin )252(cos sin )54sin.0<2，<，1|29，即1|3.因為C為兩段分離的曲線，結(jié)合圖象(如圖)可知，1<r<R<3.故選A.思路點撥：根據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)，求出曲線C的軌跡，動點Q滿足的條件，再根據(jù)區(qū)域上點的特征，通過數(shù)形結(jié)合求解6(2012·廣東，8，難)對任意兩個非零的平面向量和，定義.若平面向

51、量a，b滿足|a|b|>0，a與b的夾角，且ab和ba都在集合中，則ab()A. B1 C. D.6C根據(jù)題中給定的兩個向量的新運算可知a·b，ba.又由可得<cos <1，由|a|b|>0可得0<1，于是0<<1，即ba(0，1)，又由于ba，所以，即|a|2|b|cos .同理>，將代入后得2cos2>，又由于ab，所以ab2cos2(nZ)，于是1<<2，故n3，cos ，|a|b|，ab×，故選C.7(2016·浙江，15，難)已知向量a，b，|a|1，|b|2，若對任意單位向量e，均有|a·e|b·e|，則a·b的最大值是_7【解析】由題意，|a·e|b·e|，即，即對任意單位向量e，向量a在e上的投影的模與向量b在e上的投影的模的和小于等于，當e與a