鄞中物理奧賽培訓教材第一版知識框架

1、第一講 力的種類和受力分析【賽點知識】一、自然界中常見的力我們在日常生活中會遇到各種各樣的力，如重力、繩中的張力、摩擦力、地面的支撐力和空氣的阻力等，從最基本的層次看，上述各種力屬于四大范疇：（1）引力；（2）電磁力；（3）弱力；（4）強力。這里我們只介紹開頭列舉的那幾種常見的力。（一）萬有引力宇宙間存在于任何兩個有質量的質點之間的相互吸引力稱萬有引力。式中，Nm2/kg2 ，為萬有引力常量；為A，B兩質點的質量，表示兩質點的距離。重力來源于地球對物體的吸引。在地球表面附近，物體的重力大小，方向豎直向下。物體的各個部分都受到重力的作用，我們把它等效地認為是作用在物體的重心上。在一般情況下，在地

2、球表面附近的小范圍可以認為重力是不變的。若在大范圍內考慮，并計及地球自轉的影響，則同一物體的重力是可變的，重力將隨距地面的高度、不同的緯度而不同，它實際上是萬有引力的一個分力。（二）彈力物體在受力產生形變時，有恢復原狀的趨勢，這種抵抗外力力圖恢復原狀的力就是彈力。對于彈簧的彈力，在彈性限度內，彈簧的彈力和彈簧伸長（或壓縮）的長度成正比式中，為彈簧的勁度系數(shù)，由彈簧本身性質所決定（如匝數(shù)、材料及彈簧的粗細等）；為彈簧的形變量，負號表示彈力的方向與形變的方向相反，彈簧伸長時取正。其它彈力的大小只能據(jù)狀態(tài)求。彈力的方向：應為恢復形變的方向，在實際問題中可理解為垂直接觸面的方向；對繩子或柔軟體，沿繩方

3、向；對二力桿則沿桿方向。彈簧的連接：（1）彈簧的串聯(lián)：將勁度系數(shù)分別為的幾個彈簧串聯(lián)，串聯(lián)后等效的勁度系數(shù)為，則。（2）彈簧的并聯(lián)：將勁度系數(shù)分別為的幾個彈簧并聯(lián)，在形變相同的情況下，并聯(lián)后等效的勁度系數(shù)為，則。（三）摩擦力兩個相互接觸的物體間有相對運動或者有相對運動趨勢時，這兩個物體的接觸面上就會出現(xiàn)阻礙相對運動的進行或阻礙相對運動發(fā)生的力，這就是摩擦力。前者是滑動摩擦力，后者是靜摩擦力。方向與相對運動或相對運動趨勢方向相反，沿接觸面的切線方向。靜摩擦力大?。?式中，為最大靜摩擦力，；為靜摩擦系數(shù)，它由相互接觸物體的質料和表面情況決定，并且有。滑動摩擦力大?。?摩擦力的起因及微觀機理，尚有許

4、多未知領域，有待進一步探討。但實驗指出，接觸面過于粗糙或過于光滑又清潔時，摩擦因數(shù)都會增大。相對速度過小或過大。滑動摩擦因數(shù)也要變化，不過在通常情況下，這種變化不明顯，可以忽略不計。所以在一般的分析計算中，都認為摩擦因數(shù)不受接觸面積、接觸面粗糙程度和滑動速度的影響，一般給出的摩擦因數(shù)，都是在通常條件下，有實驗測出的平均值。滾動摩擦：滾動摩擦的產生是由圓柱體和地面接觸處的形變引起的。滾動摩擦一般遠小于滑動摩擦，所以它對物體的影響我們常不予考慮。以上談的都是固體之間的摩擦問題，下面簡短談談流體與固體之間的摩擦。流體（氣體或液體）不會對與它相對靜止的物體施加摩擦力，但要對在其中運動的物體施加阻力。粗

5、略地說，在流體的粘滯性較大，運動物體較小、較慢的情況下，阻力正比于和粘滯性（分別為運動速度，橫截面積）；在相反的情況下，阻力正比于和，但與粘滯性無關。通常在空氣中墜落、行駛或飛翔屬于后一種情況。二、受力分析研究力學問題的第一步工作就是對研究對象進行受力分析，正確的受力分析是解力學問題的前提。受力分析可按三種不同性質的力依次進行，簡稱四步曲。（1）先確定研究對象，并將“對象”隔離出來，必要時“轉換”研究對象。（2）分析“對象”受到的外力，按先重力、次彈力、再摩擦力的順序進行分析，不要邊分析邊處理力，畫出示意圖。（3）根據(jù)具體情況將力的合成或分解。（4）寫出運動條件，解方程，而后分析討論結果。【賽

6、題精析】例1均勻長棒一端擱在地面上，另一端用細線系在天花板上，如圖所示。若細線豎直，試分析棒的受力情況。例2如圖所示，木板A質量為M，以相對地面的速度在水平面上向東運動，木板上放一質量為的木板B，各接觸面間滑動摩擦因數(shù)為，當木塊B也有相對地面向東的速度時，試分析A、B木塊的受力情況。例3如圖所示，質量為的物體恰好能在傾角為的固定斜面上勻速下滑，如在物體上施加一個力使物體沿斜面勻速上滑，為了使力取得最小值，這個力與斜面的傾斜角為多大？這個力的最小值是多少？【習題精選】1 畫出圖中各種情況下靜止物體A的受力示意圖（小球均光滑）。2 如圖所示的皮帶傳動裝置中，O1 是主動輪，O2是從動輪，A，B分別

7、是皮帶上與兩輪接觸的點，C，D分別是兩輪邊緣與皮帶接觸的點（為清楚起見，圖中將兩輪與皮帶畫得略為開些，而實際上皮帶與兩輪是緊密接觸的）。當O1順時針起動時，若皮帶與兩輪間不打滑，則A，B，C，D各點所受摩擦力的方向分別是（ ）A向上、向下、向下、向上B向下、向上、向上、向下C向上、向上、向下、向下D向下、向下、向上、向下3 如圖所示，兩木塊的質量分別為和，兩輕質彈簧的勁度系數(shù)分別為和，上面木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開上面彈簧，在這過程中下面木塊移動的距離為（ ）ABCD4 質量為的小木塊，停放在水平地面上，它與地面的靜摩擦因數(shù)為，

8、一人想用最小的作用力使木塊移動，則最小的作用力=_。5 如圖所示，兩根勁度系數(shù)分別為和的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑細繩連接，把一光滑的輕滑輪放在細繩上，求當滑輪下掛一重為的物體時，滑輪下降的距離多大？6 如圖所示，質量為的木塊與水平面間無摩擦，靜止時各彈簧均處于原長，在圖中兩種情況下，求受一水平向右的力作用平衡后，木塊移動的距離。7 如圖所示，人字形梯置于鉛垂平面內，A，B兩處相同，當人爬至D處時系統(tǒng)失去平衡，此時A，B兩處何處先滑動。第二講 有固定轉動軸的物體平衡【賽點知識】力可以使物體發(fā)生轉動，物體轉動時，它的各點都沿圓周運動，圓周的中心在同一直線上，這條直線叫轉動軸，而一個力使物體轉動的

9、效果取決于力矩（力×力臂）。如果有幾個力作用在物體上，那么這幾個力共同對物體的轉動效果取決于它們力矩的代數(shù)和，力矩的代數(shù)和不等于零，物體將作變速轉動；力矩的代數(shù)和等于零，物體將保持靜止或勻角速轉動。實驗證實：有固定轉動軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和等于零或者說合力矩為零，即 或 【賽題精析】例1由邊長的兩個正方形均勻薄板構成“硬封面簿”，夾在水平放置的、半徑為的光滑圓木上。兩板用帶有鉸鏈的輕桿相連結，此系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求兩板間的夾角為多大？例2離地面高cm處，水平軸P上裝有均勻桿，桿的長度cm，質量kg，桿偏離豎直方向夾角，靠在位于地面上的半徑cm的球面上，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，

10、試求球與地面之間以及球與桿之間的摩擦力。例3一支桿秤，其秤錘已丟失，僅留下桿秤及一根細線，不用其他器材，如何確定丟失的秤錘的質量？例4如圖所示，三根長度均為的輕桿用鉸鏈連接并固定在水平天花板上的A，B兩點，A，B兩點相距為，今在鉸鏈C上懸掛一個質量為的重物，要使CD桿保持水平，則在D點上應施的最小力為多大？【習題精選】1 如圖所示，重球置于一光滑木板AB和光滑豎直墻壁之間，木板AB重力不計，可繞固定光滑鉸鏈A轉動，在B端施一始終豎直向上的力，使B端緩慢落下，直至AB成水平位置，這個過程中，下列說法正確的是（ ）A力及其力矩都變大B力及其力矩都變小C力變大，力矩變小D力變小，力矩變大2 一均勻的

11、直角三角形木板ABC，可繞通過C點的水平軸豎直于紙面轉動，如圖所示，現(xiàn)用一始終沿直角邊AB的作用于A點的力，使BC邊緩慢地由水平位置轉至豎直位置，在此過程中，力的大小隨角變化的圖線是圖（ ）3 如圖所示，兩根均勻桿AB和CD，長均為，重均為，AB桿的A的端用鉸鏈固定在墻壁上，其端與CD桿的C端用鉸鏈連接在一起，使兩根桿均可在豎直平面內轉動，現(xiàn)于桿上某點施一豎直向上的力，使AB桿和CD桿都保持水平，那么施力的作用點到桿的A端的距離為多少？所施加的大小又為多少？4 有六個完全相同的剛性長條薄片，其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的重力均可不計，現(xiàn)將六個薄片架在一只水平的碗口上，使每個薄片一端的小

12、突起搭在碗口上，另一端的小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將一質量為的質點放在薄片上的一點，這一點與此薄片中點的距離等于它與小突起的距離，求薄片中點所受的壓力。5 有一長為，重為的均勻桿AB，A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻面間的靜摩擦系數(shù)為，B端用一強度足夠且不可伸長的繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁C點，木桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為，如圖所示，求：（1）桿能保持平衡時，與應滿足的條件，（2）桿保持平衡時，桿上有一點P存在，若在A點與P點間任一點懸掛重物，則當重物的重量足夠大時總可以使平衡破壞，而在P點與B點之間任一點懸掛任意重量的重物，都不能使平衡破壞，求出這一點P與A點

13、的距離。6 輕質橫桿OB，O端用鉸鏈固定在墻上，B點用輕繩拉緊，使桿處于水平狀態(tài)，在B點掛重為的物體，如圖所示，AB和OB的夾角為，在把重物的懸點向O端移動的過程中，求墻對桿的作用力的最小值。7 三個直徑和重力都相同的圓木柱垛在一起，如圖所示。問：圓木柱之間摩擦因數(shù)最小為何值時，它們才不會滾散？（設圓木在地面上不可能滑動）8 一根長度為的桿AB重為，B端壓在粗糙的地面上，A端用一根足夠牢的輕繩斜拉在地上，繩與桿的夾角為，如圖所示，在離B端處有一水平作用力，問：（1）桿B端與地面之間的動摩擦因數(shù)至少為多大，才能維持桿靜止？（2）如果B端與地面之間的動摩擦因數(shù)為，那么在AB上有一點D，在AD之間不

14、論施加上多大的水平力，都不會破壞AB桿的平衡，求D點的位置。9 人對均勻細桿的一端施加力，方向垂直于桿，要將桿從地板上慢慢地無滑動地抬到豎直位置，試求桿與地板間的最小摩擦系數(shù)。10 如圖所示，用一段橡皮管將質量為的鋼噴管接到豎直水管的一端，試問：水的消耗量為多少才使噴管處于水平位置？（噴管的橫截面積為，長度為，摩擦不計）11 三根重為，長為的均質桿對稱擱在地上，底端相距也均為，如圖所示，求：（1）A桿頂端所受作用力的大小？（2）若一重為的人坐在A桿中點，則A桿頂端所受作用力變?yōu)槎嗌伲?2 （山東省1979年復賽題）今用一均勻的長為、重為的撬棒把一塊長為、重為的均勻預制板支起達平衡位置，如圖所示

15、，問垂直作用于撬棒上端點的作用力是多少？（假定預制板與撬棒的接觸處是光滑的，地面是粗糙的，角和角都是已知的）第三講 一般物體的平衡【賽點知識】一般物體的平衡條件是指物體既滿足平動的平衡條件，又滿足轉動的平衡條件，即其中，是指所有力對任一點的力矩的代數(shù)和為零，在滿足，的條件下，可以證明，當所有力對于某一點的力矩的代數(shù)和為零時，對任一點的力矩的代數(shù)和都等于零。因此，在實際應用時可以選擇適當?shù)霓D軸O，使方程得以簡化。上面所表示的只是平衡方程的基本形式，并不是唯一形式。平面一般力系的平衡方程還可以表示為以下兩種形式。1兩個力矩平衡方程形式，即三個平衡方程中有兩個力矩方程和一個投影方程，可寫為：其中，A

16、，B兩點的連線AB不能與軸垂直。因為滿足時，力系不可能簡化為一個力偶，只可能簡化為通過A點的一個合力。當也同時被滿足時，若有合力，則它必通過A，B兩點。但因為連線AB不能與軸垂直，故當也成立時，就充分證明了力系的合力必成立。故其一定是平衡力系，如圖所示。2三個力矩平衡方程形式，即三個平衡方程都是力矩方程，可寫為：其中，A，B，C三點不能共線。這一結論讀者可自行論證。這樣，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，每一種形式都只包含有三種獨立方程。因此，對一個受平面一般力系作用的平衡物體，可以也只能列出三個平衡方程，求解三個未知數(shù)。任何第四個方程都是前三個方程的線性組合，而不是獨立的。至于在實際應

17、用中采用何種形式的平衡方程，完全決定于計算是否簡便，要力求避免解聯(lián)立方程的麻煩?！举愵}精析】例1有兩個質量分別為，的光滑小環(huán)，套在豎直放置且固定的光滑大環(huán)中，并用細繩連接。平衡時細繩與豎直線的夾角為，如圖所示。已知細繩所對的圓心角為，試證明：。例2如圖所示，兩個質量分別為，的小環(huán)能沿著一輕繩光滑地滑動，繩的兩端固定于直桿上的A，B兩點，桿與水平成角，在桿上又套上1個輕小環(huán)，繩穿過輕桿，并使，在其兩側，環(huán)與直桿間無摩擦，系統(tǒng)處于平衡時，角如圖所示，求的值。例3如圖所示，AOB是一把等臂夾子，軸O處的摩擦可以忽略。若想在A，B處用力夾住一圓柱形物體C，則能否夾住與哪些因素有關？如果這一裝置能夾住C

18、，這些因素應滿足什么條件？（不考慮C的重力）例4如圖所示，勻質圓柱體夾在木板與豎直墻之間，其質量為，半徑為，與墻和木板間的摩擦因數(shù)均為，板很輕，其質量可忽略。板的一端O與墻用光滑鉸鏈相連，另一端A掛有質量為重物，OA長為，板與豎直墻夾角，試問：至少需要多大才能使系統(tǒng)保持平衡？并對結果進行討論。例5如圖所示，質量為，自然長度為，彈性系數(shù)為的彈性圈，水平放置于半徑為的固定性球上，不計摩擦。（1）設平衡時繩圈長，試求。（2）設，求繩圈的最后平衡位置及長度?！玖曨}精選】1 如圖所示，水平放置的兩個固定的光滑硬桿OA和OB成角，在兩桿上各套輕環(huán)P，Q，兩環(huán)用輕繩相連，現(xiàn)用恒力沿OB桿方向向右拉環(huán)，當兩環(huán)

19、穩(wěn)定時繩的拉力多大？2 跨過兩個光滑滑輪的線上，掛有三個質量分別為，和的重物，如圖所示。兩滑輪離懸掛點同一高度。求當整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，三個重物的質量之間的關系？這些條件是否總是能滿足？（不計摩擦）3 質量分別為和的兩個小球用長為的輕質硬桿相連，在如圖所示位置處于平衡狀態(tài)。桿與桌邊緣部分摩擦因數(shù)為，桌長為，球和豎直壁間沒有摩擦。為使桿平衡，問參數(shù)，和應滿足什么條件？4 如圖所示，小圓環(huán)A吊著一個重為的砝碼套在另一個豎直放置的大圓環(huán)上，有一細線，其一端拴在小圓環(huán)A上，另一端跨過固定在大圓環(huán)最高點B的一個小滑輪后吊著一個重為的砝碼。如果小環(huán)、滑輪、繩子的大小和質量以及摩擦都可以忽略不計，繩子又

20、不可以伸長，求平衡時弦AB所對的圓心角。5 四個半徑相同的均質球在光滑水平面上堆成錐形（俯視見圖所示），下面三球用細繩縛住。繩與三球心共面，各球重為，求繩內張力大小。6 如圖所示，將一長為，質量為且分布均勻的鏈條套在表面光滑的圓錐上，當鏈條靜止時，其張力為，求圓錐頂角。7 如圖所示，邊長為，質量為的立方塊置于傾角為的固定斜面上，半徑為，質量為的圓柱依次擱置成一排，物塊與圓柱、圓柱之間、圓柱與斜面均為光滑接觸，但物塊底面粗糙，其與斜面之間的靜摩擦系數(shù)為，試求保持系統(tǒng)靜止時，最多可依次放置多少個這種圓柱體？8 如圖所示，AB，BC，CD和DE為質量相等，長度為的四根均勻細桿，四根桿通過位于B，C，

21、D的光滑鉸鏈而鉸接起來，并以端點A和E置于粗糙水平面上，形成對稱弓形，而且在豎直平面內保持平衡，若平面與桿間摩擦系數(shù)等于025，試求AE的最大距離及C點離水平面的相應高度。9 半徑為，質量為的三個相同的球放在水平桌面上，兩兩相互接觸，用一高為的無底圓筒將三球剛好套于筒內，各處保持無變形接觸?，F(xiàn)取一質量亦為，半徑為的第四球置于三球正上方，俯視如圖所示，設各處靜摩擦系數(shù)均為，試求取何值時，用手豎直輕輕上提圓筒，能將四球一起提起來。10 把4塊完全相同的均勻磚塊由下而上依次疊放在桌子邊緣，如圖所示。要使最上面的磚塊伸出桌子邊緣最多，磚應如何疊放？磚塊伸出桌子邊緣的最大水平距離是多少？（設磚長為）11

22、 兩個相同長方體處于如圖所示位置，問當角為多少，它們才可能平衡？（長方體與臺面間摩擦因數(shù)為，長方體長為，寬為，它們之間摩擦不計。）12 如圖所示，在一個置于水平面上的表面光滑的半徑為的半圓柱面上，置有一條長為的均勻鏈條，鏈條的質量為，其兩端剛好分別與兩側的水平面相接觸。問：此鏈中張力的最大值為多少？13 質量為，長為的均勻桿AB下端靠在墻上，借助繩DC保持傾斜狀態(tài)，如圖所示，繩的一頭系在墻上C點，而另一頭系在桿上D點，。繩和桿分別與墻成角和，試求桿與墻之間一切可能的摩擦因數(shù)值。14 如圖所示，一光滑半球形容器，直徑為，其邊緣恰好與一光滑豎直的墻壁相切，現(xiàn)有一均勻直棒AB，其A端靠在墻上，B端與

23、容器底相接觸，當棒傾斜與水平成角時，棒恰好靜止，求棒的長度。15 A，B為全同物塊，按如圖所示鉸接于M，N，P三處，M，N在同一水平面上，A，B的重量可不計。頂邊水平，且各長3m；側邊豎直，高4m。今在B的頂上距P 15m處加豎直力N，求B對鉸鏈P的作用力。第四講 平衡的種類和液體靜平衡【賽點知識】一、物體平衡的種類物體平衡的種類有：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡。它是處于重力場以及其他有勢場的物體在場作用下的三種平衡情況，處于勢場的物體和場一起具有勢能，而物體都有向勢能較小位置運動的趨勢。a穩(wěn)定平衡當物體稍稍偏離平衡位置時，有一個力或力矩使之回到平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡。而且因穩(wěn)定平衡

24、是使物體處于勢能最小位置時的平衡，所以一旦對它有微小的擾動而使它離開平衡位置，外界就必須對它做功，這樣勢能就增加。b不穩(wěn)定平衡當物體稍稍偏離平衡位置時，它所受到的力或力矩使它偏離繼續(xù)增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平。所謂的不穩(wěn)定平衡也是指物體處于勢能最大時的平衡，使它離開平衡位置，外界不必對它做功，任何微小擾動，總引起重力對它做功，勢能減小，這樣它將繼續(xù)減小勢能，再也回不到原來那個勢能最大的位置。c隨遇平衡當物體稍稍偏離平衡位置時，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，它能在新的位置上再次平衡。所謂的隨遇平衡是指處于平衡狀態(tài)的物體，受到微小擾動后，勢能始終保持不變。因此可以在任意位置繼續(xù)保持平衡。二、物體平衡

25、種類的判別法（一）受力分析法當質點受到外界的擾動稍微偏離平衡位置后，如果所受合外力指向平衡位置，則此質點的平衡是穩(wěn)定的；如果所受的合外力背離平衡位置，則此質點的平衡是不穩(wěn)定的；如果所受的合外力為零，則此質點處于隨遇平衡狀態(tài)。（二）力矩比較法對于有支軸的剛性物體，當它受外界擾動而偏離平衡位置時，如果外力會引起一個回復力矩，此力矩有把物體拉回到原平衡位置的傾向，則稱物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；如果外力會引起一推斥力矩，它有把物體推離原平衡位置的傾向，則稱物體處于不穩(wěn)定平衡態(tài)；如果物體所受合力矩仍為零，則稱物體處于隨遇平衡態(tài)。（三）重心升降法對受重力和支持力作用而平衡的物體（包括質點和剛性物件），判斷其平

26、衡種類時，?？捎弥匦纳捣?。即若使物體稍微偏離平衡位置，如是重心升高，則稱穩(wěn)定平衡；若物體稍微偏離平衡位置，如其重心降低，則為不穩(wěn)定平衡；而若物體偏離平衡位置如其重心高度不變，則為隨遇平衡。（四）支面判斷法具有支面的物體平衡時，物體所受重力的作用線一定在支面內，如果偏離平衡位置后，重力作用線仍在支面內，物體就能回到平衡位置，屬于穩(wěn)定平衡；但如果物體傾斜較大時，重力的作用線超出支面，重力的力矩，會使物體繼續(xù)遠離原來的位置，即原來的平衡被破壞，利用這一點，常能為處理平衡種類的一些問題找到解題的突破口。三、液體靜平衡（一）靜止流體中的壓強液體內部某點處的壓強與方向無關，可用公式計算，式中的是指從該點

27、到液面的豎直距離，而不是到液面的距離。對于連通管來說，凡是在相連通的同種液體的相同高度處其壓強必相等，若不是同種液體，或者雖是同種液體，但中間夾有其他種液體或氣體時，上述關系就不一定能成立。對于盛有多層不同液體的容器內的壓強應分層計算，然后疊加起來。（二）浮力液體對物體的浮力表示為，式中的為物體浸沒于液體部分的體積，為液體的密度。液體對浸在其中的物體的浮力來自于液體的靜壓強，而液體的靜壓強則來自于液體的重量，當液體作加速運動時，其視重改變了，液體內的靜壓強以及液體對浸在其中的物體的浮力也隨之而改變。例：木塊漂浮于水面上，若把它們放于以加速度上升的升降機中，由于液體、木塊超重的倍數(shù)相同（液體的超

28、重相當于液體的密度變?yōu)樵瓉淼谋叮?，因而木塊浸入水中的體積將不發(fā)生變化。（三）浮體平衡的穩(wěn)定性浮在流體表面的浮體，所受浮力與重力大小相等、方向相反，處于平衡狀態(tài)，浮體平衡的穩(wěn)定性，將因所受擾動方式的不同而異。顯然，浮體對鉛垂方向的擾動，其平衡是穩(wěn)定的，對于水平方向的擾動，其平衡是隨遇的。浮體對于過質心的水平對稱軸的旋轉擾動，其平衡的穩(wěn)定性視具體情況而定。以浮于水面的船體為例：當船體向右傾斜（即船體繞過質心的水平對稱軸轉動一小角度）時，其浮心B將向右偏離，浮力與重力構成一對力偶，力偶矩將促使船體恢復到原來的方向，如圖所示，可見船體對這種擾動，其平衡是穩(wěn)定的，但如果船體的重心太高，船體傾斜所造成的力

29、偶矩也可能使船體傾斜加劇，這時船體的平衡就是不穩(wěn)定的，如圖所示?！举愵}精析】例1如圖所示，固定在豎直平面內的橢圓環(huán)，其長軸沿豎直方向，有兩個完全相同的小圓環(huán)套在橢圓環(huán)上，不計質量的輕線將兩個小圓環(huán)連接在一起，輕線跨過位于橢圓焦點F的水平軸，小圓環(huán)與輕線系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，不計各處的摩擦，小圓環(huán)的大小忽略不計。試分析說明，系統(tǒng)屬于哪一種平衡狀態(tài)？例2如圖所示，半徑為的均質圓柱體置于水平位置的半徑為的圓柱上，母線互相垂直，設兩圓柱間靜摩擦系數(shù)足夠大，不會發(fā)生相對滑動，試求穩(wěn)定平衡時，和應滿足的關系。例3兒童玩具“不倒翁”高m，質量g，相對軸KD對稱分布，不倒翁的下部是半徑cm的部分球面，如圖所示。如

30、果不倒翁放在與水平面傾斜成角的粗糙面上，當它的軸KD與豎直方向偏角，則處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖所示。為了使它在水平桌面上失去穩(wěn)定平衡，就要在頭頂K點上固定塑泥，試問最少需加多少塑泥？例4一根均勻細桿懸在水面上不動，如圖所示，桿可繞桿上端的水平軸O在豎直平面內轉動。桿的長度為，桿的材料密度為（小于水的密度）。當緩慢放下軸時，桿浸入水中。試求桿與豎直線的偏角與從軸到水面距離的關系?！玖曨}精選】1 在蠟燭的底部插入一個鐵釘后，豎立在水中，蠟燭露出水面1cm，已知蠟燭的密度為水的密度的09倍，現(xiàn)將蠟燭點燃，蠟燭燃燒多長后才可熄滅？2 用輕繩連接的三個動滑輪組成動滑輪組，如圖所示。掛在左、右兩側滑輪上的重

31、物的質量均為，為使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求掛在中間滑輪上的重物的質量應為多大？兩側滑輪與支架之間的摩擦因數(shù)應為多少？這種平衡是否穩(wěn)定？（圖中角為已知）3 一根質量為的均勻桿，長為，下端可繞固定水平軸轉動，有兩根水平彈簧，勁度系數(shù)相同，拴在桿的上端，使其處于豎直位置，如圖所示，問：彈簧的勁度系數(shù)為何值，才能使桿處于穩(wěn)定平衡？4 如圖所示，用均勻材料制成的浮子，具有由兩個半徑皆為的球冠圍成的外形（像一粒豆子），浮子的厚度，質量為，沿浮子的對稱軸向浮子插入一根細輻條，穿過整個厚度，輻條長，質量為，當將浮子輻條向下浸于水中時，浮子只有少數(shù)體積沒于水中，浮子的狀態(tài)是穩(wěn)定的嗎？5 如圖所示，邊長為的均勻立方體

32、，平衡地放在一個半徑為的圓柱面頂部，假設靜摩擦因數(shù)很大，足以阻止立方體下滑，試證物體的平衡條件為。6 如圖所示，將一根長度為的硬鉛絲彎成等臂直角形框架，在兩臂的端點各固定一個質量為的小球，在直角的頂點焊一根長為的支桿，支桿平分這一頂角，將桿支在支座上。試證：當時平衡為隨遇的；當時，平衡成為穩(wěn)定的（不計支桿、鉛絲的質量）。7 如圖所示，半徑為的球浮于密度分別為和的分層液體的界面處，該分界面正好位于球的直徑平面上，求球所受到的浮力有多大？8 用一根細線豎直懸掛一根長為的均勻細木桿，置于水桶內水面上方，如圖所示，當水桶緩慢上提時，細木桿逐漸浸入水中，當木桿浸入水中超過一定深度時，木桿開始出現(xiàn)傾斜現(xiàn)象

33、，求（已知木桿密度為，水的密度為）。9 有一密度為，半徑為的半球放在盛有密度為的液體的容器底部，它與容器底部密切接觸（即半球表面與容器底面間無液體），如圖所示，若液體深度為，問半球體對容器底部的壓力是多大？10 在圖中有一根細而均勻的棒長為，一端懸以重為的小球（球的體積可忽略不計）。設棒的浮出水面，求棒的重力。11 半徑為的圓環(huán)繞其鉛垂直徑軸以角速度勻速轉動，兩質量為的珠子用長為的輕桿相連套在圓環(huán)上，可在圓環(huán)上無摩擦地滑動，試求細桿在圓環(huán)上的平衡位置，用環(huán)心O與桿心C的連線與鉛垂軸的夾角表示，并分析平衡的穩(wěn)定性（如圖所示）。12 如圖所示，大容器內盛有密度為的液體，其內放一個底面積為的圓筒形小

34、容器，其底部接進一個長為的小口管，兩容器固定不動，往小容器內注入密度為的有色液體（），直到液體高度為時為止。此時小容器的液面與大容器液面相平。打開小口管下端開口處，就會發(fā)現(xiàn)重液體從小口管內流入大容器，但過一會兒輕液體又開始從小口管上升，然后又重復這一過程，假設兩種液體不相混合，又忽略表面張力，試求中液體首次從小容器流出的質量是多少？輕液體每次流入小容器的質量是多少？以后每次循環(huán)從小容器流出的重液體的質量又是多少？第五講 質點運動的基本概念【賽點知識】力學中研究的運動，是指物體位置的變動，稱為機械運動。這是最簡單、最基本的運動形式，它存在一切運動形式之中。如何描述運動使之可以量化處理需要一些基本

35、的運動學概念。一、參考系機械運動時物體位置在空間中的變動，但是任何物體的位置及其變動只有相對于現(xiàn)實選定的物體或彼此無相對運動的物體群才有明確的意義。這種被選作運動依據(jù)的物體或物體群成為參考物。與參考物固連的三維空間稱為參考空間。另外，位置變動總是伴隨著時間的變動，所謂考察物體的運動，也就是考察物體的位置變動與時間的關系。參考空間與固連的時鐘的組合稱為參考系。一般來說，研究運動學的問題，只要描述方便，參考系可以隨便選取。但是在考慮動力學問題時，參考系的選擇就受到一定限制，因為有些重要的動力學規(guī)律（如牛頓三定律）只對特定的參考系（慣性系）成立。參考系選定后，為了定量地標定物體相對于參考系的位置，還

36、必須在參考系上建立適當?shù)淖鴺讼怠Ｋ^坐標系就是固定在參考空間的一組坐標軸和用來確定物體位置的一組坐標。常用的坐標系有直角坐標系、極坐標系、球坐標系和柱坐標系。物體的運動完全由參考系選擇決定，與坐標系的選取無關。坐標系的不同，只是描述運動的變量不同而已，對應的物體的運動狀態(tài)相同。二、質點實際物體都有一定的大小、形狀和內部結構。在考察物體運動時，我們僅考察物體的整體運動，或物體本身的大小比所考察運動的線度小得多，就可以不計物體各部分運動狀況的差別把它抽象成一個點，稱為質點。質點是一種理想模型，它突出了物體具有質量和占有位置這兩個主要因素，而忽略了形狀、大小及內部結構等次要因素。運動學中的質點概念使

37、量化物體位置成為可能，而更復雜的物體運動可以看成質點的組合。三、位移和路程在直角坐標系中質點的位置可以用從坐標原點O指向質點P位置的有向線段來表示，的長度給出質點到O點的距離，的方向可用方向余弦，和決定，由于故有向線段是由，及的長度中任意三個參量決定。有向線段是一個特殊的矢量，稱為位置矢量，簡稱位矢，用表示。當質點運動時，位矢的大小和方向都隨時間變化，表示某時刻質點的位置，即位矢在一段時間內的變化量稱為位移，用表示：如圖所示，位移既有大小又有方向，是一個矢量，所以上述運算遵循矢量運算法則。路程是物體通過的實際軌跡的長度。路程只有大小，沒有方向。可以這樣認為，一段時間內的位移是每瞬間內位移的矢量

38、和，而路程是這些瞬間位移大小的標量和，即：，要注意的是位移反映的是物體的運動，所以位移總和某段時間相對應，如圖所示中是表示時間內的運動量的大小和方向，而是表示瞬間的運動量的大小和方向。四、速度物體以恒定快慢程度在一直線上運動，稱為勻速直線運動。勻速直線運動是最簡單的一種運動。在勻速直線運動中，任意時間內的位移和所用時間的比值都為常量，可以用來描述運動的快慢叫做勻速直線運動的速度。非勻速直線運動或曲線運動質點在任意到的比值不再為常量，仍用某段時間間隔內的位移和該段時間間隔的比值來描述該段運動的大致快慢程度，稱為該時間間隔中質點的平均速度，用表示。方向沿位移方向，這實際上是用一段勻速運動對原運動的

39、等效替代。當考察的時間間隔足夠小時，此時間內各質點運動的快慢和方向可能存在的差別也必然非常小，以致可以忽略不計，于是當時，上述平均速度的極限就可以精確描寫時刻質點運動的快慢和方向，此極限稱為時刻的瞬時速度，簡稱速度，用表示：五、加速度一般情況下質點的速度往往隨時間變化，與速度的定義類似我們可以先尋找最簡單的變速運動勻變速直線運動。由于速度隨時間線性變化則平均速度為：則其運動位移、時間、速度及加速度有如下關系：注意上述運算遵循矢量運算法則，由于是一直線上的矢量，故可設定正方向后以標量的代數(shù)和形式運算。同樣也可以得出平均加速度和瞬時加速度，分別為：，如圖所示。六、運動圖像圖像是描述各種運動的另一種

40、重要形式，勻變速直線運動的圖像如圖所示，圖像中的斜率和面積也有重要含義，合理運用可以很直觀地反映運動。對于平面曲線運動及空間曲線運動則需要對運動在坐標系中分解，各方向分運動分別描述。【賽題精析】例1如圖所示為從兩列蒸汽機車上冒出的兩股長幅汽霧拖尾的照片（俯視）。兩列車沿直軌道分別以速度km/h和km/h行駛，行駛方向如圖所示。求風速。例2一總質量為的卡車拖著一質量為的車廂在水平路面上勻速行駛，已知所受阻力和車重成正比。某時刻，后面所掛車廂脫落，司機維持原有牽引力不變繼續(xù)行駛了距離后發(fā)現(xiàn)車廂脫落，于是關閉發(fā)動機，問當卡車停下時候與車廂相距多少距離？例3螞蟻離開巢沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心距

41、離成反比。當螞蟻爬到離巢中心m的A點處時速度是cm/s。試問螞蟻從A點爬到距離巢中心m的B點需要多少時間？例4一些很小的球從豎直對稱軸附近，高度處，無初速度情況自由落下。碰到半徑為的凹形球面上，小球與球面的碰撞是完全彈性的，試證明在第一次碰撞后，每個小球都落在球面的最低點（小球間不發(fā)生碰撞）。例5兩位小朋友乙和丙，他們打算玩一會旋轉木馬。乙在半徑為的旋轉木馬上，丙在半徑為的旋轉木馬上。開始時兩位小朋友的位置如圖所示，考慮到兩個木馬相互接觸并以相同的角速度向同一方向旋轉。試問：從乙觀察丙的運動有什么特點？【習題精選】1 一架飛機在高度為10 km上空飛行，機上乘客看見太陽升起。試估計在飛機正下方

42、地面上的觀察者還要經過多少時間可以看見太陽。2 身高的人以的速度在水平面上從路燈的正下方勻速走過，在某一時刻，人的影長為，經過時間，人的影長為，求路燈距地面的高度。3 如圖所示為兩個光滑的斜面，兩斜面高度相同，且AB+BC=AC，今讓小球分別從斜面（a）中的A點和斜面（b）中的點無初速釋放，若不計小球在B點損失的能量，試問哪種情況下，小球滑至斜面底端歷時較短？4 將光滑細管彎成圓角的長方形，如圖所示固定在豎直平面，B角比C角低，從A角同時放進兩個小球，一個沿AB，一個沿AC滑到D角，問哪個球先到達D角？5 如圖所示，一輛小車在軌道MN上行駛的速度可以達到50 km/h，在軌道外的平地上行駛的速

43、度可達到40 km/h，與軌道的垂直距離為30 km/h的B處有一基地，如圖所示，問小車從基地B出發(fā)到離D點100 km的A處的過程中最短時間需要多少？6 快艇系在湖面很大的湖的岸邊（湖岸線可認為是直線），突然系艇的繩松脫，風吹著快艇以恒定的速度km/h沿與湖岸成的角漂去。人可沿湖岸以速度km/h行走或在水中以km/h游泳，那么能否追上快艇？當快艇速度最大為多大時人可以追上？7 兩個物體沿直線相向運動，初速度分別是和，而加速度為和，加速度方向分別與相應的初速度方向相反，要使兩物體在運動過程中迎面相遇，試求它們間的最大起始距離。8 如圖所示，一質點自傾角為的斜面上方O點，沿一光滑斜槽OA下降，如

44、欲使此質點到達斜面所需的時間最短，問斜槽OA與豎直線所成之角度應為何值？9 如圖所示，在豎直平面內有一半徑為的圓環(huán)，同一平面內有一點A，由點A到圓環(huán)上任一點M連接光滑直線。在重力作用下，一金屬小環(huán)從A點由靜止出發(fā)滑到M。問M點位于何處時，滑動所用的時間最短？10 如圖所示，AOB是一個內表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（圖中紙面）上，夾角（為了能看清楚，圖中夸大了）。一個質點從C處以速度m/s射出，其方向與AO間的夾角，且OC = 10 m。設質點與桌面間的摩擦可以忽略不計。質點與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可以忽略不計。試求：（1）經過幾次碰撞后質點又回到C處與OA

45、相碰（計算次數(shù)時，包括在C處的碰撞）？（2）全過程經歷多少時間？（3）在此過程中，質點到O點的最短距離是多少？11 設從空間一點M以同樣的速度沿著同一豎直面內各個不同方向，同時拋出幾個物體。試證明，在任一時刻，這些拋出物體總是處在某一個圓周上。12 試求在日全食期間月球的影子沿地球表面運行的速度。不考慮地球沿軌道運行方向的修正值。為了簡單起見可以認為：觀察日食是在赤道上晌午時進行的，地軸垂直月球軌道平面。地球繞地軸運行的方向與月球沿軌道繞地球運動方向一致，如圖所示。地球與月球之間距離為km、地球半徑km。月球上一個月為地球上28天。計算時注意地球到太陽的距離比地球到月球的距離遠得多。13 有一

46、質點由A向B作直線運動，A，B間的距離為，已知質點在A點的速度為，加速度為。如果將分成相等的段，質點每通過的距離，加速度均勻增加，求質點到達B時的速度。14 湖灣成頂角為的楔形，岸上住有一個漁人；他的房子在A點，如圖所示，從A點到他離湖最近的C點之距離為，而到湖灣的一頭，即到D點之距離為，湖對岸B點處有漁人好友的房子，點B位置與A點相對湖灣對稱。漁人擁有一只小船，他可以以速度沿岸步行或以速度乘船載湖中劃行，他從自己家里出發(fā)到好友家里去，求他需要的最短時間。15 如圖所示，在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細管軌道ABC，光滑小球從頂點A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點C處所需要的時間，恰

47、好等于小球從頂點A處自靜止出發(fā)自由地經兩直角邊軌道滑到端點C處所需要的時間，這里假設鉛垂軌道AB和水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無碰撞地拐彎，且拐彎時間可忽略不計。在此直角三角形范圍內可構建一系列如圖中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線與水平線交接而成，交接處有極小圓?。ㄗ饔猛希壍谰鶑腁點出發(fā)到C點終止，且不越出該直角三角形邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點劃行到C點所經時間的上限和下限之比值。第六講 相對運動和運動的合成與分解【賽點知識】一、運動的合成與分解運動的合成與分解是指位移、速度及加速度的合成與分解。因為都是矢量，其運算都遵守矢量運算法則

48、，即平行四邊形定則或三角形法則。一個物體同時參與兩個運動，其表現(xiàn)結果就是合運動，分運動和合運動是同時存在的，解題時要注意利用等時性。各分運動是相互獨立的，某一分運動并不因為其他的分運動的存在和變化而受到影響，分運動的變化只會使合運動發(fā)生變化。已知兩個分運動，其合運動是惟一的，而將一個已知運動分解成兩個分運動，可以有無數(shù)解，需從題中尋找隱含條件來確定分解方式。把矢量向某個方向投影時，必須就另一分量也作出交待。二、相對運動運動的合成包括位移、速度、加速度的合成，遵從矢量合成法則。通常，將相對觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系，將相對觀察者的參照系稱為運動參照系。物體相對于靜止參照系的運動稱為絕對運動

49、，相對應的速度和加速度稱為絕對速度和絕對加速度；物體相對于運動參照系的運動稱為相對運動，相對應的速度和加速度稱為相對速度和相對加速度。而運動參照系相對于靜止參照系的運動稱為牽連運動，相對應的速度和加速度稱為牽連速度和牽連加速度。以速度為例，這三種速度的矢量關系為：位移、加速度之間也存在類似關系，但要注意具體運算是按平行四邊形法則或三角形法則進行的。三、負矢量、矢量減法和相對速度負矢量是跟對應矢量大小相同、方向相反的矢量。有了負矢量的定義，我們就可以從矢量相加法則推出矢量相減的法則?，F(xiàn)在我們來求兩個運動物體之間的相對速度。如圖所示，如果某甲有一個向東的速度，則在甲看來，所有物體相對于他都向西運動

50、，速率為，即所有物體有一個速度。當某乙實際上運動速度為時，在甲看來乙同時具有兩個速度和，因而甲觀察到的乙相對于甲的相對速度為：同理，乙觀察到的甲相對于乙的相對速度為：凡是涉及相對速度的問題都可用這些公式處理。四、剛體的平面運動剛體的平面運動是一種較為復雜的運動。但從理論上講，任何剛體的平面運動都可看作是隨某一點的平動與繞該點的轉動的合運動。這一點我們稱為基點?；c是可任意選取的，不會影響解題的結果，平動部分與基點的選取有關，轉動部分與基點的選取無關。如圖所示可知，選A為基點，則B點的速度即由平動速度與轉動速度合成而得，即由圖可看出，總是垂直于AB連線的。也就是說它在AB連線上的投影為零，所以和

51、在AB連結的投影必相等。故可得結論：當剛體做平面轉動時，其上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。五、輪的直軌道滾動半徑為的輪在固定的直軌道上滾動時，輪的中心點O相對直軌道作直線運動，速度記為，此輪繞O轉動角速度便為：輪緣上任何一點P繞O作圓周運動，速度為，其大小為，方向隨時在變，點P相對直軌道的速度便為：需要注意的是，大小雖同為，但方向一般不同。僅當P轉到最高位置時兩者方向一致，此時達極大值。P轉到最低位置時，即與直軌道接觸時，彼此方向相反，。六、輪的圓軌道滾動輪沿著固定圓軌道滾動時，設輪心O的圓運動角速度為，輪繞O轉動角速度為，如圖所示，輪上點P相對圓軌道的速度為：式中，為點O相對圓軌道

52、速度，為P相對O的速度。兩者大小為：，式中，分別為圓軌道和輪的半徑。當P與圓軌道接觸時，如圖所示，必有，且與反向，因此，大小必相同，即得：便有：。【賽題精析】例1有一拖輪從港口出發(fā)去攔截一艘正以的速度沿直線航行的輪船，港口離輪船航線的最近點為。當輪船離港口時（但尚未達最近點）拖輪起航。試證明拖輪追上輪船所必需的最小速率為。若拖輪的航速，試證明輪船可在航行時間為的一段航線內被攔截。例2如圖所示的系統(tǒng)中，A1，A2兩物體均有向下的速度，吊住B物體的兩根繩與豎直方向的夾角都是，試求B物體上升的速度。例3一只狐貍以不變的速度沿直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率追擊，其運動方向始終對準狐貍。某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D垂直于AB且FD = ，如圖所示，試求獵犬追上狐貍所需要的時間。例4纏在線軸上的繩子的一頭搭在墻上的釘子A上，如圖所示。以恒定速度拉繩，當繩子與豎直方向成角時，求線軸中心速度。線軸外徑為，內徑為，線軸沿水平面作無滑動的滾動。例5膠合板從空中落下，發(fā)現(xiàn)在某個時刻a點和b點速度相同：