統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)

1、第九章統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象。它通過對(duì)數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析以及對(duì)時(shí)間發(fā)生可能性的刻畫，來幫助人們科學(xué)、客觀地認(rèn)識(shí)世界。它是數(shù)學(xué)科學(xué)的 一個(gè)重要的分支。在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中將“統(tǒng)計(jì)與概率”作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程4個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，具有重要意義。第一節(jié)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的意義、內(nèi)容和要求一、統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的意義1、適應(yīng)社會(huì)發(fā)展需要在以信息和技術(shù)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代社會(huì)，人們面臨更多的機(jī)會(huì)和選擇，常常需要在不確定的情境 中，根據(jù)大量無組織的數(shù)據(jù)，做出合理的決策。概率統(tǒng)計(jì)的問題涉及到社會(huì)生活的方方面面。例 如：“今天天津地區(qū)的降水概率是 30%, “這場(chǎng)籃球賽，

2、某球隊(duì)贏的可能性比較大，”“火車站的日客流量突破十萬人次，”“某商場(chǎng)實(shí)行購物抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)面達(dá)到三分之一”等。從小學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率 知識(shí)越來越重要，這是時(shí)代發(fā)展的需要。2、提高解決實(shí)際問題的能力“統(tǒng)計(jì)與概率”與人們的日常工作和社會(huì)生活密切相關(guān)，在日常生活中常常需要我們?cè)诓淮_ 定的情景中通過自己的觀察，對(duì)大量無組織的數(shù)據(jù)驚醒分析，從這些大量的偶然性現(xiàn)象背后揭示 出某些規(guī)律來，作出合理的決策，獨(dú)立地區(qū)獲得問題的解決。統(tǒng)計(jì)與概率所提供的“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn) 行推斷”的思考方法已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)一種普遍適用的思維方式。統(tǒng)計(jì)與概率的思想方法，將隨 著社會(huì)的不斷發(fā)展而越來越重要。在義務(wù)教育階段，讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)與概率活動(dòng)的

3、全過程，是學(xué) 生熟悉統(tǒng)計(jì)與概率的基本思想方法，幫助學(xué)生在面對(duì)大量數(shù)據(jù)和不確定情境中，制定較為合理的 決策，有利于發(fā)展學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。3、是學(xué)生獲得積極的情感體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)與概率這一領(lǐng)域的內(nèi)容對(duì)學(xué)生來說是充滿趣味和吸引力的。動(dòng)手收集與呈現(xiàn)數(shù)據(jù)是一個(gè) 活動(dòng)性很強(qiáng)并且充滿挑戰(zhàn)和樂趣的過程，做概率游戲本身就是對(duì)思維的一種挑戰(zhàn)，也是一個(gè)非常 有趣的過程。這有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感體驗(yàn)。二、統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的內(nèi)容1、統(tǒng)計(jì)與概率歷史（1）概率的歷史概率論起源于博弈問題。1516世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕喬塔塔利亞和卡爾丹的著作中層討論過“如果兩個(gè)人賭博提前結(jié)束，該如何分配賭金”等概率問題。1654

4、年左右，費(fèi)馬與帕斯卡在一系列通訊中討論類似的合理分配賭金問題，并用組合方法給出正確解答。他們的通訊引起了荷蘭術(shù) 數(shù)學(xué)家惠更斯的興趣，后者在 1657年發(fā)表論賭博中的計(jì)算，這是最早的概率論著作。一般認(rèn)為，概率論作為一門獨(dú)立數(shù)學(xué)分支，其真正奠基人是雅各布伯努利，他在遺著猜 測(cè)術(shù)中首次提出了后來以“伯努利定理”著稱的極限定理。伯努利定理刻畫了大量的經(jīng)驗(yàn)觀測(cè) 中呈現(xiàn)的穩(wěn)定性，作為大數(shù)定律的最早形式而在概率論發(fā)展史上占有重要地位。伯努利之后，（棣莫弗 ）、蒲豐、拉普拉斯、高斯和泊松等對(duì)概率論做出了進(jìn)一步的奠基 性貢獻(xiàn)。19世紀(jì)后期，極限理論的發(fā)展成為概率論研究的中心課題，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在這方 面做出

5、了杰出的貢獻(xiàn)。切比雪夫的成果又被他的學(xué)生馬爾可夫等發(fā)揚(yáng)光大，影響了20世紀(jì)概率論發(fā)展的進(jìn)程。19世紀(jì)末，概率論在統(tǒng)計(jì)物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對(duì)概率論基本概念與原理進(jìn)行 解釋的需要。另外，科學(xué)家們?cè)谶@一時(shí)期發(fā)現(xiàn)的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中基本概念 存在的矛盾與含糊之處。最早對(duì)概率論經(jīng)行嚴(yán)格化嘗試的，是我國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué) 家馮米西斯，他們都提出了一些公理來作為概率論的前提，但他們的公理理論都是不完善的。 真正嚴(yán)格的公理化概率論只有在測(cè)度論與實(shí)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)上才可能建立。作為測(cè)度論的奠基 人，博雷爾早在1905年就指出概率論如果采用測(cè)度論術(shù)語來表述將會(huì)方便許多，并首先將測(cè)度論方法

6、引入概率論重要問題研究。原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫也從1920年代中期起開始從測(cè)度論途徑探討整個(gè)概率論理論白嚴(yán)格表述，其結(jié)果是1933年以德文出版的經(jīng)典型著作概率論基礎(chǔ)。科爾莫戈羅夫提出了 6條公理，整個(gè)概率論大廈可以從這6條公理出發(fā)建筑起來?？茽柲炅_夫的公理系統(tǒng)主見獲得了數(shù)學(xué)家們的普遍承認(rèn)。由于公理化，概率論成為一門嚴(yán)格的演繹科 學(xué)，獲得了與其他數(shù)學(xué)分支同等的地位，并通過集合論與其他數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系著。科爾莫戈 羅夫是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，概率論無疑是他科學(xué)生涯中最重要的成就。（2）統(tǒng)計(jì)的歷史簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)古來就有，在 18、19世紀(jì)出現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)推斷思想的萌芽，并有一定發(fā)展，但以概 率論為

7、基礎(chǔ)、以統(tǒng)計(jì)推斷為主要內(nèi)容的現(xiàn)代意義的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，直到20世紀(jì)才告成熟。1763年英國人貝葉斯發(fā)表論機(jī)會(huì)學(xué)說問題的求解其中的“貝葉斯定理”給出在已知結(jié)果 E后，對(duì)所有原因C計(jì)算其條件概率（后驗(yàn)概率）Pe （C）的公式，可以看出是最早的一種統(tǒng)計(jì)推斷程序。拉普拉斯和高斯等利用貝葉斯公式估計(jì)參數(shù)，特別是高斯由于計(jì)算行星軌道的需要建立 了以“最小二乘法”為基礎(chǔ)的誤差分析。這些都是促使統(tǒng)計(jì)擺脫了對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的單純描述二向強(qiáng) 調(diào)推斷的階段過渡。英國生物學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家 K 皮爾遜在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的建立上起了重要作用。皮爾遜在19世紀(jì)末、20世紀(jì)初發(fā)展了他老師高爾頓首先提出的“相關(guān)”與“回歸”的理論，成功的創(chuàng)立了

8、生物 統(tǒng)計(jì)學(xué)（1901）。皮爾遜提出了 “總體”的概念，明確指出統(tǒng)計(jì)學(xué)不是研究樣本取出的個(gè)體是否“擬合”，從理論上確定了總體分布的問題。皮爾遜的工作是所謂“大樣本統(tǒng)計(jì)”的前驅(qū)。他的 學(xué)生戈賽特在1908年以筆名“學(xué)生”發(fā)表的“學(xué)生分布”則開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計(jì)理論。小樣本理 論強(qiáng)調(diào)樣本必須從總體中隨機(jī)地抽取，即必須是隨機(jī)樣本，從而使統(tǒng)計(jì)學(xué)研究對(duì)象從群體現(xiàn)象轉(zhuǎn) 變?yōu)殡S機(jī)現(xiàn)象?，F(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科的奠基人是英國數(shù)學(xué)家費(fèi)希爾。費(fèi)希爾畢業(yè)與劍橋大學(xué)， 做過中學(xué)教員，曾長(zhǎng)期在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)站工作，在將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于農(nóng)業(yè)與遺傳學(xué)方面有豐富的積累。 在1920和1930年代，費(fèi)希爾提出了許多重要的統(tǒng)計(jì)方法， 開

9、辟了一系列統(tǒng)計(jì)學(xué)的分支領(lǐng)域。1946 年，瑞典數(shù)學(xué)家克拉默發(fā)表了統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法，用測(cè)度論系統(tǒng)總結(jié)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展，標(biāo)志著:現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的成熟。2、統(tǒng)計(jì)與數(shù)率的教學(xué)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”規(guī)定的內(nèi)容為：統(tǒng)計(jì)在第一學(xué)段是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)初步，第二學(xué)段是簡(jiǎn) 單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程，概率在第一學(xué)段不做要求，第二學(xué)段，只要求學(xué)生體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象，并能對(duì)隨機(jī) 現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作定性描述。具體學(xué)習(xí)內(nèi)容要求如下：第一學(xué)段： 能根據(jù)給定的標(biāo)準(zhǔn)或者自己選定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)事物或數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，感受分類與分類標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系。 經(jīng)歷簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)收集和整理過程，了解調(diào)查、車輛等收集數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單方法，并運(yùn)用自己的方式，（文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理

10、數(shù)據(jù)的結(jié)果。 通過對(duì)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單分析，體會(huì)運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行表述與交流的作用，感受數(shù)據(jù)蘊(yùn)涵的信息。第二學(xué)段：（1）簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程 經(jīng)歷簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計(jì)算器）會(huì)根據(jù)實(shí)際的問題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、實(shí)驗(yàn)、測(cè)量）收集數(shù) 據(jù)。 認(rèn)識(shí)條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖；能根據(jù)分析問題的需要，選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì) 圖。 體會(huì)平均數(shù)的意義，能計(jì)算平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實(shí)際意義。 能從報(bào)刊、等電視等媒體中，有意識(shí)的獲得一些數(shù)據(jù)信息，并能讀懂簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)圖表。 能解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)，并能進(jìn)行交流。(2)隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性 結(jié)合具體情境，了

11、解簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象；能列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果。 通過實(shí)驗(yàn)、游戲等活動(dòng)，感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小做出定性描述，并和同學(xué)交流。三、“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)要求1、關(guān)注“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)的形成過程統(tǒng)計(jì)和概率是一個(gè)需要經(jīng)歷的過程，就想描述一件事情要有“起因、經(jīng)過、結(jié)果” 一樣，為 什么要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)要做哪些事，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果是什么，這個(gè)結(jié)果有什么意義，只有經(jīng)歷了 統(tǒng)計(jì)的全部過程，才能真正體會(huì)到統(tǒng)計(jì)的意義和價(jià)值，感受統(tǒng)計(jì)與生活的密切聯(lián)系，才能真 正學(xué)會(huì)一種解決問題的技能，也才能感悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)教學(xué)，往往把根據(jù)已知數(shù)據(jù)解決提出的

12、問題作為統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之?dāng)?shù)據(jù)設(shè)計(jì)的的 學(xué)生，可以解決根據(jù)已知數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，但是他們卻不知道運(yùn)用什么樣的 方法搜集所需要的數(shù)據(jù)，不會(huì)主動(dòng)的運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法去解決身邊出現(xiàn)的問題。其主要原因是，他們只經(jīng)歷了統(tǒng)計(jì)過程中的一個(gè)部分，而這個(gè)部分不需要太多的主動(dòng)性和獨(dú)立性，只是根據(jù) 提供的素材機(jī)械的解決問題而已，這種學(xué)習(xí)方式，是一種盲目的被動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)生所獲得的僅 僅是機(jī)械的解決能力，根本沒有涉及統(tǒng)計(jì)的實(shí)質(zhì)。統(tǒng)計(jì)是一個(gè)需要學(xué)生去親身經(jīng)歷的過程， 因此教師需要精心設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)的過程，盡量把活動(dòng)設(shè)計(jì)得完整一些，既要學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)必要性 的情景，還要有學(xué)生自主收集數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)。有整理數(shù)據(jù)的過程，有觀察分析、做

13、出簡(jiǎn)單判斷 與預(yù)測(cè)的細(xì)節(jié)，使學(xué)生獲得統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的親身體驗(yàn)，逐步形成用數(shù)據(jù)分析問題的思維習(xí)慣。2、關(guān)注“統(tǒng)計(jì)與概率”的實(shí)際背景統(tǒng)計(jì)與概率來源于生活，應(yīng)用與生活，與日常生活緊密聯(lián)系，例如小孩子玩“石頭、剪刀、 布”的游戲，需要記錄數(shù)贏的次數(shù)；看到天空烏云重重，媽媽會(huì)告訴孩子“可能要下雨了” 等等，這些簡(jiǎn)單的“統(tǒng)計(jì)與概率”時(shí)常會(huì)出現(xiàn)在學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活中。因此，小學(xué)生有“統(tǒng)計(jì) 與概率”的生活經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上， 利用現(xiàn)實(shí)的情景或材料驚醒教學(xué)設(shè)計(jì)， 有利于讓學(xué)生感覺到隨機(jī)思維，體會(huì)到隨機(jī)數(shù)學(xué)在處理問題上與確定性數(shù)學(xué)的不同。在隨機(jī) 環(huán)境中學(xué)習(xí)隨機(jī)思維，樹立隨機(jī)意識(shí)。例如，對(duì)于股市漲跌的可能性判斷

14、，對(duì)兒童來說是缺 乏經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)于自己是否有坑獲得學(xué)校短跑比賽的第一名，他們卻有可能進(jìn)行預(yù)測(cè)的。3、重視學(xué)生的活動(dòng)體會(huì)在義烏教育階段，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的核心目標(biāo)是發(fā)展自己的“統(tǒng)計(jì)掛念” 。一提到“觀念”就 絕非等同于計(jì)算、畫圖等簡(jiǎn)單技能，而是一種需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的感覺。“觀念”的建立需要學(xué)生親身的經(jīng)歷，需要他們真正投入到統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中，在活動(dòng)的過程中去體驗(yàn) 和理解知識(shí)的內(nèi)在意義。因此，在教學(xué)組織過程中，不要將一些概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)簡(jiǎn)單地當(dāng)做就 是對(duì)那些表示概念的詞匯的識(shí)記，或者將它簡(jiǎn)單地當(dāng)做一種程序性的技能來反復(fù)操練，而要 盡可能地使用一些活動(dòng)來組織，以增加學(xué)生在血絲過程中的體驗(yàn)。對(duì)“統(tǒng)計(jì)過程的

15、體驗(yàn)”和“對(duì)可能性與不確定性的直觀感受”不應(yīng)由教師強(qiáng)加于學(xué)生，而必須是學(xué)生通過自主活動(dòng)，從調(diào)查、操作等活動(dòng)中摸索、探究而來。四、小學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率思維方式在統(tǒng)計(jì)與概率中涉及到兩種不同思維方式，或然性思維與決策性思維(Biehler,1994)。其中決策性思維旨在發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律，對(duì)變異做出解釋或分類，在這個(gè)過程中，背景知識(shí)是相當(dāng) 重要的；而或然性思維的焦點(diǎn)則是事件發(fā)生的穩(wěn)定程度，并試圖從少量的的樣本去推測(cè)總體，在這個(gè)過程中，最是要的是構(gòu)造模型。我國統(tǒng)計(jì)學(xué)家史寧中也認(rèn)為， 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的問題是確定性的，基礎(chǔ)是定義和假設(shè)，遵循約定原則進(jìn)行嚴(yán)格的計(jì)算或者推理，因此更多的是演繹；統(tǒng)計(jì)學(xué)在本質(zhì)上研究的

16、問題是隨機(jī)的，是非確定性的，通過較多的數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，也就是通過許多的個(gè)別來推斷一般，可 以認(rèn)為是一種歸納。也就是說，統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)不僅可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)更全面的認(rèn) 識(shí)，而且在思維方式上也是一種互補(bǔ)。在統(tǒng)計(jì)問題解決過程中通常涉及兩種思維類型：一般思維類型和統(tǒng)計(jì)思維類型。其中，一般思維類型包括： 選擇有效的策略，包括確定研究問題，形成計(jì)劃，并考慮實(shí)際要求和限制：尋找解釋：建模及模型的應(yīng)用： 方法的運(yùn)用，包括模仿已有的案例，對(duì)原型進(jìn)行確認(rèn)與應(yīng)用，以及利用問題解決的 工具。統(tǒng)計(jì)思維的基本類型包括： 認(rèn)識(shí)到數(shù)據(jù)的必要性： 轉(zhuǎn)換，包括從實(shí)際情境中獲得測(cè)量方法，變換數(shù)據(jù)的表征形式，通過數(shù)據(jù)交流信息:

17、考察變異性，包括選擇度量，通過建模去預(yù)測(cè)、解釋與監(jiān)控，對(duì)變異性進(jìn)行解釋與 處理： 基于統(tǒng)計(jì)建模的推理： 整合統(tǒng)計(jì)及其背景的信息、知識(shí)與概念。（一）小學(xué)統(tǒng)計(jì)思維發(fā)展過程在開始學(xué)習(xí)之前，許多兒童在描述某一個(gè)現(xiàn)象的時(shí)候，往往就是簡(jiǎn)單地對(duì)現(xiàn)象的直觀認(rèn)識(shí)，他們 基本上還不會(huì)通過收集數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行更為準(zhǔn)確的描述或預(yù)測(cè)。兒童在形 成統(tǒng)計(jì)思想方法的過程中，主要會(huì)表現(xiàn)如下一些特征：1 .是伴隨著操作活動(dòng)逐步形成的兒童的統(tǒng)計(jì)思想是在現(xiàn)實(shí)的操作中逐步形成的。例如，一個(gè)學(xué)齡前的兒童，面對(duì)由許多梨和蘋果 組成的一堆水果時(shí)（圖 9-la ）,在開始的時(shí)候，可能只會(huì)采用先數(shù)出梨的個(gè)數(shù)，在數(shù)出蘋果的個(gè) 數(shù)

18、的方式來比較哪種水果多。但是，當(dāng)這些水果的數(shù)量足夠多的時(shí)候，慢慢地，他可能就會(huì)想到將這些水果先分開來，然后在 去分別數(shù)。隨著經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)，他逐漸可能會(huì)想到將這些水果分類對(duì)應(yīng)排起來（圖9-1b）,于是,對(duì)這個(gè)兒童來說，基本的統(tǒng)計(jì)思想就產(chǎn)生了。2 .數(shù)據(jù)的分析與利用能力的形成是漸進(jìn)的兒童對(duì)數(shù)據(jù)的分析與利用能力的發(fā)展是一個(gè)漸進(jìn)的進(jìn)程，對(duì)一個(gè)學(xué)齡前的兒童來說，數(shù)字往往只是表示單個(gè)物體量的一個(gè)符號(hào)，并不是用來描述自己觀察到的現(xiàn)象的。因此，數(shù)字之間往往是不相關(guān)的。例如，他可能關(guān)注到，有一個(gè)小朋友一天里吃了1塊水果糖，吃了 5塊巧克力糖。然而,他眼里，這些只不過就是一些靜止的和不相關(guān)的數(shù)字，他也只是獲得了一些

19、事實(shí)。可是，對(duì)于一 個(gè)低年級(jí)的小學(xué)生來說，他可能已經(jīng)從這兩個(gè)似乎不相關(guān)的數(shù)字鐘，可以推斷出“這個(gè)小朋友可 能偏愛巧克力糖而不太喜歡水果糖”這樣的結(jié)論來。而對(duì)于一個(gè)更高年紀(jì)的兒童來說，他可能已 經(jīng)會(huì)從中受到啟示，然后通過某些調(diào)查獲取數(shù)據(jù)，去抉擇類似“在校園里究竟是買水果糖好些， 還是買巧克力糖好些”這樣的行為了。3 .對(duì)數(shù)據(jù)的理解是逐步發(fā)展的在兒童的經(jīng)驗(yàn)中，往往是通過對(duì)一組單一數(shù)據(jù)的比較，來做出簡(jiǎn)單的且具有惟一性的判斷。當(dāng)他們?cè)谧畛踅佑|到一組復(fù)雜數(shù)據(jù)的時(shí)候，往往就會(huì)采用經(jīng)驗(yàn)中的方法來做出判斷。例如，小明語文期終考試的成績(jī)是85分，小紅語文期終考試的成績(jī)是 91分。這樣的數(shù)據(jù)說明了什么？這樣的問

20、題可能對(duì)一個(gè)學(xué)齡前的兒童來說， 也能作出回答。可是，當(dāng)他們面對(duì)如下一組數(shù)據(jù)的時(shí)候 （表9-1 ）, 可能不容易做出判斷：A、R C三個(gè)班舉行長(zhǎng)跑比賽，每個(gè)班級(jí)選出10人，其結(jié)果如下?，F(xiàn)在你將如何確定這三個(gè)班長(zhǎng)跑比賽的好壞？能不能排出三個(gè)班長(zhǎng)跑比賽的名次并說明理由？ ” 圖4 .對(duì)統(tǒng)計(jì)樣本的理解缺乏經(jīng)驗(yàn)的支持統(tǒng)計(jì)往往需要選擇樣本，選擇什么樣的樣本？選擇多大的樣本才合理？這些可能對(duì)一個(gè)低年級(jí)兒 童來說，都是比較困難的。因?yàn)樵趦和慕?jīng)驗(yàn)中，收集的樣本常常都是可以窮盡的總數(shù)，例如問 一下班級(jí)的所有同學(xué)，就知道班級(jí)里有29個(gè)同學(xué)不喜歡穿運(yùn)動(dòng)鞋，如果班級(jí)里有35位同學(xué)，就可以得到這樣的結(jié)論：班級(jí)里大部分同

21、學(xué)都不喜歡穿運(yùn)動(dòng)鞋?？墒牵遣皇侨５耐瑢W(xué)中，也是 大部分同學(xué)都不喜歡穿運(yùn)動(dòng)鞋呢？當(dāng)學(xué)生調(diào)查另一個(gè)班級(jí)并發(fā)現(xiàn)只有9個(gè)人（班級(jí)人數(shù)也是 35人）不喜歡穿運(yùn)動(dòng)鞋的時(shí)候，他們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)結(jié)論并不適用于現(xiàn)在這個(gè)班級(jí)。當(dāng)然，學(xué)生可 能還是可以通過全部數(shù)據(jù)的調(diào)查來回答這個(gè)問題的?？墒?，當(dāng)問及整個(gè)城市中的同齡學(xué)生的時(shí)候 呢？ 一個(gè)比較好的辦法就是通過選擇適當(dāng)?shù)膶?duì)象和合適的范圍進(jìn)行調(diào)查，然后來推測(cè)。然而，什 么樣的對(duì)象抑或多少對(duì)象可以稱作是“合適”的？怎樣的范圍可以稱作是“合適”的？這對(duì)一個(gè) 兒童來說是比較困難的，因?yàn)樗麄兊慕?jīng)驗(yàn)往往還不能有效的支持他們做出這種合適的選擇。5、對(duì)數(shù)據(jù)特征的認(rèn)識(shí)集中在外部的明顯

22、特征上一般說來，兒童主要是從“大、小”開始認(rèn)識(shí)數(shù)的，因而，對(duì)低年級(jí)的兒童來說，他們往往對(duì)數(shù)據(jù)的“最大”或“最小”比較敏感，當(dāng)他們對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行排序的時(shí)候，最關(guān)注的是“誰大”“誰小”這樣的數(shù)據(jù)特征，還不能將這一組數(shù)據(jù)作為一個(gè)描述現(xiàn)象的一個(gè)整體來看待。到了中、高年 段，兒童已經(jīng)開始知道，面對(duì)一組數(shù)據(jù)，不僅需要關(guān)注單個(gè)數(shù)據(jù)的特征，還要關(guān)注整個(gè)數(shù)據(jù)組的 特征。例如，通過調(diào)查 A B、C D E、F、G七位同學(xué)在一年內(nèi)上電影院看電影的情況后，得知 分別為：7次、5次、8次、9次、2次和11次。對(duì)一個(gè)低年段的兒童來說，他們所能描述的可能 就是E同學(xué)每年上電影院看電影的次數(shù)是不多的。因而，對(duì)于他們來說，認(rèn)識(shí)“平均數(shù)”、“眾數(shù)”等的意義就比較容易了。（二）小學(xué)概率思維發(fā)展過程皮亞杰等對(duì)概率概念的理解進(jìn)行過最早、做全面的研究。他們指出，兒童對(duì)概率的認(rèn)識(shí)發(fā)展要經(jīng) 歷三個(gè)主要階段。第一階段，即前運(yùn)算階段（8歲之前）的兒童會(huì)區(qū)分因果事件和隨即事件