垂徑定理學(xué)案、教學(xué)設(shè)計(jì)

1、24.1.2垂直于弦的直徑導(dǎo)學(xué)案廣水市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張運(yùn)才【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解圓的軸對稱性2.理解垂徑定理及其推論，并能應(yīng)用它們解決有關(guān)弦的計(jì)算和證明問題【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】垂直于弦的直徑的性質(zhì)、推論以及證明【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決實(shí)際問題【學(xué)習(xí)過程】【我能行】學(xué)生自學(xué)課本80-P81，按照提示思考下面問題： （一）情景導(dǎo)入：觀看趙州橋視頻。聰明的同學(xué)們，你能求出趙州橋橋拱所在圓的半徑嗎？（二）自主探究：先自主探究，后小組交流。探究一：把一個圓沿著它的任意一條直徑所在的直線對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得出什么結(jié)論？我發(fā)現(xiàn)：（1）把圓紙片沿著它的任意一條直徑所在的直線對折疊時，兩個

2、半圓 （2）上面的實(shí)驗(yàn)說明：圓是_ _，對稱軸是經(jīng)過圓心的每一條_ _圓有 條對稱軸探究二：請同學(xué)們按下面的步驟做一做：第一步，把一個O對折，使圓的兩半部分重合，得到一條折痕CD；第二步，在O上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作CD折痕的垂線，再沿垂線折疊，得到新的折痕，其中點(diǎn)E是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足；第三步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B，畫出折痕AB、CD觀察你所折紙片：（1）在上述的操作過程中，由圓的軸對稱性你能得到哪些相等的線段和相等的??？（2）你能用一句話概括上述結(jié)論嗎？（3）請作出圖形并用符號語言表述這個結(jié)論 練習(xí)： 如下圖，哪些能使用垂徑定理？為什么？【交流學(xué)】先獨(dú)立完成，后小組交流。1

3、.垂徑定理結(jié)構(gòu)：條件：直徑CD過圓心O  CDAB    結(jié)論： AE=BE 弧AC= 弧BC 弧AD=弧BD.如果交換定理的題設(shè)和結(jié)論的部分語句，如 作為題設(shè)， 作為結(jié)論，命題成立嗎？例如在O中，CD是直徑，AB是的弦，CD與AB交于點(diǎn)E.如果AE=BE，那么CD與AB垂直嗎？ 注意分情況討論：（1）若AB是O的直徑，CD與AB垂直嗎？為什么？（2）若AB不是O的直徑，CD與AB垂直嗎？為什么？思考：你能用一句話概括上述結(jié)論嗎？ 推論： 如果交換定理的題設(shè)和結(jié)論的部分語句，會有一些什么樣的新結(jié)論呢？它們成立嗎？發(fā)現(xiàn)： 2.解決問題：同學(xué)們，現(xiàn)在能求出趙

4、州橋所在圓的半徑了嗎？ 如圖，用表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為O，半徑為R經(jīng)過圓心O 作弦AB 的垂線OC，D為垂足，OC與 相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是AB 的中點(diǎn)，C是AB 的中點(diǎn)，CD 就是拱高你能求出半徑R嗎？COEDAB3典型例題：如圖，D是O的弦BC的中點(diǎn)，A是O上一點(diǎn)，OA與BC交于點(diǎn)E，已知AO=8，BC=12.（1）求線段OD的長；（2）當(dāng)EO=BE時，求ED的長. 【學(xué)后思】（一）課堂小結(jié)：同學(xué)們，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?（二）鞏固練習(xí)1判斷下面的論述是否正確（在相應(yīng)的題號后面正確的標(biāo)“”錯誤的標(biāo)或“×” ）垂直于弦的直線平分這條弦（ ）平分弦的直線

5、，平分弦所對的這條?。?）垂直于弦的直徑平分這條弦（ ）平分弦的直徑垂直于這條弦（ ）2.如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑【師生評】（一）課后作業(yè)：1.教材89頁習(xí)題24.1第9、12題2.拓展練習(xí)：(1) 教材89頁習(xí)題24.1第10題 (2)直線AB與O交于C、D兩點(diǎn)，且OAOB AC與BD相等嗎？說說你的理由 （二）課后反思課 題：24.1.2垂直于弦的直徑 廣水市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張運(yùn)才教學(xué)目標(biāo)1.知識目標(biāo)： (1) 經(jīng)歷折紙活動使學(xué)生理解圓的軸對稱性； (2)掌握垂直于弦的直徑所具有的性質(zhì)； (3)能夠運(yùn)用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決有關(guān)的證明和計(jì)算問題2

6、.能力目標(biāo)：在探索問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力、觀察能力、分析能力，進(jìn)一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法；培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索、相互合作交流的精神.3. 情感目標(biāo)：經(jīng)歷將已學(xué)知識應(yīng)用到未學(xué)知識的探索過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動精神教學(xué)重點(diǎn)垂直于弦的直徑的性質(zhì)、推論以及證明教學(xué)難點(diǎn)利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決實(shí)際問題教學(xué)方法創(chuàng)設(shè)情境啟發(fā)探究合作交流應(yīng)用提高教學(xué)手段多媒體投影、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，自制教具實(shí)驗(yàn)輔助.教學(xué)過程設(shè)計(jì)教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖一、情境導(dǎo)入:引入：在1400多年前，隋朝的石匠李春設(shè)計(jì)和參加建造了一座世界聞名的橋趙

7、州橋.請同學(xué)們觀看一段視頻，這段視頻中藏有一數(shù)學(xué)問題，請同學(xué)們認(rèn)真觀看.播放趙州橋簡介視頻.問題：你能求出趙州橋主橋拱所在圓的半徑嗎？二、自主探究:【自主探究一】用紙剪一個圓（課前準(zhǔn)備好若干個），沿著圓的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？教師引導(dǎo)學(xué)生歸納圓的軸對稱性，注意學(xué)生語言的準(zhǔn)確性和簡潔性.【自主探究二】請同學(xué)們按下面的步驟做一做：第一步，把一個O對折，使圓的兩半部分重合，得到一條折痕CD；第二步，在O上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作CD折痕的垂線，再沿垂線折疊，得到新的折痕，其中點(diǎn)E是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足；第三步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B，畫出折痕AB

8、、CD如圖教師提出以下問題：（1）在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的??？（2）你能用一句話概括上述結(jié)論嗎？（板書定理內(nèi)容）（3）你能用符號語言表達(dá)這個結(jié)論嗎？（板書）引導(dǎo)學(xué)生對定理的文字?jǐn)⑹?、符號語言進(jìn)行條件和結(jié)論的劃分（兩個條件推出三個結(jié)論）練習(xí)：如下圖，能否得到AE=BE的結(jié)論？為什么？【合作交流】教師引導(dǎo)學(xué)生分析垂徑定理結(jié)構(gòu)：條件：直徑CD過圓心O  CDAB 結(jié)論: AE=BE 弧AC= 弧BC 弧AD=弧BD.如果交換垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論的部分語句，會有一些什么樣的新結(jié)論呢？它們成立嗎？從學(xué)生組合的新結(jié)論中挑選出：條件：直徑CD過圓心O 

9、  AE=BE結(jié)論：CDAB = =. 進(jìn)行探討、交流，看結(jié)論是否成立.探究：如圖，CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），CD與AB交于點(diǎn)E.如果AE=BE，那么CD與AB垂直嗎？如果弦AB是直徑，結(jié)論還成立嗎？思考：你能用一句話概括上述結(jié)論嗎？三、學(xué)以致用：回到情境引入中求趙州橋主橋拱所在圓的半徑問題：1解決問題:如圖，用表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為O，半徑為R經(jīng)過圓心O 作弦AB 的垂線OC，D為垂足，OC與AB 相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是AB 的中點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，CD 就是拱高半徑R即為所求（幻燈片展示解題過程）COEDAB2典型例題：如圖，D是O的弦BC的

10、中點(diǎn)，A是O上一點(diǎn)，OA與BC交于點(diǎn)E，已知AO=8，BC=12. （1）求線段OD的長；（2）當(dāng)EO=BE時，求ED的長.四、課堂小結(jié)：學(xué)生歸納本節(jié)課的收獲；五、鞏固練習(xí)：1：判斷下面的論述是否正確（在相應(yīng)的題號后面正確的標(biāo)“”錯誤的標(biāo)或“×” ）圓的每一條直徑都是它的對稱軸（ ）垂直于弦的直線平分這條弦（ ）平分弦的直徑垂直于這條弦（ ）平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦（ ）2：如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑 六、課后作業(yè)：1.教材89頁習(xí)題24.1第9、12題2.拓展練習(xí)：（1） 教材89頁習(xí)題24.1第10題 （2）如圖，直線AB

11、與O交于C、D兩點(diǎn)，且OAOB AC與BD相等嗎？說說你的理由 七、板書設(shè)計(jì)：24.1.2垂直于弦的直徑一、圓的對稱性：二、垂徑定理： 定理內(nèi)容： 圖形： 符號語言： 推論：三、例題：四、小結(jié)：學(xué)生觀看視頻，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題.【探究1】學(xué)生通過動手操作，觀察操作結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)沿著圓的任意一條直徑對折，直徑兩旁的部分能夠完全重合由此可以發(fā)現(xiàn)圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸或經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸【探究2】學(xué)生通過動手操作，觀察操作結(jié)果，在老師的引導(dǎo)下，小組合作，分析、歸納歸納垂直于弦的直徑的性質(zhì)練習(xí)旨在熟練垂徑定理的基本模型【合作交流】學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，小組合作探討，分析

12、、歸納垂直于弦的直徑的性質(zhì)推論.老師引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，用垂徑定理的基本模型解決問題.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下理解拱高老師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形，分析利用垂徑定理的基本模型解決問題的方法.學(xué)生思考、歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲鞏固練習(xí)由小組所有成員共同完成，完成后小組交流展示鞏固練習(xí)1旨在讓學(xué)生熟練掌握圓的對稱性、垂徑定理及其推論鞏固練習(xí)2旨在讓學(xué)生熟練垂徑定理的運(yùn)用課后作業(yè)第1題為課后作業(yè)，學(xué)生課后完成第2題為拓展練習(xí)，供學(xué)有余力的同學(xué)鉆研，其中（1）題應(yīng)用垂徑定理求出弦心距，從而求出兩平行線間的距離.注意考慮弦在圓心同側(cè)和異側(cè)兩種情況，滲透分類討論的思想.課堂若有時間可作為課堂中的拓展練習(xí).激發(fā)學(xué)生探索垂徑定理

13、的興趣.通過【探究1】探索圓的對稱性，為【探究2】探索垂徑定理做準(zhǔn)備.通過【探究2】學(xué)生動手操作，觀察操作結(jié)果，教師通過層層遞進(jìn)的提問，引導(dǎo)學(xué)生探究出垂直于弦的直徑的性質(zhì)，并讓學(xué)生在合作探究中對垂徑定理的文字語言、符號語言、圖形語言三種語言的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行探究，形成整體，進(jìn)而熟練掌握.這樣設(shè)計(jì)培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和歸納、概括的思維能力，并使學(xué)生領(lǐng)略到圓的對稱美，同時發(fā)展了學(xué)生的符號感，分化了難點(diǎn)【合作交流】垂徑定理的推論較多且為考察的重點(diǎn)，本節(jié)主要探究垂徑定理及其推論的內(nèi)容和應(yīng)用通過以上三個探究活動，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)際抽象、猜想探索、一般驗(yàn)證的探究過程，實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的思維跨越通過解決這一數(shù)學(xué)實(shí)際問題，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的靈活與精巧，體會垂徑定理中蘊(yùn)含的歷史和文化培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力，進(jìn)一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法；培養(yǎng)學(xué)生合作交流的精神.讓學(xué)生通過歸納總結(jié)，使知識點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合在一起，培養(yǎng)他們思維的