累加法與累乘法在數(shù)列不等式證明中的應(yīng)用

1、累加法與累乘法在數(shù)列不等式證明中的應(yīng)用占雷我們知道等差數(shù)列的通項公式由累加法得出， 等比數(shù)列的通項由累乘法得出。而在數(shù)列不等式的證明中這兩種方法有著廣泛的應(yīng)用。其指導(dǎo)思想就是將有限項(通常是一項或兩項)轉(zhuǎn)化為多項，使得所證明的不等式兩邊在形式上達成統(tǒng)一， 從而通過證明局部來證明整個命題。下面我通過幾個例子具體談?wù)勗摲椒ā＠?.：已知數(shù)列 an 2n ,求證： a1a2a3 an 2n 1.n 2n 1 1 2 3 n通過觀察不難發(fā)現(xiàn)該不等式的左邊有 n 項，而右邊只有一項， 為了達成左右統(tǒng)一的形式，我們可把 2n 1拆成 n 項積的形式。 解：設(shè)數(shù)列 bn的前n項積為 Tn 2n 1, 當(dāng) n

2、 2時bn Tn2n 1,當(dāng) n 1時 b1 3成立。n Tn 1 2n 1 1要證明 a1a2a3 an 2n 1，則只需證明 a1a2a3 an b1b2b3 bnan 0,bn 0. 只需證明 an bn即可，即證 2n 2n 1.(1)n n n n 2n 1 2n 12n 1 2n 1 4n2 1 4n2 2n. (1)成立，則原不等式成立。例2：求證：對任意的正整11數(shù)n，均有 1 12 131 lnnn!類似于例 1，根據(jù)左右兩邊的形式可先將右邊部分拆成n 項和n解：設(shè)數(shù)列 an的前 n項和為 Sn ln en!n n 1當(dāng)n 2時,an Sn Sn 1 ln e ln e ln

3、 e 1 ln n,當(dāng)n 1時,a1 1也成立n! (n 1)! n則原不等式可轉(zhuǎn)化為： 1 1 11a1a2a3an2 3n1 23n1要證明上述不等式則只需證明： 1 1 ln(n 2)n經(jīng)過這次轉(zhuǎn)換后接下來的思路就非常清晰了，可以通過構(gòu)造函數(shù)來證明( 2)設(shè)函數(shù) f x 1 ln x 1, 定義域為 1，xf (x)12 1 x 21 0 f x 在 1， 上為單調(diào)增函數(shù)x2 x x2f x f 1 0. f n 0則( 2)得證。原不等式成立 。通過上面這兩個例子我們發(fā)現(xiàn)，在對于證明關(guān)于正整數(shù) n 的類似于 f (1) f (2) f (3) f (n) g(n)或f (1) f(2)

4、f (3) f (n) g (n)的相關(guān)命題時，引入累加與累乘的思想后很容易觀察出下面的思路， 從而比較方便準(zhǔn)確的找到解題方法。1例3：已知數(shù)列 an 滿足： a1 2,an 1 an,(n N* ),cn nan.an證明： cn 2 1 2 3 n該題在形式上和上述兩例一致，有的同學(xué)拿到題目后首先想到的可能是如何把 cn求出來， 這樣一來就相對復(fù)雜了。 運用累加思想將cn拆成 (cn cn 1) (cn 1 cn 2) (c2 c1) c1 ，所證明的不等式就可以進步簡化。證明：原不等式可轉(zhuǎn)化 為(cn cn 1) (cn 1 cn 2)(c2 c1) c1 2 1 2 3 n則只需要證明

5、下列結(jié)論 即可： n 1時不等式成立 ,n 2時cn cn 1 2 n 當(dāng) n 1時, 左邊 1 右邊 , 顯然不等式成立 .當(dāng)n 2時,cn cn 1 nan n 1an 1 n1a1 , n 1 a a n 1n 1an 1 na n 1an 0, cn cn 1 an 1n 2 a n 1 n 2 n .a n 1an 1從而原命題得證。在該方法的運用過程中， 最關(guān)鍵的就是將一項拆成多項， 值得注意的是在拆完后， 左右兩邊呈現(xiàn)一對一的現(xiàn)象。 基于該方法的指導(dǎo)思想我們可進一步延伸， 對于左右兩邊不對稱的形式我們同樣可采用累加累乘思想先拆分再配對，從而來尋找證明的突破口。例4：在數(shù)列 an

6、中，已知 a1 1 ，且 an an 1 1 2 12an 1 a nn n 1記數(shù)列 an 的前項和 Sn .證明 : 1 ln n Sn 1 ln nn n n 2面我們將所證明的不等式中的三部分均寫成和的形式當(dāng)n 2時： 1 lnn -1 ln 2 ln1 ln3 ln2 ln n ln n 1 3 1Sn 2 a2 a3an 411ln nln2 ln1 ln3 ln2 ln n ln n 1 5將上述三個式子代入所證明的結(jié)論中我們發(fā)現(xiàn)：右邊部分的常數(shù)可約去 1 ，約完后兩邊恰好一對一，可直接采用前面的方法求解，2下面先證明右邊部分證明一：由 4 5 兩式可將證明結(jié)果變形 為111 a

7、2 3an 1 ln 2 ln1 ln3 ln2 ln n ln n 1221當(dāng) n 1時：左邊 1 右邊2當(dāng)n 2時：要證原不等式則只 需證an ln n ln n 1根據(jù)題目條件可求得 a2n ,即證 2nln nn2 1n2 1 n 1對于這個不等式就好辦了，借助我們所熟悉的 函數(shù)不等式 x ln 1 x x 0.1x在這個函數(shù)不等式中進顯然這個式子是成立的行賦值x 1 得到 1 ln n ,下面只要證明 2n1n 1 n n 1n 2 1 n，從而不等式的右半部 分得證。對于左半部分結(jié)合 3 4 發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系如下(ln 2 ln1) 1 , ln3 ln 2 a2, , ln n ln

8、 n 1這樣在 3 中多出了 1，在 4 中多出了 an 。 此時上述方法無法直接運用，我們?nèi)钥衫蒙鲜鏊枷雽⒕哂袑?yīng)關(guān)系的部分結(jié)合， 剩下部分結(jié)合再來尋找突破口。下面給出左半部分的證明：證明二：由 3 4 兩式可將所證明的結(jié)論 轉(zhuǎn)化為：11 lnn -1 ln 2 ln1 ln 3 ln2 ln n ln n 1a2 3an1當(dāng)n 1時,左邊 1 12 右邊當(dāng)n 2時, 要證原不等式只需證明12 ln2a2 ln 312a3 ln 433an 1 ln n1 a n n1記bn an1 ln n ,類似于證明一，我們借 助另一個函數(shù)不等式 ln1 x x x 0 n1令x1 ,則有 ln n 1n 1 n 1 n 1n n 1n 1 n 1 2 1 n 1 n 1 n 12 1 n 1 n 1 1, bn an 1 ln11n n 11 ln 221ln32a3 ln 43a n 1