第六章二次型總結(jié)

1、第六章 二次型（一般無大題）基本概念1. 二次型 : n 個變量 x1, x2 ,L ,xn 的二次齊次函數(shù)2f(x1,x2,L ,xn ) a11x12 2a12x1x2 a22 x2 2a23 x2 x32a13x1x3 L2a2nx2xn2a1nx1xnL2annxn2的矩陣 , 二次型矩陣均為對稱矩陣 , 且二次型與對稱f (x1, x2 ,L2, xn )a11 x1a12 x1 x2a13 x1 x3La1 n x1xna21 x 2 x12 a22 x 2a 23 x2 x3La2nx2xnLLan1 xnx1an2xnx22an3xnx3L2 a nn xna11a12La1n

2、Lxa21a 22La2nx1 x 2nnLLLLan1an2Lannx T Ax稱為 n 元二次型 , 簡稱二次型 . 其中 aij aji , 則Mx1x2xn因此，二次型也記X AX , A 稱為二次型矩陣一一對應(yīng) , 并把矩陣 A的秩稱為二次型的秩，記作 R（f ）=R（A） 例題：寫出下列二次型的矩陣： （p 書 126 例）2. 合同矩陣的定義及性質(zhì)合同矩陣定義設(shè)A, B均為n階方陣，若存在可逆矩陣 C，使得 CTAC B，則稱矩陣 A與B合同，記A B .實對稱矩陣 A與 B合同的充要條件是二次型 xT Ax與xT Bx有相同的正 負慣性指數(shù) .（A 的正 , 負慣性指數(shù)： A

3、的特征值的個數(shù) ）合同是矩陣之間的另一種關(guān)系，它滿足（1）反身性，即 A ETAE ；（2）對稱性，即若 B CTAC ，則有 A C 1 T BC 1；（3）傳遞性，若 A1 C1T AC1和 A2 C2T A1C 2 ，則有 A2 C1C2 T A C1C2 因此，經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的 .在數(shù)域 P 中要使兩個二次型等價，充分必要條件就是它們的矩陣合同合同矩陣的性質(zhì)性質(zhì) 1合同的兩矩陣有相同的二次型標準型 .性質(zhì) 2性質(zhì) 3矩陣合同與數(shù)域有關(guān) .例2設(shè) A,B均為數(shù)域 F 上的 n階矩陣 ,若 A,B合同，則 r A r B ,反之，若B , 問在

4、F 上是否合同若 A與B合同，即存在可逆矩陣 C，使B CTAC .由于任何矩陣乘滿秩矩陣不改變矩陣的秩，故 A與B有相同的秩 .反之，若 r Ar B ，則 A 與 B 在 F 上不一定合同10. 例如，方陣 A= 01 01 ，B= 1 1 的秩相等，01而非對稱方陣不能與對稱方陣合同例3 設(shè)=A A100A2，B= B1 0 ，證明：如果 A1與B1合同， A2與B2合同，則 A 0 B2與 B 合同 .證 由于 A1與 B1合同，A2與B2合同，故存在滿秩矩陣 C1 ， C2 ，使得 B1 C1T A1C1 ，B2 C2T A2C2，于是令 CC1 0 ，則有 B CT AC ，即 A

5、與 B 合同. 0 C 22 3 合同矩陣的判定定理 1 兩復數(shù)域上的 n階對稱矩陣合同的充分必要條件上是二者有相同的秩定理 2 兩實數(shù)域上的 n階對稱矩陣合同的充分必要條件是它們有相同的秩和符號差矩陣與合同矩陣的等價條件定理 1 如果A與B都是n階實對稱矩陣，且有相同的特征根 .則A ，B既相似又合同 .定理2 若n階矩陣 A ， B中有一個是正交矩陣，則 AB與BA相似且合同. 定理 3 若A與B相似且合同，C與D相似且合同，則 A 0 與 B 0 相似且合同 .0 C 0 D4 00410220例5 已知A=04 0400，B= 041，C=222200，試判斷A，B，C中哪些矩陣0 0

6、4000002在數(shù)域 P 上，任一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣相似，哪些矩陣合同分析 矩陣 A 的秩和矩陣 B, C 的秩不等，則 A不可能與 B ， C 相似或合同，只有 討論 B ， C 了.解 A的秩為 3，而 B，C的秩為 2，故 A和B ， C既不相似又不合同 .又B的跡是 8，而 C的跡是 6，不相等，故 B 和C不相似，最后， C 是對稱矩陣， 而B不是，所以， B和C也不合同 .所以，矩陣 A ，B ， C 相互之間既不相似又不合同 .3. 二次型的標準型 , 規(guī)范性 rT T T T 2 標準型 : 二次型 f(x1,x2,L ,xn) xT Ax經(jīng)過合同變換 x Cy化為

7、 f xTAx yTCT ACydiyi2 稱i1 為 f 的標準形 .( 在一般的數(shù)域內(nèi) , 二次型的標準形不是唯一的 , 與所作的合同變換有關(guān) , 但系數(shù)不為 零的平方項的個數(shù)由 r(A) 唯一確定 )規(guī)范形 : 任一實二次型 f 都可經(jīng)合同變換化為規(guī)范形 f z12 z22 L z2p zp2 1 L zr2 , 其中 r 為 A的秩 , p 為正慣性指數(shù)， n p為負慣性指數(shù)，且規(guī)范型唯一。4. 化二次型為標準型方法(1) 配方法(任何二次型都可可由此化為標準型) 如果二次型中至少含有一個平方項 , 不妨設(shè) a11 0 , 則對所有含有 x1的項配方 , 經(jīng)配方后所余各項 中不再含有

8、x1, 如此繼續(xù) , 直至每一項都包含在各完全平方項中 , 引入新變量 y1,y2,L ,yn ,由1 T 2 2 2 y C 1x, 得 xT Ax d1y12 d2 y22 L dnyn2 例： p 書 131 例 如果二次型中不含平方項, 只有混合項, 不妨設(shè) a12 0, 則可令 x1 y1 y2, x2 y1 y2, x3 y3, L , xn yn, 然后按的方法繼續(xù)做 例： p 書 131 例(2) 正交變換法設(shè) A是 n 階實對稱矩陣 , 按以下步驟進行 : 求出 A的全部特征值 1, 2,L , t . 對每個 i(i 1,2,L ,t), 求出 ( iE A)x 0的一個基

9、礎(chǔ)解系 i1, i2,Li1, i2,L , is正交化 ,單位化 ,得ri1,ri2,L , ris ,它是單位正交向量組 ,而且是的屬于的 i線性 無關(guān)的特征向量 .以r11, r12,L ,r1s,r21,r22,L ,r2s1,L ri1,ri2,L , rist列向量 , 構(gòu)造出正交矩陣 T, T即為所求正交 變換矩陣 ,使T 1AT 為對角矩陣 .再利用正交變換 x=Py，二次型可化為標準型 f=? 1y12+ ? 2y22+ ? nyn2, 其中? i 為對角矩陣 T 1AT的對角元素，也為 A的全部特征值 .因為對角矩陣的位置任意性， 故二次型化為標準型的答案不唯一 .例 4

10、用正交變換化二次型2x1221A2解 f 的矩陣為 2|IA的特征多項式為A|2 ( 9)1EA的特征值為 1 0 (二重)1A22可得 A對應(yīng)于 1 的兩個線性無關(guān)特征向量為(0,1, 1)T,(4,1,1)T顯然 1, 2已經(jīng)正交 .得 A 對于 2的特征向量為(1,2,1)T1, 2,(0, 1 )2, 2)4(3 21,3 2,3 2)1(3,23)T4x2 4 x3 4x1x2 4 x1x3 8x2x3為標準形 .作正交變換x1x2x31212432132132132323y1y2y3則f29y32例5已知二次型f (x1, x2,x3) 2x123x223x322ax2x3(a 0

11、) 通過正 交變 換化成 標準形2y1222y22 5y321)求參數(shù) a 及所用的正交變換矩陣；2) 2x1 3x2 3x3 2ax2 x3 1表示什么曲面200A03a解 二次型 f 的矩陣為0a320| E A |03aA的特征多項式為0a3( 2)( 2 6 9 a2 )由題設(shè)可知 A 的特征值為 11,22,352將 1 1代入 | E A| 0, 得 a40,a2200A032因a 0, 故取 a 2, 這時 ,023100 x1 0022x 20對于 1 1, 解| 1E A | X0,即022 x 3 0解得對應(yīng)的特征向量為 1 (0,1,1)T.對于2 , 解|2EA|X0,

12、 即得對應(yīng)的特征向量為(1, 0,0)T對于5, 解 |3EA|X0, 可得對應(yīng)的特征向量為(0,1,1)T123 單位化：1111(0, 122 (1, 0, 0)T1 1 T3 (0, 2, 2 )T故所用正交變換的矩陣為0121201212；2)當 f 1 時,2 y2 1 22 z 1 5是橢球面 .例 6 設(shè)二次型2x12x32ax1x2 2bx2x3 2x1x3經(jīng)正交變換 X PY 化成 fy22 2y32.其中, X (x1,x2,x3)T, Y (y1,y2,y3)T , P 是三階正交矩陣 . 試求常數(shù) a, b.解 二次型 f 經(jīng)變換 X PY 前后的矩陣分別為1a1A a

13、 1 b1b1000B 0 1 0002故二次型 f 可寫為 f X TAX YTBY因此 |EA| |EB|1a100a1b0 1 0即1b10 0 2 等價于 3 3 2 (2 a2 b2)(a b) 2 3 3 2 2由此式可得ab 0 為所求的常數(shù) .由于 PT AP B 且 P 為正交矩陣故 PT P 1且 P 1AP B,注 1 ：對于同一個二次型來說，他的標準型不唯一；注 3 ：對二次型所有標準型當中所含有的項數(shù)是一致的，所含的正系數(shù)的個數(shù)也唯一5. 二次型的正定性及正定矩陣(1) 如果實二次型 f (x1,x2,L xn) xT Ax ，對任意一組不全為零的實數(shù) x (x1,x

14、2,L ,xn)T ，都有 f (x1,x2,L xn) xT Ax 0 ，則稱該二次型為正定二次型， 正定二次型的矩陣 A稱為正定矩陣。(2) 慣性定律設(shè)有實二次型x Ax ，它的旨為 r ，有兩個實可逆變換x=Cy，及 x=Pz使 fk1y12k2y22Lkryr2ki0 及 f1z122z22Lrzr2i0則k1， k2， kr與 1， 2， r 中正數(shù)的個數(shù)相等 .(3) 二次型正定的判別法：實二次型 f (x1,x2,L xn) xTAx 正定的充要條件是以下條件之一成立： 二次型的標準型中的 n 個系數(shù)全為正，即正慣性指數(shù)為 n ； A 的特征值全大于零； A 的所有順序主子式全大

15、于零； 存在可逆矩陣 P ，使 A PT P0, i 1,2,L ,na 負定的充要條件是：奇數(shù) 存在正交矩陣 Q ，使QT AQ Q 1AQ(4) 對稱陣 a 正定的充要條件是： a 的各階順序主子式都為正；對稱陣 階順序主子式為負，而偶數(shù)階順序主子式為正注：設(shè) A 為 n 階矩陣，由 A 的前 k 行和前 k 列構(gòu)成 k 階子式成為矩陣 A的k 階順序主子式例 1 用配方法化二次型為標準形 , 并判斷 f 的正定性 f (x1,x2,x3) x12 x22 3x32 4x1x2 2x1x3 2x2x3解 先將含 x1的各項合并在一起 , 配成完全平方 , 再接著處理 x2,x3.(x124

16、x1x22x1x34x 22x32 4x2x3)4x 22x 32 4 x 2 x3 x 22 2x2 x 33x 32(x1x2x3)2( 3x222x2x3)2x32(x12x2x3)23(x22 2 x2x3x32 )391x32332x32(x12x2x3)23(x212x3)273x323333f(x1,x2,x3) (x12 4x1x2 2x1x3) x22 2x2 x3 3x23y1x12x2x3y2x213 x 3y 3 x35-1)f (x1,x2,x3)y12例 3 求 的值 , 使二次型f(x,y,z,w)(x2y2 z2) 2xy 2yz 2zx w2是正定的 , 并討論2的情況解 f 的矩陣為1101A101100001得二次型的標準形為3y22 3 y32因f 的正慣性指數(shù)小于3, 故 f 非正定二次型f 正定的充要條件是 A正定, 而 A正定的充要條件是 A的各階順序主子式全大于零A的各階順序主子式為111A22 1 A 311A1， 2111(1)2 (2)2，A4 | A| A3 (1)2(2)由以上各式可知 , 當2 時, A的各階順序主子式全大于零 , 此時 A正定, 因而 f 正定.當 2時 , A的各階順序方子