完全平方公式(一)

1、1.6 完全平方公式 （ 一）教學目標（一）教學知識點1. 完全平方公式的推導及其應用 .2. 完全平方公式的幾何背景 .（二）能力訓練要求1. 經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力 .2. 重視學生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達能力 .（三）情感與價值觀要求1. 了解數(shù)學的歷史，激發(fā)學習數(shù)學興趣 .2. 鼓勵學生自己探索算法的多樣化，有意識地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力 .教學重點1. 完全平方公式的推導過程、結構特點、語言表述、幾何解釋 .2. 完全平方公式的應用 .教學難點1. 完全平方公式的推導及其幾何解釋 .2. 完全平方公式結構特點及其應用 .教學方法自主

2、探索法學生在教師的引導下自主探索完全平方公式的幾何解釋、 代數(shù)運算角度的推理， 揭示其 結構特點，然后達到合理、熟練地應用 .教具準備投影片四張第一張：試驗田的改造，記作 （ §1.6.1 A） 第二張：想一想，記作 （ § 1.6.1 B） 第三張：例題，記作 （ §1.6.1 C） 第四張：補充練習，記作 （ §1.6.1 D）教學過程I.創(chuàng)設問題情景，引入新課師去年，一位老農(nóng)在一次“科技下鄉(xiāng)”活動中得到啟示，將一塊邊長為 a 米的正方 形農(nóng)田改成試驗田，種上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻，一年來，收益很大 . 今年，又一次“科技下鄉(xiāng)” 活動，使老農(nóng)鐵了心，要走科

3、技興農(nóng)的路子，于是他想把原來的試驗田，邊長增加 b 米，形 成四塊試驗田，種植不同的新品種 .同學們，誰來幫老農(nóng)實現(xiàn)這個愿望呢？（ 同學們開始動手在練習本上畫圖，尋求解決的途徑 ）生我能幫這位爺爺 .師你能把你的結果展示給大家嗎？生可以.如圖 125所示， 這就是我改造后的試驗田， 可以種植四種不同的新品種 .+bX § t v <+、X ¥ ”八八H *JaY i 'v V11 i科V 、 V+ d tV,4 Y 丫*號->圖 1 25師你能用不同的方式表示試驗田的面積嗎？生改造后的試驗田變成了邊長為(a+b)的大正方形，因此，試驗田的總面積應為(a+

4、b)2.生也可以把試驗田的總面積看成四部分的面積和即邊長為a的正方形面積，邊長為b的正方形的面積和兩塊長和寬分別為a和b的面積的和所以試驗田的總面積也可表示為a2+2ab+b2.師很好！同學們用不同的形式表示了這塊試驗田的總面積，進行比較，你發(fā)現(xiàn)了 什么？生可以發(fā)現(xiàn)它們雖形式不同，但都表示同一塊試驗田的面積，因此它們應該相等.2 2 2 即(a+b) =a +2ab+b師我們這節(jié)課就來研究上面這個公式一一完全平方公式n.講授新課1. 推導完全平方公式師我們通過對比試驗田的總面積得出了完全平方公式(a+b) 2=a2+2ab+b2.其實，據(jù)有關資料表明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國人也是通

5、過類似的圖形認識了這個公式.我們姑且把這種方法看作對完全平方公式的一個幾何解釋.能不能從代表運算的角度也能推導出這樣的公式呢？(出示投影片§ 1.6.1 A)想一想：(1) ( a+b)2等于什么？你能用多項式乘法法則說明理由嗎？(2) ( a b)2等于什么？你是怎樣想的.(同學們可先在自己的練習本上推導，教師巡視推導的情況，對較困難的學生以啟示)生用多項式乘法法則可得2(a+b) =( a+b)( a+b)= a( a+b)+ b( a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以(a+b) 2=a2+2ab+b2(1)師上面的幾何解釋和代數(shù)推導各有什么利弊？生幾何解釋完

6、全平方公式給我們以非常直觀的認識，但幾何解釋(a+b) 2=a2+2ab+b2,受到了條件限制：a>0且b>0;代數(shù)推導完全平方公式雖然不直觀，但在推導的過程中，a, b可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，零，也可以是單項式，多項式.師同學們分析得很有道理.接下來，我們來完成第(2)問.生也可利用多項式乘法法則，則 (a b)2=(a b)( a b)= a2 ab ba+b2=a2 2ab+b2. 生我是這樣想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意數(shù)或單項式、多項式 .我們用“一b”代替公式中的“ b” ,利用上面的公式就可以得到 (a b)2= :a+( b): 師這位

7、同學的想法很好因為他很留心我們表述的每一句話的含義，你能繼續(xù)沿著 這個思路做下去嗎？我們一塊試一下.師生共析2 2 2 2(a b) = :a+( b): =a +2 a ( b)+( b)Jb2JJJ2 2(a+b) =a +2 2 2=a 2ab+b .于是，我們得到又一個公式：(a b) 2=a2 2ab+b2師你能用語言描述上述公式嗎？生公式(1)用語言描述為：兩個數(shù)的和的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的 倍的和；公式(2)用語言描述為：兩個數(shù)的差的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的 的差這兩個公式為完全平方公式 它們和平方差公式一樣可以使整式的運算簡便.2.應用、升華出示投影片(&

8、#167; 1.6.1 B)例1利用完全平方公式計算：2 2(1)(2 x 3) ;(2)(4 x+5y)；2(3)( mn- a).分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步，準確代入公式；第三步 化簡解：(1)方法一：(2=(2莎2 2 * 3+3, =4/ 12龍+9方法二：(2x3尸=2 卄(一3)了二(2.護+2 - 2 丁(-3)+(-3/=4.i?-12.49(2 )(4一卄5顯=(4 一護+2 - 4: 5 卄(5=16*也以+25£fa*tr%(u+h) 2 = a2 + 2 u h I?(3)(啊/ =nu2 'd+ a = m n 2dm+(u

9、 b)2 2 cl b +fe2例2利用完全平方公式計算2 2(1)( x+2y) ;(2)( x - y);(3)( x+y - z)2;(4)( x+y)2 (x - y)2;2 2(5)(2 x - 3y) (2x+3y).分析：此題需靈活運用完全平方公式，(1)題可轉化為(2 y-x)2或(x-2y)2,再運用平方差公式；(2)題需轉化為(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)題利用加法結合律變形為(x+y)-z: 2(或x+(y-z): 2、:(x-z)+y: 2),再用完全平方公式計算；(4)題可利用完全平方公 式，再合并同類項，也可逆用平方差公式進行計算.(5)題可先逆用幕的運

10、算性質(zhì)變形，再用 平方差公式和完全平方公式 2解： 方法一：(x+2y) =(2y- x)2 2=4y 4xy+x ;方法二：2 2 2 2 2(x+2y) = (x 2y) =(x 2y) =x 4xy+4y .(2) ( -x-y)2= :- (x+y): 2=(x+y) 2=x2+2xy+y2.2 2 2 2(3) ( x+y-z) = :(x+y) -z =(x+y) -2(x+y) z+z2 2 2=x +y +z +2xy 2zx 2yz.22(4) 方法一：(x+y) -(x-y)2 2 2 2=(x +2xy+y ) - (x -2xy+y )=4xy.方法二：2 2(x+y)

11、 -(x-y)=:(x+y)+( x-y): :(x+y) - (x-y): =4xy.2 2(5) (2 x - 3y) (2x+3y)2=:(2x- 3y)(2 x+3y):=:4x2- 9y2 2=16x4 72x2y2+81y4.川.隨堂練習課本P34, 1.計算:(1) ( 1x - 2y)2;(2)(2 xy+£x)2;2 2(3)( r+1) - n .解：(1)( lx-2y) 2=( -x)2-2 -x 2y+(2y)2=-x2-2xy+4y22224后剩下不足10元但10x 2a（5 a+b）中含有偶數(shù)個10元，因此b2中必含有奇數(shù)個 只可能是1、4、9、16、2

12、5、36、49、64、81,而這九個數(shù)中，只有 因此b2只可能是16或36,但這兩個數(shù)的個位數(shù)都是 6,這就是說, 剩下不足10元）.10元，且b<10，所以b216和36含有奇數(shù)個10， 乙最后所拿的是6元（即結果甲比乙多拿了 4元，為了平均分配甲必須補給乙2元.1.8完全平方公式（一）板書設計一、幾何背景試驗田的總面積有兩種表示形式: a2+2ab+b22 (a+b)222對比得：(a+b) =a +2ab+b二、代數(shù)推導2(a+b) =(a+b)( a+b) =a2+2ab+b22 2(a-b) = :a+( b):2 . . 2=a 2ab+b三、例題講例例1.利用完全平方公式計

13、算:（1）（2 x 3）22（4 x+5y）2（3）（ m a）四、隨堂練習（略）備課資料一、楊輝.在13世紀中葉活動于蘇杭一帶， 其著楊輝，中國南宋時期杰出的數(shù)學家和數(shù)學教育家 作甚多.他著名的數(shù)學書共五種二十一卷 .著有詳解九章算法十二卷 （1261年）、日用算法 二卷（1262年）、乘除通變本末三卷（1274年）、田畝比類乘除算法 二卷（1275年）、續(xù) 古摘奇算法二卷（1275年）.楊輝的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷算法進行總結和發(fā)展，有的還編成了歌訣，如九歸口訣。他在續(xù)古摘奇算法中介紹了各種形式的“縱橫 圖”及有關的構造方法，同時“垛積術”是楊輝繼沈括“隙

14、積術”后，關于高階等差級數(shù)的 研究.楊輝在“纂類”中，將九章算術246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類他非常重視數(shù)學教育的普及和發(fā)展，在算法通變本末中，楊輝為初學者制訂的“習算綱目”是中國數(shù)學教育史上的重要文獻 二、參考練習1. 填空題2(1) ( 3x+4y)=.2(2) ( 2a b) =_.(3) x2 4xy+=(x 2y)2.2 2 2(4) a +b =(a+b) +.2 2 2(5) 丄 a +9 b =( 1 a+3b).4 22 2(6) ( a 2b) +(a+2b)=.2. 選擇題(1)下列計算正確的是

15、()2 2A. ( m 1) =m 12B. ( x+1)( x+1)=x +x+1C.( 1x y)2=1x2 xy y2242244D.( x+y)( x y)( x y )=x y2如果x+mx+4是一個完全平方式，那么A.4B. 4m的值是()C. ± 4D. ± 8(3)將正方形的邊長由2A.36 cm2C.(36+12 a)cm3.用乘法公式計算a cm增加6 cm,則正方形的面積增加了2B.12 a cmD.以上都不對(1)(2) ( x2 2y2)2 (x2+2y2)22(3) 29 X 31 X (30 +1)29992 2答案：1.(1)9 x 24xy

16、+16y2 2 24 a +4ab+b (3)4 y (4) 2ab(5)3 ab (6)2 a2+8b22. (1)D (2) C (3) C12 11 2 2 23.(1) -x -xy+-y (2) 8xy439(3)809999 (4)998001122112224212(2) (2 xy + 2x) =(2xy) +2 2xy 1 * * IV Vx+(1x) =4xy+-xy+x5555252222(3) 方法一：(r+1) - r=r +2r+1- r=2r+1.22方法二：(n+1) - n= : ( n+1)+ n (n+1) - n =2n+1.IV.課后作業(yè)1. 課本習題第1、2、3題.2閱讀“讀一讀”，并回答