現(xiàn)代控制理論試卷答案與解析

1、現(xiàn)代控制理論試卷作業(yè)一圖為R-L-C電路，設(shè)為控制量，電感上的支路電流和電容C上的電壓為狀態(tài)變量，電容C上的電壓為輸出量，試求：網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程（注意指明參考方向）。解：此電路沒有純電容回路，也沒有純電感電路，因有兩個(gè)儲(chǔ)能元件，故有獨(dú)立變量。以電感上的電流和電容兩端的電壓為狀態(tài)變量，即令：，由基爾霍夫電壓定律可得電壓方程為： 從上述兩式可解出，即可得到狀態(tài)空間表達(dá)式如下： =+二、考慮下列系統(tǒng)：（a）給出這個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量的實(shí)現(xiàn)；（b）可以選出參數(shù)（或）的某個(gè)值，使得這個(gè)實(shí)現(xiàn)或者喪失能控性，或者喪失能觀性，或者同時(shí)消失。解：（a）模擬結(jié)構(gòu)圖如下：則可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： （b） 因?yàn)?/p>

2、 所以：當(dāng)時(shí)，該系統(tǒng)不能控；當(dāng)時(shí)，該系統(tǒng)能控。又因?yàn)椋?所以：當(dāng)或時(shí)，該系統(tǒng)不能觀；當(dāng)且時(shí)，該系統(tǒng)能觀。綜上可知：當(dāng)時(shí)或且時(shí)，該系統(tǒng)既不能控也不能觀。三、已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：（1）試確定矩陣，并驗(yàn)證確為上式。（2）已知求，以下采用三種方法計(jì)算，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行討論。解：（1）利用書上P53狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)四：對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，有 即 當(dāng)t=0時(shí) 驗(yàn)證：（利用P59的公式（2-24）來驗(yàn)證） 解得：，有一對(duì)復(fù)根，重根部分按公式（2-24）處理，非重根部分的仍按公式（2-23）計(jì)算。且所以：四、有兩個(gè)能控能觀的單輸入單輸出系統(tǒng)： ： ： （1）按圖把、串聯(lián)，針對(duì)推導(dǎo)狀態(tài)方程。（2）判斷以上

3、系統(tǒng)的能控性和能觀性。（3）把串聯(lián)系統(tǒng)的連接順序顛倒過來，再推算系統(tǒng)的狀態(tài)方程及能控、能觀性。（4）求、及串聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，并對(duì)（2）和（3）討論。解：（1） 所以 因而 得狀態(tài)方程: （2） A= b= 所以 所以該系統(tǒng)不能控。 所以 所以 該系統(tǒng)是能觀的。（3） 所以所以 所以此時(shí)該系統(tǒng)能控。 而 所以此時(shí)該系統(tǒng)不能觀。（4） = 當(dāng)、按照（2）的連接方式串聯(lián)時(shí)，當(dāng)、按照（2）的連接方式串聯(lián)時(shí)，由上邊的傳遞函數(shù)結(jié)果可知，當(dāng)子系統(tǒng)串聯(lián)時(shí)，顛倒其先后次序，雖然傳遞函數(shù)相同，但系統(tǒng)的能控性、能觀性則不一定相同。五、試求下列系統(tǒng)的能控性分解及能觀性分解： 解：（a）能控性分解：，所以 ，故該

4、系統(tǒng)不能控。構(gòu)造非奇異矩陣，所以 （b）能觀性分解：所以 所以該系統(tǒng)不能觀。構(gòu)造非奇異矩陣：，所以 六、試用李雅普諾夫第二法，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）（2）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論，采取什么措施可使系統(tǒng)穩(wěn)定？解： 原點(diǎn)=0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即 當(dāng)，時(shí)， ；當(dāng)，時(shí)，因此為負(fù)半定。根據(jù)判斷，可知該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。另選一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，例如： = 為正定，而為負(fù)定的，且當(dāng)，有。即該系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。（2） 閉（3） 環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其齊次方程為 顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的唯一的平衡狀態(tài)，選李雅普夫函數(shù) 可見，在任意的值均保持

5、為0，而保持為常數(shù) 這表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡是一系列以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。這時(shí)系統(tǒng)為李雅普諾夫的穩(wěn)定，但在經(jīng)典控制理論中，這種情況屬于不穩(wěn)定，這的自由解是一個(gè)等幅的正弦振蕩，要想使這個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，必須改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。七、圖示的控制系統(tǒng)，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)輸出超調(diào)量和峰值時(shí)間。解：傳遞函數(shù)又因?yàn)槎A系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)中：根據(jù)題意要求和通過上式解答： 因此設(shè)計(jì)后的極點(diǎn)分別為： 因?yàn)閭鬟f函數(shù)沒有零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，所以原系統(tǒng)能控而且能觀?？芍苯訉懗鏊哪芸貥?biāo)準(zhǔn)I型實(shí)現(xiàn)。 其閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下： 加入狀態(tài)反饋陣，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖： 而閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為 根據(jù)極點(diǎn)值，得期望特征多項(xiàng)式： 比較和

6、各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得： 即 八、系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：，性能指標(biāo)泛函分兩種情況求最優(yōu)控制：。（1） 對(duì)沒有約束（2）解：（1） 原問題為自由終端狀態(tài)，因而。由哈密爾頓函數(shù) 又因?yàn)?0 所以又沿最優(yōu)軌跡線滿足正則方程： 邊界條件 通過上式聯(lián)合解答： （2） 由極小值原理，與符號(hào)有關(guān)，取 表示的符號(hào)， 取 在區(qū)間，取。下圖表示求解結(jié)果。九、試綜述最有控制理論的內(nèi)容及方法，分析比較二次型性能指標(biāo)泛函與經(jīng)典控制理論的性能指標(biāo)。1 內(nèi)容：現(xiàn)代控制理論研究的對(duì)象不再局限于單變量的，線性的，常定的，連續(xù)的系統(tǒng)，而擴(kuò)展為多變量的，非線性的，時(shí)變的，離散的系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)

7、空間法為基礎(chǔ)，分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。所謂狀態(tài)空間法，本質(zhì)上是一種時(shí)域分析方法，它不僅描述了系統(tǒng)的外部特性，而且揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)和性能?，F(xiàn)代控制理論分析和綜合系統(tǒng)的目標(biāo)是在揭示其內(nèi)在規(guī)律的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在某種意義上的最優(yōu)化，同時(shí)使控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不再限于單純的閉環(huán)形式，現(xiàn)代控制理論的主要內(nèi)容包括如下五個(gè)分支：線性系統(tǒng)理論、建模和系統(tǒng)辨識(shí)、最憂濾波理論、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制。2方法：現(xiàn)代控制理論的方法本質(zhì)是一種時(shí)域方法，它是建立在狀態(tài)變量描述方法基礎(chǔ)上的，它著眼于系統(tǒng)的狀態(tài)，能更完全的表達(dá)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，在解決最優(yōu)控制問題中，極大值原理和貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃是最重要的兩種方法。3分析比較指標(biāo)泛函與經(jīng)典控制理論的性能指標(biāo)：性能指標(biāo)在數(shù)學(xué)上成為泛函，經(jīng)典控制理論中的性能指標(biāo)一般為最大超調(diào)量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。現(xiàn)代控制理論的二次型指標(biāo)泛函的意義：花費(fèi)盡量少的控制能量，使系統(tǒng)的輸出盡可能地跟隨期望輸出變化。常見的二次型性能指標(biāo)分兩類：線性調(diào)節(jié)器和線性伺服器。假定狀態(tài)方程：，尋求最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)達(dá)到極小值 （9-1） 這是二次型指標(biāo)泛函，要求S，是對(duì)稱陣，且S和是非負(fù)定或正定的，應(yīng)是正定的。式（9-1）右端第一項(xiàng)是對(duì)終端狀態(tài)提出一個(gè)符合需要的要