理解霍普分岔

1、 Hopf分岔定理當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)的行為在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定的極限環(huán)之間切換，這種動(dòng)力學(xué)演化過程稱為Hopf分岔。該分岔由Hopf于1942年進(jìn)行了嚴(yán)格的理論證明，即Hopf分岔定理。Hopf分岔定理：假定系統(tǒng)為，其中為狀態(tài)變量，為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)有平衡點(diǎn)，且滿足：(1)除了有一對(duì)共軛的純虛數(shù)特征根外，其余特征根實(shí)部均不為0；(2) (4-1)則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生平衡點(diǎn)和極限環(huán)之間的狀態(tài)演化過程。Hopf分岔包含2種情況，l 極限環(huán)在參數(shù)大于分岔值0的范圍內(nèi)存在，稱為超臨界(supercritical)Hopf分岔，如圖4.3(a)所示；l 極限環(huán)在參數(shù)小于分岔值0的范

2、圍內(nèi)存在，稱為亞臨界(subcritical)Hopf分岔，如圖4.3(b)所示。 (a) 超臨界Hopf分岔(b) 亞臨界Hopf分岔圖4.3 Hopf分岔圖Fig.4.3 Hopf bifurcationHopf分岔的基本概念可以用移相式RC正弦振蕩器來說明，RC正弦振蕩器如圖4.4所示，其中放大器轉(zhuǎn)移特性為： (4-2)圖4.4 RC正弦振蕩器Fig.4.4 RC sinusoidal oscillator當(dāng)電路中放大器的線性電壓放大倍數(shù)k>29時(shí)，振蕩器中將產(chǎn)生穩(wěn)定的周期振蕩，振蕩頻率。由于電路含有3個(gè)動(dòng)態(tài)元件(電容)，我們可分別以3個(gè)電容電壓為狀態(tài)變量列出狀態(tài)方程為： (4-3

3、)代入放大器的轉(zhuǎn)移特性，并令將時(shí)間歸一化后，則有非線性狀態(tài)方程： (4-4)令上式等于0，可得相點(diǎn)(v1，v2，v3)(0，0，0)是該電路唯一的平衡點(diǎn)。在平衡點(diǎn)處對(duì)方程進(jìn)行線性化，得系數(shù)矩陣為： (4-5)則特征方程為： (4-6)當(dāng)k29時(shí)，15，有一對(duì)實(shí)部為零的共軛復(fù)特征值。即k29時(shí)，平衡點(diǎn)為非雙曲平衡點(diǎn)；當(dāng)k28 (29)時(shí)，10，且a(k)0，(k)0，此時(shí)平衡點(diǎn)為漸近穩(wěn)定雙曲平衡點(diǎn)，系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)域波形如圖4.5(a)所示；當(dāng)k29時(shí)，10，但a(k)0，即平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定雙曲平衡點(diǎn)，系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)域波形如圖4.5(b)所示。由此可知，k29是分岔臨界

4、值，當(dāng)k從k29增加經(jīng)過k29到k29時(shí)，相圖的定性性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)的變化。除平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性質(zhì)變化外，還從平衡點(diǎn)分岔出極限環(huán)，即產(chǎn)生周期振蕩，由Hopf分岔定理證明，該分岔為超臨界Hopf分岔。 (a) 穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，k28，m1 (b)穩(wěn)定的極限環(huán)，k30，m1圖4.5 系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)域波形圖Fig.4.5 The time-domain waveforms of state variables 電力電子中的Hopf分岔并聯(lián)Boost變換器、滯環(huán)電流模式控制的Cuk變換器都可以產(chǎn)生Hopf分岔運(yùn)動(dòng)102。和倍周期分岔不同，Hopf分岔屬于慢標(biāo)度分岔，需要建立變換器的平均模型來進(jìn)行理論分析。根據(jù)平均模型可得到系統(tǒng)的雅可比矩陣，然后再根據(jù)Jacobian矩陣的特征值來判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。由于變換器經(jīng)過Hopf分岔產(chǎn)生了極限環(huán)，該極限環(huán)周期與變換器內(nèi)在周期可能存在不可通約的情況，即系統(tǒng)中存在兩個(gè)比值為無理數(shù)的周期，所以Hopf分岔后將可能產(chǎn)生準(zhǔn)周期的情況。這種變換器中的Hopf分岔通向混沌的路徑如圖4