綜合型問題(含答案)

1、第10課時(shí)綜合型問題綜合型試題是將所學(xué)的知識(shí)在一定的背景下進(jìn)行優(yōu)化組合，找到解決問題的方案，在解決問題的時(shí)候 所用到的知識(shí)不再是單一的知識(shí)點(diǎn)，而是相關(guān)的知識(shí)，可能同時(shí)用到方程、函數(shù)，也有可能是三角形與多 邊形，也有可能是相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，這類題目對(duì)學(xué)生綜合能力的要求較高，同時(shí)這類題目有相對(duì)新穎的背 靜環(huán)境，數(shù)學(xué)綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型.解數(shù)學(xué)綜合題必須要有科學(xué)的分析問題的方法，要善于總結(jié)解數(shù)學(xué)綜合題中所隱含的重要的轉(zhuǎn)化思想、 數(shù)形結(jié)合思想、分類討論的思想、方程的思想等，要結(jié)合實(shí)際問題加以領(lǐng)會(huì)與掌握，這是學(xué)習(xí)解綜合題的 關(guān)鍵.類型之一代數(shù)類型的綜合題代數(shù)綜合題是指以代數(shù)知識(shí)為

2、主的或以代數(shù)變形技巧為主的一類綜合題主要包括方程、函數(shù)、不等式等內(nèi)容，用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代人法、待定系數(shù)法等.解代數(shù)綜合題要注意各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧的靈活運(yùn)用，要抓住題意，化整為零，層層深人，各個(gè)擊破.1.（安徽?。﹦偦貭I(yíng)地的兩個(gè)搶險(xiǎn)分隊(duì)又接到救災(zāi)命令：一分隊(duì)立即出發(fā)往30千米的A鎮(zhèn)；二分隊(duì)因疲勞可在營(yíng)地休息 a （0 aw）3小時(shí)再往 A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在離營(yíng)地10千米處發(fā)生塌方，塌方地形復(fù)雜，必須由一分隊(duì)用 時(shí)，二分隊(duì)的行進(jìn)速度為（4+a）千米/時(shí)。1小時(shí)打通道路，已知一分隊(duì)的行進(jìn)速度為5千米/-1

3、 -（1若二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，問二分隊(duì)幾小時(shí)能趕到A鎮(zhèn)？（2若二分隊(duì)和一分隊(duì)同時(shí)趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營(yíng)地休息幾小時(shí)？下列圖象中， 分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A鎮(zhèn)(a)何的距離 y千米）和時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)寫出你認(rèn)為 所有可能合理的代號(hào)，并說明它們的實(shí)際意義。2 （沈陽市）一輛經(jīng)營(yíng)長(zhǎng)途運(yùn)輸?shù)呢涇囋诟咚俟返腁處加滿油后，以每小時(shí)80千米的速度勻速行駛，前往與A處相距636千米的B地，下表記錄的是貨車一次加滿油后油箱內(nèi)余油量y （升）與行駛時(shí)間x （時(shí)）行駛時(shí)間才（時(shí)）0122,6余油童y （升100806050之間的關(guān)系:（1請(qǐng)你認(rèn)真分析上表中所給的數(shù)據(jù)，用你學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和

4、二次函數(shù)中的一種來表示y與x之間的變化規(guī)律，說明選擇這種函數(shù)的理由，并求出它的函數(shù)表達(dá)式；（不要求寫出自變量的取值范圍）（2） 按照（1）中的變化規(guī)律，貨車從 A處出發(fā)行駛4.2小時(shí)到達(dá)C處，求此時(shí)油箱內(nèi)余油多少升?（3）在（2）的前提下，C處前方18千米的D處有一加油站，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)此貨車在行駛中油箱內(nèi)至少保證有10升油，如果貨車的速度和每小時(shí)的耗油量不變，那么在D處至少加多少升油， 才能使貨車到達(dá)B地.（貨車在 D處加油過程中的時(shí)間和路程忽略不計(jì)）類型之二幾何類型的綜合題幾何綜合題考查知識(shí)點(diǎn)多、條件隱晦，要求學(xué)生有較強(qiáng)的理解能力，分析能力，解決問題的能力，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法有較強(qiáng)的駕馭能

5、力，并有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力.解決幾何型綜合題的關(guān)鍵是把代數(shù)知識(shí)與幾何圖形的性質(zhì)以及計(jì)算與證明有機(jī)融合起來，進(jìn)行分析、推理，從而達(dá)到解決問題的目的.3. （龍巖市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O O交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線FA丄x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)D在FA上，且DO平行O O的弦MB，連DM并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C.（1）判斷直線DC與O O的位置關(guān)系，并給出證明；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2, 4）,試求MC的長(zhǎng)及直線DC的解析式DEFG，使正方形的一條邊 DE落4. （益陽） ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形在BC上，頂點(diǎn)F、G分別落在AC、AB上.I 證明： BDG CEF

6、 ;II .探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫出正方形小聰和小明各給出了一種想法，請(qǐng)你在I a和I b的兩個(gè)問題中選擇一個(gè)你喜歡的問題解答.如果兩題都解，只以I a的解答記分I a.小聰想：要畫出正方形 DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)就能求出 BD和CE的長(zhǎng)，從而確定 D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫正方形 DEFG就容易了 設(shè)厶ABC的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)你幫小 聰求出正方形的邊長(zhǎng)（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示，不要求分母有理化）I b.小明想：不求正方形的邊長(zhǎng)也能畫出正方形具體作法是： 在AB邊上任取一點(diǎn) G,如圖作正方形 G D E F 連結(jié)BF并延長(zhǎng)交AC于F; 作 FE / F E交 BC 于 E, FG / F（交

7、 AB 于 G,GD / G D交 BC于D，則四邊形 DEFG即為所求圖你認(rèn)為小明的作法正確嗎？說明理由-4 -類型之三幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題是初中數(shù)學(xué)中涵蓋廣、綜合性最強(qiáng)的題型它可以包含初中階段所學(xué)的代數(shù)與幾何的若干知識(shí)點(diǎn)和各種數(shù)學(xué)思想方法，還能有機(jī)結(jié)合探索性、開放性等有關(guān)問題；它既突出考查了初 中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，又突出了與高中銜接的重要內(nèi)容，如函數(shù)、方程、不等式、三角形、四邊形、相似形、 圓等它不但考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力還可以考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移整合能力；既考 查學(xué)生對(duì)幾何與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，多角度、多層面綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法分析

8、問題和解決 問題的能力，還考查學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力5. (恩施自治州)如圖 1在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形 ABC和AFG擺放在一起，A 為公共頂點(diǎn)，/ BAC = Z AGF=90它們的斜邊長(zhǎng)為 2，若？ABC固定不動(dòng)，？AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與 邊BC的交點(diǎn)分別為 D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m, CD= n.(1) 請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明(2) 求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍.(3) 以？ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為 y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如

9、 圖2).在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證 BD 2+CE 2 =DE 2 .(4) 在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系 BD 2+CE 2=DE 2是否始終成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理 由.：2 26. (茂名)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 拋物線y= x +bx + c，經(jīng)過A ( 0, - 4 )、B( X! , 0 )、3C ( X 2 , 0)三點(diǎn)，且 X 2 -X 1=5 .(1) 求b、c的值；(2) 在拋物線上求一點(diǎn) D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；(3) 在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形BPOH是以0B為對(duì)角線的菱形？

10、若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說明理由.7.(嘉興市)如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)0(0,0), A(2,0)，點(diǎn)B在第一象限且 OAB為正三角形， OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn) C，過點(diǎn)C的圓的切線交x軸于點(diǎn)D .(1) 求B, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 求直線CD的函數(shù)解析式;(3)設(shè)E, F分別是線段 AB, AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EF平分四邊形 ABCD的周長(zhǎng).試探究： AEF的最大面積?AX-7 -參考答案1.【解析】本題是一道包含著分類思想的應(yīng)用綜合應(yīng)用題。解題前先認(rèn)真閱讀弄清題意，把握好時(shí)間信息，二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，幾小時(shí)能趕到A鎮(zhèn)，途中考慮到在

11、塌方地點(diǎn)的停留，解題時(shí)不能忽視；在考慮圖像時(shí)，同樣也要分不同的情況去研究。_ _ 10【答案】解：（1）若二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，則a= 0,速度為4千米/時(shí)，行至塌方處需 一 =2 5 （小時(shí)）410因?yàn)橐环株?duì)到塌方處并打通道路需要1 = 3 （小時(shí)），故二分隊(duì)在塌方處需停留0.5小時(shí)，所以二520分隊(duì)在營(yíng)地不休息趕到 A鎮(zhèn)需2.5+0.5+= 8 （小時(shí)）430（小時(shí)）20千米需與一分隊(duì)同行，故4+a= 5，即a=1，這與二分隊(duì)在塌（2） 一分隊(duì)趕到 A鎮(zhèn)共需 一 +1 = 75（I）若二分隊(duì)在塌方處需停留，則后方處停留矛盾，舍去;（n）若二分隊(duì)在塌方處不停留，則（4+a)(7 a)=30,即

12、卩 a2 3a+2= 0”解得 ai=i, a2=2 均符合題意。答：二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營(yíng)地休息 1小時(shí)或2小時(shí)。（其他解法只要合理即給分）-8 -# -（3）合理的圖像為（b）、（ d）圖像（b）表明二分隊(duì)在營(yíng)地休息時(shí)間過長(zhǎng)（2v a3，后于一分隊(duì)趕到 A鎮(zhèn);圖像（d）表明二分隊(duì)在營(yíng)地休息時(shí)間恰當(dāng)（1 a2，先于一分隊(duì)趕到 A鎮(zhèn)。-# -# -2.【解析】從表格中的數(shù)據(jù)我們可以看出當(dāng)x增加1時(shí)，對(duì)應(yīng)y的值減小20，所以y與x之間可能是一次函數(shù)的關(guān)系，然后設(shè)出一次函數(shù)關(guān)系式，求出其關(guān)系式，然后進(jìn)行驗(yàn)證【答案】（1 ）設(shè)y與x之間的關(guān)系為一次函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b將（0,100）, （1,80

13、）代入上式得,b =100k = -20i解得彳幾y = -2 0x + 1 0 0k b =80b =100X.K.驗(yàn)證：當(dāng)x=2時(shí)，y =_20 2 700 =60，符合一次函數(shù)；當(dāng)X=2.5時(shí)，y =_20 X2.5北00 =50，也符合一次函數(shù).-可用一次函數(shù)y =_20x 100表示其變化規(guī)律，而不用反比例函數(shù)、二次函數(shù)表示其變化規(guī)律.y與x之間的關(guān)系是一次函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為y二0x 100(2)當(dāng) x=4.2 時(shí)，由 y - -20 x 100 可得 y=16即貨車行駛到 C處時(shí)油箱內(nèi)余油16 升.（3）方法不唯一，如：方法一：由（1 ）得，貨車行駛中每小時(shí)耗油20升，設(shè)在D處至

14、少加油a升，貨車才能到達(dá) B地.依題意得，636 -80 4.2 20 a 16 , 解得，a=69 （升） 80方法二：由（1 ）得，貨車行駛中每小時(shí)耗油20升，汽車行駛18千米的耗油量：（升）麗x D、B 之間路程為：636 -80 4.2 -18 =282 （千米）汽車行駛282千米的耗油量：282 x：20 =705 （升）7 0. 5 10 （16 4=5）（升）80方法三：由（1 ）得，貨車行駛中每小時(shí)耗油20升，設(shè)在D處加油a升，貨車才能到達(dá) B地.依題意得，636 -80 4.220 10 6980在D處至少加油69升，貨車才能到達(dá) B地.（1）切線的判定要從定義上去判定3.【

15、解析】此題考查圓的切線的判定方法及一次函數(shù)解析式的判定,過半徑的外端，且垂直于半徑的直線為圓的切線，所以此題要連接 OM,然后證明OM J_DC,這里平行線對(duì)角的轉(zhuǎn)化起到了關(guān)鍵的作用；（2） MC的長(zhǎng)借助于勾股定理建立方程而求出，要求直線DC的解析式需要再求出10點(diǎn)C的坐標(biāo)根據(jù)MC的長(zhǎng)即可以求出點(diǎn) C的坐標(biāo)（,0）,從而求出直線 DC的解析式.3【答案】（1 ）答：直線DC與OO相切于點(diǎn)M .證明如下：連OM ,/DO /MB ,rDh/1 = Z2,Z3= Z4 .vOB=OM，/ Z1 = Z3 .A Z2= Z4 .AO = OMAk在 ADAO 與DMO 中，f ZZ4 DAO DMO

16、 .DO =DO/OMD= ZOAD . 由于 FA J_x 軸于點(diǎn) A ,/./OAD=90 ./OMD=9 .即 OM 丄DC . /-DC 切OO 于 M.(2)解：由 D (- 2, 4)知 OA=2 (即O O 的半徑)，AD=4 .AC=2MC.由(1)知 DM=AD=4，由OMC DAC，知 MC =fAC AD 4在 RtACD 中，CD=MC+4.由勾股定理，有(2MC) 2+42=(MC+4) 2,解得MC= 8或MC=0 (不合，舍去) MC 的長(zhǎng)為 8點(diǎn) C (10 , 0).O = 1k + b設(shè)直線DC的解析式為y = kx+b .則有3解得4 = 2k + b.b

17、2直線DC的解析式為y = - 3 x+| .4.【答案】I.證明：T DEFG為正方形， GD=FE，/ GDB= /FEC=90/ABC 是等邊三角形， ZB= ZC=60 BDG 也CEF（AAS）Ha.解法一：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x,作ABC的高AH ,解圖求得AH 3，由AGF sMBC得： J 3 x解之得:232. 3(或 x=4.3 -6)解法二：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x，則BD二22在 Rt BDG 中，tan ZB= GD ,3 解之得：（或 x=4.3-6）BD2+血2解法三：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x，則BD =2x,GB =2-x2由勾股定理得：（2-X）2 =x2 （午）2解之得：x=4、3-6Hb.解：正確由已知可知，四邊形 GDEF為矩形FE _ FB 同理 FG _ FB . FE _ FG FEFB，同 FGFB，F(xiàn) E F G又-/F E =