橢圓綜合測試題

1、創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 橢圓測試題之歐侯瑞魂創(chuàng)作 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 、選擇題: (本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分) 1、離心率為 3，長軸長為6的橢圓的尺度方程是 2 (A)冬 9 2 (C)冬 36 2、動點 2 y_ 5 2 y 20 2 (B)才 (D)蘭 36 2 y 5 2 y 20 2 1或 5 2 1或0 0 P 到兩個定點 8,則 P 點的軌跡為( F1F2 RE F1(-4，0)、F2 ) 2 y 9 2 y 36 (4, 0)的距離之和為 3、已知橢圓的尺度方程 A. ( ,10,0) 2 4、

2、已知橢圓 5 2 -1，則橢圓的焦點坐標為( 10 質) C. (0, 3) D. ( 3,0) B. 2 -1上一點 P 到橢圓的一焦點的距離為 9 到另一焦點的距離是( A. 2 5 3 2 2 5、 如果篤丄 1暗示焦點在 x 軸上的橢圓，則實數(shù) a2 a 2 圍為( ) A. ( 2, )B. 2, 1 2, C.( 6、 關于曲線的對稱性的論述正確的是( y2 0的曲線關于 X 軸對稱 0的曲線關于 Y 軸對稱 10的曲線關于原點對稱 的 曲 線 關 (0, (2,) ) 3,則 P 的取值范 2 x 3 x 2 x 3 x xy 3 y xy 3 y 2 x 2 y 8 2 y k

3、b2 于 2 x 1 (a b 0,k 0 且 k 豐 1)與方程一2 a 占 八、 、 原 2 占 1 (a b 0)暗示的橢圓 b2 7、方程七 ka2 (). A.有相同的離心率 B.有共同的焦點 C.有等長的短軸長軸 D.有相同的頂點. y2 暑 2 1(ab0)的離心率為，過右焦點F且斜率為k(k0)的 b 2 B兩點若AF 3FB，則k () (B) , 2 (C) 3 x2 8、已知橢圓 a 直線與C相交于A、 (A) 1 (D) 2 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 9、若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 A

4、4 a 3 A. B. 5 5 B. C. 10、若點 O 和點 F 分別為橢圓 1的中心和左焦點，點 P 為橢圓上的任意一點，則 OP*FP的最大值為 A. 2 x2 11、橢圓 a B 2 乂 1 b2 在點 P 滿足線段 AP 的垂直平分線過點 （0,返（B）（ 0, 1 2 2 y x b與曲線y 3 4x x2有公共點，則 b 的取值范圍是（ 2.2,1 2,2B.1 . 2 ,3 (A) 12 若直線 a b0的右焦點為 F，其右準線與x軸的交點為 A .在橢圓上存 F，則橢圓離心率的取值范圍是 （） 1 = 1 2(C) I 2 1，1)(D) 2，1) A. 1 C.-1,1

5、22D. 1 2.2,3 二、填空題：（本大題共 5 小題，共 20 分.） 13 若一個橢圓長軸的長度短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2 x 49 14 橢圓 2 1上一點 P 與橢圓兩焦點 F1, F2的連線的夾角為直角，則 24 RtA PF1F2 的 面積為 15 已知 且BF F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段 BF的延長線交 2FD，貝U C的離心率為 . _ 2 x 16 已知橢圓c: y2 1的兩焦點為F1,F2,點P（x0,y0）滿足0 2 | PF1|+PF2|的取值范圍為 C于點D , 2 2 y2 1,則 三、解答題：（本大題共 6 小題，共

6、 70 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步調. 2 x 17. （10 分）已知點 M 在橢圓 25 2 - 1上，M P垂直于橢圓焦點所在的直線，垂足為 9 P，而且 M 為線段P P的中點，求 P點的軌跡方程 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 2 2 x 3 4 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 18.(12 分)橢圓 45 1(0 m 45)的焦點分別是Fi和F2，已知橢圓的離心率 過中心0作直線與橢圓交于 A，B 兩點, 0為原點，若AABF2的面積是 20，求: (1)m 的值(2)直線 AB 的方程 2 2 X y 19( 12 分)設F1，F(xiàn)2分別為橢圓2 1 (a a b

7、b 0)的左、右焦點，過 F2的直線 l與橢圓C相交于A, B兩點，直線l的傾斜角為60， F1到直線丨的距離為2 3. (I)求橢圓C的焦距; (n)如果 AF2 2F2 B,求橢圓C的方程. 2 2 20 ( 12 分)設橢圓 C:篤每 1(a a b b 0)的左焦點為 F,過點 F 的直線與橢圓 C 相交 于A , B 兩點，直線 I的傾斜角為 60。, AF 2FB . (I) 求橢圓 C 的離心率； 15 (II) 如果|AB|=，求橢圓 C 的方程. 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 21 ( 12 分)在平面直角坐標系 xOy 中，點 B 與點

8、 A (-1,1 )關于原點 0 對稱，P 是動點, 1 且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 - 3 (I )求動點 P 的軌跡方程； 的菱形的 面積為 4. (I)求橢圓的方程； (n)設直線 I與橢圓相交于分歧的兩點 A、B，已知點 A 的坐標為(-a, 0)(n)設直線AP和BP分別與直線 x=3 交于點 M,N，問：是否存在點 P 使得 PAB 與厶 PMN的 面積相等？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由。 2 x 22 (12 分)已知橢圓 a 1 ( ab0 )的離心率 3 e=, 連接橢圓的四個頂點得到 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳

9、叁拾日 yo)在線段 AB 的垂直平分線上，且 QA?QB 4 求y。的值. ? 橢圓參考答案 1選擇題: 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C C B C A B B C D D 8【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質與第二定義 【解析】設直線 I為橢圓的有準線，e 為離心率，過 A，B 分別作 AA i，BBi垂直于 I， |AA卜削隔卜凹 Ai，B 為垂足，過 B 作 BE 垂直于 AAi與 E,由第二定義得，已 e ， J? 9 解：設長軸為疑軸為2氛 探筆為25則2+2=2x2& 即 ZJ + c 2b ( (4+ Gy * 務瑾等1

10、5e: * 2att- 3d: - 0 , EP切：十2於亠3 =0 n 2：實星二亠K舍兒逬B若I AB|= 一，求直線 1 的傾斜角; 5 (ii)若點 Q(0, 由 得 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 2 2 10【解析】由題意，F(xiàn) (-1 , 0)，設點 P (x0, y0),則有乞 互 1 ,解得 4 3 2 2 Xo yo 3(1 -)， 4 因為 FP (Xo 1,yo)，OP (Xo,yo)，所以 OP FP Xo(x 1) y。2 2 2 3(1普)=訃Xo 3，此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為 C。 【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性

11、質、平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù) 的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算 能力。 11 解析：由題意，橢圓上存在點 P,使得線段 AP 的垂直平分線過點 F , 即 F 點到 P 點與 A 點的距離相等 2 十 a 而 |FA| = c | PF| a-c, a+ c 即 ac c2w b2w ac+ c2 2 2 2 ac c a c 2 2 2 a c ac c 又 e (0, 1) 故 e !,1 2 答案：D2，因為 2 X。 2，所以當X。 2時, OP FP取得最大值 6，選 =OP FP Xo(Xo 1) 于是 a c, a + c

12、 c 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 12 （2010 湖北文數(shù)）y x b與曲線y 3 4x x2有公共點，貝 U b 的取值范圍是 A. 1 2 2,1 2 2B.1 23 C.-1, 1 2 2 D. 1 2 2,3 翼【答票】D 【解折】曲疑方程可化簡為4QGW3）,和隸示IS心為C2, 3）豐徑九 】的半同，依據(jù)數(shù)形結鳥 當直線廠工山與此半副目切時師S?足團心估3） 劉直線 J=?；-5 EE離等于二解得i? - 1+ -1 - 2*/2 i因為是下半圓故可得心 d = l+275倍），當亶統(tǒng)過3）時，解得b=3,故1-2。刖 n 所以D正確+ 二

13、、填空題：（本大題共 4 小題，共 16 分.） 13 若一個橢圓長軸的長度短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 x2 y2 14 橢圓 1上一點 P 與橢圓兩焦點 F1, F2的連線的夾角為直角，貝 U RtA PF1F2的 49 24 面積為 15 （2010 全國卷 1 文數(shù)）（16）已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段 BF的延長線交C于點D ,且BF 2FD，則C的離心率為 _ . _ 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程 3 與幾何性質、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù) 形結合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點: “數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質可尋求

14、到簡 化問題的捷徑 【解析 1】如圖，| BF | b2c2 a, 作DD1 y軸于點 D1,則由BF 2FD，得 |OF| | BF | 2 3 3 ,所以 | DD1 | |OF | c |DD1| |BD| 3 2 2 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 即XD 3C，由橢圓的第二定義得 2 2 |FD | e( c 3c2 a 2a 又由 |BF | 2| FD |,得 a 2a 3c2 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 二.填空題: .解答題: Xxo Xo x 2 2 y 2 y y0 y 因為V yo 25 9 2

15、 2 2 2 y 1 X y 所以 P 點的軌跡是焦點在 y軸上，尺度 ，把代入得 - 125 9 25 36 2 2 方程為 X y 1的橢圓 25 36 設p點的坐標為 【解2】設橢圓方程為第一尺度形式 2 y 2 1，設 D X2,y2 b ,F 分 BD 所成的比為 2，Xc 0 2x2 X2 2y2 、， 3 yc b y2 3 0b 9 c2 4 a2 1 b2 4/ 1， 16( 2010 湖北文數(shù)) 2 1的兩焦點為吒丁2,點P(x0,y0)滿足0 y0 1,則 | PF1|+PF2|的取值范圍為 【答案】2,2 2 ,0 【解析】依題意知，點 P在橢圓內部畫出圖形, 由數(shù)形結

16、合可得，當 P 在原點處時 (I PFi| 1 PF2 |)max 2，當 P 在橢圓頂點處時，取到 max (|PR| |PF2|)max 為 (2 1) 1) =2 2 ，故范圍為2,22 .因為 (Xo,yo)在橢圓2 1 的內部，則直 x Xo yo 1 上的點 (X, y)均在橢圓外，故此直線與橢圓不成能有交點, 故交點數(shù)為 13 - 14 5 24 15 2,2 2 ,0 p(x, y)， m點的坐標為(心丫0)，由題意可知 17解: 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 9 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 SFF2B 20，設 B(x,y),則 SFZ 才吋站 4 4 B點的坐標為

17、（3， 4），所以直線 AB 的方程為y x 或 y x 3 3 19（ 2010 遼寧文數(shù)）（20）（本小題滿分 12 分） 2 2 x y 設F1，F(xiàn)2分別為橢圓C: r 2 1 (a b a b （I）求橢圓C的焦距; （n）如果 AF2 2F2 B,求橢圓C的方程. 解：（I）設焦距為 2c，由已知可得F1到直線 I的距離 3c 2 3,故c 2. 所以橢圓 C 的焦距為 4. （n）設A（x1, yj, B（X2, y2）,由題意知 0小 0,直線 l 的方程為y 、3（x 2）. 18.解： (1)由已知 e -上5 , a 45 3 5，得 c 5, a 3 所以m b2 a2

18、C 45 25 20 （2 ）根據(jù)題意SABF2 F2 2c 10，所以 y 4，把 y 2 x 4代入橢圓的方程 45 20 1，得 X 3，所以 0）的左、右焦點，過 F2的直線I與橢 圓C相交于A , B兩點，直線 l的傾斜角為60， F1到直線l的距離為2 3. 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 9 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 聯(lián)立 y 2 x 2 込(x 2), v2 得(3a2 1 b2 b2)y2 43b2y 3b4 0. 解得 y1 .3b2(2 2 a) 3a2 b2 , y2 ,3b2(2 2a) 3a2 b2 因為 AF2 2F2B,所以 2y2. 3b2(2 即

19、2 2 3a2 -2 2a) b Gb2(2 2a) 2 3a2 b2 得a 3而a2 b2 4,所以b .5. 故橢圓 C 的方程為 x2 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 B 兩點，直線 I的傾斜角為 60。, AF 2FB . (III) 求橢圓 C 的離心率； 15 (IV) 如果|AB|=，求橢圓 C 的方程 4 解： 設 A(X1,yJ,B(X2,y2)，由題意知 y 0. (i)直線 I的方程為 y 3(x c)，其中c 、a2 b2 . 得離心率e 15，得 a=3, b 5. 橢圓 C 的方程為 在平面直角坐標系 xOy 中，點 B 與點 A (-1,1 )關于原點 O 對稱

20、，P 是動點, 1 BP 的斜率之積等于 - 3 (I )求動點 P的軌跡方程； (n )設直線 AP和 BP分別與直線 x=3交于點 M,N,問： 是否存在點 P使得 PAB與厶 PMN 的 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日20 ( 2010 遼寧理數(shù)) (20)(本小題滿分 12 分) 2 設橢圓 C:篤 a b2 1(a b 0)的左焦點為 F,過點 F 的直線與橢圓 C 相交于 A, 聯(lián)立 y 2 X a . 3( x c), v2 得(3a2 b2 1 b2)y2 2、3b2cy 3b4 解得 y1 、-3b2(c 2a) 3a2 b2 ,y2 、.3b2(c 2a) 3a2 b2

21、因為 AF 2FB , 所以 2y2. 即 3b2(c 2a) 2 2 3a b 2? 、.3b2(c 2a) 3a2 b2 (n)因為 AB 1; y2 2 4T3ab2 y1，所以 21 ( 2010 北京理數(shù)) (19)(本小題共 14 分) 12 分 且直線 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 面積相等？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由。 設點P的坐標為（x, y） 由題意得 化簡得 x2 3y2 4(x 1). 2 2 故動點P的軌跡方程為x 3y 4（x 1） （II）解法一：設點P的坐標為（X。，y。），點M , N得坐標分別為 (3

22、, yM )，(3, yN ). j 1) X。 1 于是 占PMN得面積 又直線AB的方程為x y Q，| AB | 2 2， 于是厶PAB的面積 1 SPAB 1 AB rd 丨 x。y。1 2 又 I x。y。I o, （I）解：因為點 B 與 A（ 1,1）關于原點0對稱，所以點 B得坐標為（1,1）. 則直線AP的方程為y 1 ?。▁ “，直線BP的方程為 令X 3得yM 4y。x。3 x。 1 yN 2 y0 x0 3 X。 1 S PMN YM YN |(3 x。) |x。 2 y。I (3 x。) 點P到直線AB的距離d I x。y。| 廠 S.PAB S- PMN時，得丨 y

23、I |x。y|(3 x。)2 Ix。2 1| 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 所以（3冷）2 =以。2 1I，解得I Xo 5。 3創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 因為3y/ 4，所以y。今 故存在點P使得也PAB與比PMN的面積相等，此時點 P的坐標為(, ). 3 9 解法二：若存在點 P使得也PAB與吐PMN的面積相等，設點 P的坐標為(心y0) 為 4. (I)求橢圓的方程； (n)設直線 I與橢圓相交于分歧的兩點 4 (i)若| AB|= - ，求直線 I的傾斜角; I (ii)若點Q(0，y。)在線段 AB 的

24、垂直平分線上，且 QAQB=4 .求 y。的值. 【解析】本小題主要考查橢圓的尺度方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公 式、 直線的傾斜角、 平面向量等基礎知識， 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù) 形結合的思想，考查綜合分析與運算能力 .滿分 14 分. (I)解：由 e=- ，得 3a2 4c2.再由 c2 a2 b2，解得 a=2b. a 2I .33 1 則一| PAU PB |sin APB 2 因為 sin APB sin MPN 11 PM H PN |sin MPN . 2 所以器 |PN | |PB| |3 xo| |3 x| |x 1| 即(3 x。)2 |Xo2 1|，解得 X0 2 2 因為x0 3y0 4，所以y 33 9 故存在使得也PAB PMN的面積相等，此時點P的坐標為 22( 2010 天津文數(shù)) (21) (本小題滿分 14 分) (ab0 )的離心率 e-3，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積 2 A、B，已知點 A 的坐標為(-a, 0). 創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 1 創(chuàng)作時間：貳零貳壹