工程力學(xué)動量矩

1、第十章第十章 動量矩定理動量矩定理第一節(jié)第一節(jié) 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩第二節(jié)第二節(jié) 動量矩定量動量矩定量第三節(jié)第三節(jié) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程第五節(jié)第五節(jié) 剛體平面運動的微分方程剛體平面運動的微分方程第六節(jié)第六節(jié) 普遍定理的綜合應(yīng)用普遍定理的綜合應(yīng)用第四節(jié)第四節(jié) 質(zhì)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)系相對于質(zhì)心的動量矩定理第一節(jié)第一節(jié) 質(zhì)點和質(zhì)點的動量矩質(zhì)點和質(zhì)點的動量矩vr)v(MmmO質(zhì)點對于O點的動量矩為矢量，它垂直于矢徑r與動量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為mvdOMDmO 2)v(M質(zhì)點動量矩質(zhì)點M的動量對于O點的矩，定義為質(zhì)點對于O

2、點的動量矩，即質(zhì)點對某定點的動量矩質(zhì)點的動量對固定點的動量矩在z軸上的投影等于質(zhì)點的動量對z軸的動量矩質(zhì)點對某軸的動量矩動量矩在軸上的投影是代數(shù)量對于平面問題，即質(zhì)點始終在某平面內(nèi)運動的情形，動量矩矢總是垂直于該平面，只需把它定義為代數(shù)量，并規(guī)定逆時針方向為正，順時針方向為負(fù)。質(zhì)點系動量矩質(zhì)點系動量矩niniiiiiOOmm11ivr)v(ML為質(zhì)系中各質(zhì)點的動量對點之矩的矢量和，為質(zhì)系中各質(zhì)點的動量對點之矩的矢量和，或質(zhì)系動量對于點的主矩，稱為質(zhì)系對點的或質(zhì)系動量對于點的主矩，稱為質(zhì)系對點的動量矩。動量矩。質(zhì)點系對某定點的動量矩質(zhì)點系對某軸的動量矩vLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyy

3、OxxxO即質(zhì)點系對某固定點O的動量矩矢在通過該點的軸上的投影等于質(zhì)點系對該軸的動量矩 剛體的動量矩平動剛體的動量矩剛體平動時，可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，做為一個質(zhì)點計算其動量矩。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的動量矩將繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體看成一質(zhì)點系，則ziiiiiiiiiizzJrmrrmrvmvmML2)(zzJL 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩陣等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積第二節(jié)第二節(jié) 動量矩定理動量矩定理vr)v(MmmO)F(MFr)v(rvr)v(MOOmdtdmdtdmdtd質(zhì)點動量矩定理：質(zhì)點動量矩定理：質(zhì)點對固定點的動量矩質(zhì)點對固定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于對時間的一階導(dǎo)數(shù)等

4、于作用于質(zhì)點上的力對同作用于質(zhì)點上的力對同一點的力矩。一點的力矩。設(shè)質(zhì)系內(nèi)有n個質(zhì)點，對于任意質(zhì)點Mi有nimdtdeiiiOiiO, 2 , 1, )F(M)F(M)v(M)(O)(n個方程的矢量和nieiOniniiiOiiOmdtd1)(11)()F(M)F(M)v(MniiiO1)(0)F(MninieOieiO11)(e)i)(MFr)F(M質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理nieiOniniiiOiiOmdtd1)(11)()F(M)F(M)v(MnieiOniiiOmdtd1)(1)F(M)v(M011L)v(M)v(MdtdmdtdmdtdniniiiOiiO質(zhì)點系動量矩定理：質(zhì)

5、系對固定點的動量矩對于時間的一階導(dǎo)數(shù)等于外力系對同一點的主矩。質(zhì)系對于x，y，z軸的動量矩等于質(zhì)系中各質(zhì)點動量對于x，y，z軸動量矩的代數(shù)和。動量矩定理的投影形式動量矩定理的投影形式質(zhì)點系對某定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系上的外力對該軸之矩的代數(shù)和。動量矩守恒動量矩守恒 內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動量矩，只有作用于質(zhì)系的外力才內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動量矩，只有作用于質(zhì)系的外力才能使質(zhì)系的動量矩發(fā)生變化能使質(zhì)系的動量矩發(fā)生變化。在特殊情況下外力系對O點的主矩為零，則質(zhì)系對O點的動量矩為一常矢量，即OeOL, 0M)(常矢量外力系對某軸力矩的代數(shù)和為零外力系對某軸力矩的代數(shù)和為零，則質(zhì)系對該軸

6、的動量矩為一常，則質(zhì)系對該軸的動量矩為一常數(shù)，數(shù)，例如0)F()(exMLx=常量例例 1 1 水平桿AB長為2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)重為P的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞z軸的角速度為 。如某瞬時此細(xì)線拉斷后，桿AC與BD各與鉛垂線成 角，如圖所示。不計各桿重量，求這時系統(tǒng)的角速度。0解：解：系統(tǒng)所受外力有小球的重力及軸承的約束力，這些力對z軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對z 軸的動量矩守恒.開始時系統(tǒng)的動量矩為020122agPaagPLz細(xì)線拉斷后的動量矩為 22)sin(2lagPLz21zzlL202)s

7、in(22lagPagP022)sin(laa第三節(jié) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程 如圖所示定軸轉(zhuǎn)動剛體，若任意瞬時的角速度為，則剛體對于固定軸z軸的動量矩為22iiiiiiizrmrmvmrL2iizrmJzzJL 即，剛體對轉(zhuǎn)動軸的動量矩等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。應(yīng)用質(zhì)系對z軸的動量矩方程，得：)F(zzMdtdL)F(zzMJdtd)F(22zzMdtdJ)F(zzMJ 此式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程由于約束力對由于約束力對z 軸的力矩為零，所以方程中只需考軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動力的矩。慮主動力的矩。例例2 兩個質(zhì)

8、量為m1，m2的重物分別系在繩子的兩端，如圖所示。兩繩分別繞在半徑為r1, r2，并固結(jié)在一起的兩鼓輪上，設(shè)兩鼓輪對O 軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO，重為W，求鼓輪的角加速度和軸承的約束力。解：解：1. 以整個系統(tǒng)為研究對象；2系統(tǒng)所受外力的受力圖如圖，3系統(tǒng)的動量矩為)(222211rmrmJLOO4應(yīng)用動量矩定理)F(OOMdtdL2211222211)(grmgrmrmrmJOgrmrmJrmrmO22221122115應(yīng)用動量定理Xxm Yym OX0WgmgmYrmrmO212211所以軸承約束力為0OXgrmrmJrmrmWgmmYOO2222112221121)()( ezeyexZdtd

9、pYdtdpXdtdp例例 轉(zhuǎn)動慣量分別為21mkg100J和22mkg80J的兩個飛輪分別裝在軸和軸上，齒數(shù)比為2321zz的兩齒輪將轉(zhuǎn)動從軸傳到軸，如圖 (a)所示。軸由靜止開始以勻加速度轉(zhuǎn)動，10秒后其角速度達(dá)到r/min1500。求需加在軸上的轉(zhuǎn)動力矩及兩輪間的切向壓力P。已知cm101r，不計各齒輪和軸的轉(zhuǎn)動慣量。3解：解：分別取軸和軸為研究對象，其受力如圖（b）、（c）所示。分別建立兩軸的轉(zhuǎn)動微分方程111rPMJPP 121221zzrr122121zzJJM122112zzrJP211rad/s7.15tkN3 .28m,kN4 . 4PM該例題是應(yīng)用動量矩定理解決已知系統(tǒng)的運

10、動求未知力的問題。222rPJ 第四節(jié) 質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理ivrLiiOm圖中C為質(zhì)點系的質(zhì)心，有iCirrriiiCOmv)rr (LiiiiiCmmvrvrCiimmvv iiiCm vrL質(zhì)點系相對于固定點質(zhì)點系相對于固定點O的動量矩與相對于質(zhì)心的動量矩與相對于質(zhì)心C的動量矩之的動量矩之間的關(guān)系間的關(guān)系 如圖所示，質(zhì)點系對于固定點O的矩為ir x y z質(zhì)點系在相對動坐標(biāo)系的運動中對質(zhì)心的動量質(zhì)點系在相對動坐標(biāo)系的運動中對質(zhì)心的動量矩與在絕對運動中對質(zhì)心的動量矩之間的關(guān)系矩與在絕對運動中對質(zhì)心的動量矩之間的關(guān)系由速度合成定理有對于質(zhì)心C用絕對速度計算動量矩并不方便，通常引入固結(jié)于

11、質(zhì)心的平動參考系，用相對此參考系的相對速度計算質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩。iCivvviiiCiiiCiiCmmmvrvr)vv(rL0vrvrCCCiimmCrLLC質(zhì)點系在絕對運動中對質(zhì)心的動量矩質(zhì)點系在絕對運動中對質(zhì)心的動量矩，等于質(zhì)等于質(zhì)系在相對質(zhì)心平動系的運動中對質(zhì)心的動量矩系在相對質(zhì)心平動系的運動中對質(zhì)心的動量矩。iiiCrm vrL0vrvrCCCiimmiiiCiiiCiiCmmmvrvr)vv(rLCCCCCCCCOmdtddtdmmdtddtddtdarLvrvrLLiiiCiiCiieOFrFrF)rr (FrM)()()(MRrarLeCeCCCCmdtd)(MLeCCdtd

12、質(zhì)點系相對質(zhì)心動量矩定理質(zhì)點系相對質(zhì)心動量矩定理CCOmLvrLC)(MLeCCdtd)(RaeCm質(zhì)系相對質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)系相對質(zhì)心的動量矩定理：在相對隨在相對隨質(zhì)心平動坐標(biāo)系的運動中，質(zhì)系對質(zhì)心質(zhì)心平動坐標(biāo)系的運動中，質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩對于時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于外的動量矩對于時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于外力系對質(zhì)心的主矩。力系對質(zhì)心的主矩。如將質(zhì)系的運動分解為跟隨質(zhì)心的平動和相如將質(zhì)系的運動分解為跟隨質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的運動，則可分別用質(zhì)心運動定理和對質(zhì)心的運動，則可分別用質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心動量矩定理來建立這兩種運動與外相對質(zhì)心動量矩定理來建立這兩種運動與外力系的關(guān)系。力系的關(guān)系。當(dāng)外力系相

13、對質(zhì)心的主矩為零時，質(zhì)系相對當(dāng)外力系相對質(zhì)心的主矩為零時，質(zhì)系相對質(zhì)心的動量矩守恒。質(zhì)心的動量矩守恒。質(zhì)系相對質(zhì)心的運動只與外力系對質(zhì)心的主質(zhì)系相對質(zhì)心的運動只與外力系對質(zhì)心的主矩有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。矩有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。討 論第五節(jié) 剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程剛體的平面運動可分解為跟隨質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。剛體在相對運動中對質(zhì)心的動量矩為CiiCrJrmL)(2應(yīng)用質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心動量矩定理得剛體平面運動微分方程例例4 半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線純滾動，如圖所示。設(shè)輪的回轉(zhuǎn)半徑為 ，作用于圓輪上的力矩為M，圓輪與地面間的靜摩擦系數(shù)為f。求（1）輪心的加速

14、度；（2）地面對圓輪的約束力；（3）在不滑動的條件下力矩M的最大值。C解解:圓輪的受力圖如圖所示。列寫圓輪的平面運動微分方程，有FmaCxmgNmaCyFrMmC20CyaCxaa mgN CmaF 在純滾動（即只滾不滑）的條件下，有raC欲使圓輪只滾動而不滑動，必須滿足fNF fmgrMrC22于是得圓輪只滾不滑的條件為rrfmgMC22應(yīng)用剛體平面運動微分方程，求解動力學(xué)的兩類問題，除了列寫微分方程外，還需寫出補充的運動學(xué)方程或其他所需的方程CmaF FrMmC2)(22rmMraCC例例5 5均質(zhì)圓輪半徑為均質(zhì)圓輪半徑為r r，質(zhì)量為，質(zhì)量為mm，受到輕微擾動后，受到輕微擾動后，在半徑為

15、在半徑為R R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C C的運動規(guī)的運動規(guī)律。律。 解：設(shè)角 以逆時針方向為正，取切線軸的正向如圖，并設(shè)圓輪以順時針轉(zhuǎn)動為正，則圖示瞬時剛體平面運動微分方程在自然軸上的投影式為CCmamgFmgFmasinsin將(a),(d)代入(c)得：)(sinemgrrmaraJCCC)()()(cos2dracFrJbmgFrRvmCCNC)(sinamamgFC（圓輪純滾動）gaC23考慮到sin212mrJC取s為質(zhì)心的弧坐標(biāo)22,)(dtsdarRsCgaC

16、2302322srRgdtsd)(32),sin(20rRgtssnnnvssvvt000,:0,0得時trRggrRvs)(32sin2)( 30質(zhì)心軌跡的運動方程：例例6 均質(zhì)細(xì)桿AB，長l，重P，兩端分別沿鉛垂墻和水平面滑動，不計摩擦，如圖所示。若桿在鉛垂位置受干擾后，由靜止?fàn)顟B(tài)沿鉛垂面滑下，求桿在任意位置的角加速度。2、分析桿質(zhì)心的運動，如圖所示質(zhì)心的坐標(biāo)為cos2sin2lylxCCsin2cos2lylxCC解：解：1、桿在任意位置的受力圖如圖所示。sin2cos2cos2sin222 llyllxCC3列寫桿的平面運動微分方程ACXllgPXxm)cos2sin2(,2 PYll

17、gPYymBC)sin2cos2(,2 cos2sin212),F(2lXlYlgPMJABCC sin2cos2lylxCCsin2sin2cos2412lPlYlXlgPBA sin23lg 欲求桿在任意瞬時的速度，應(yīng)做如下的積分運算dd 00sin23dlgd任意瞬時的約束力)2cos3(sin43PXA桿脫離約束的條件為0AX由此得出桿脫離約束的位置4求解微分方程dlgdsin23)cos1 (32lg02cos32 .4832arccos第六節(jié) 普遍定理的綜合應(yīng)用普遍定理的綜合應(yīng)用 動能定理建立了質(zhì)系的動能與作用于質(zhì)系上的力的動能定理建立了質(zhì)系的動能與作用于質(zhì)系上的力的功之間的關(guān)系，

18、是標(biāo)量形式的。功之間的關(guān)系，是標(biāo)量形式的。 質(zhì)系動力學(xué)普遍定理質(zhì)系動力學(xué)普遍定理包括質(zhì)系動量定理動量定理、質(zhì)系動量矩定理質(zhì)系動量矩定理、質(zhì)系動能定理質(zhì)系動能定理。它們以不同的形式建立了質(zhì)系的運動與受力之間的關(guān)系。 動量定理和動量矩定理分別建立了質(zhì)系動量和動量矩與質(zhì)系所受外力系的主矢量和外力系的主矩之間的關(guān)系，它們是矢量形式的。例例 1 1一礦井提升設(shè)備如圖所示。質(zhì)量為m、回轉(zhuǎn)半徑為r的鼓輪裝在固定軸O上，鼓輪上半徑為r的輪上用鋼索吊有一平衡重量m2g。鼓輪上半徑為R的輪上用鋼索牽引礦車，車重m1g。設(shè)車在傾角為的軌道上運動。如在鼓輪上作用一常力矩MO 。 求： （1）啟動時礦車的加速度； （2

19、）兩段鋼索中的拉力；（3）鼓輪的軸承約束力。不計各處的摩擦及車輪的滾動摩阻。解解：1、以整個系統(tǒng)作為分析對象，該系統(tǒng)為具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)。首先應(yīng)用質(zhì)系動能定理，解決已知主動力求運動的問題。建立質(zhì)系的動能方程BAOOBAgsmgsmMJvmvm2122221sin0212121根據(jù)約束條件有以下運動學(xué)關(guān)系RrvrvABRrsrsABAOAsgmRgrmRMvRmRrmmsin21122222221上式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，并消去 ，得礦車的加速度為AvRgmrmRmrmRmgMaOA2222121sin/2、求鋼索拉力和鼓輪軸承約束力是已知運動求力的問題。分別以平衡重和鼓輪為分析對象，將鋼索內(nèi)力和約束力暴露出來，其受力圖如圖（b）、（c）所示。應(yīng)用動量定理有ABTBaRrmamFgm222ATBaRrmgmF22 根據(jù)質(zhì)系動量定理和動量矩定理列寫鼓輪的動力學(xué)方程RFrFMRamTATBOA2mgFFFFFTBTAOyTAOxsin0cos0例 2 邊長為 0.25m、質(zhì)量為 m2.0kg 的均質(zhì)平板繞 O 點轉(zhuǎn)動，0 時，00。求45時，軸承 O 的反力。 解：