概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷試卷參考解答、10分對一個三人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題(1)求三個人中恰有二人的生日在星期天的概率;求三個人中至多有一人的生日在星期天的概率;求三個人的生日不都在星期天的概率。解:(1)(2)(3)p- - - 3= 18 =0.05257773436 66166324p230.94467 77777343,111342 門p3 =10.9971777343二、10分在八個數(shù)字中0, 1,2,7 中不重復(fù)地任取四個，能排成一個四位偶數(shù)的概率是多少？7 6 5 3 6 6 5 解：p = 7 6 5 3 6 6 5 = 0.4464三、10分袋中裝有30個乒乓球，其中20個黃的，

2、10個白的，現(xiàn)有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一次，取后不放回，試 求第二次取得黃球的概率。解：設(shè)A=第i次取得黃球，i=1,2P(AO = P(A)P(A2 |Ai) P(Ai)P(A2 | 瓦)二20 19=°3029302930四、10分設(shè)盒中有5個球，其中2個白球，3個紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)取3球，設(shè)X為抽得白球數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望與方差。解：PX詢唱哈0.1，PX忙CC3沽0.6PX=2二 CC3-0.3C：10X012Pk0.10.60.3CE(X) =0 0.1 1 0.6 2 0.3 =1.2E(X2)= 02 0.1 12 0.6 22 0.3 = 1.8D(X) =E(X2)

3、 _E(X)2 =1.8 _ (IN)2 =0.36五、12分設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，即其概率密度函數(shù)為:3eXx 0x _0試求Y =2X2的概率密度函數(shù)與數(shù)學(xué)期望。解：y=2x2, y =4x 0, ( x 0) 1x = Jy/2,(y>0)fYyfxhyh'y3 e 2,2y3 y/2E(Y) =E(2X2)。一 2x2 3e；xdx 2x2ex|0二 4 °xe'xdx一4 xe'x 嚴(yán) + 4 汽，xdx 4 尹烈33 09AA另解：因為 X Z(3),E(X)二-,D(X)二-332E(Y)二 E(2X2) =2E(X2) =2

4、 D(X) E(X)2六、12分將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在90 C，液體的溫度X 以C記是一個隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布，其方差為0.62，試求液體的溫度保持在89 91 C的概率。解: P89 £X £91= 91一90 型迪1.6667 1.6667 I 0.6 丿 I 0.6 丿1.6667 -1 =2 0.9522-1 =0.9044七、12分設(shè)隨機(jī)變量X與丫具有概率密度:f (x, y)(x y)0_x_2, 0_y_2其它試求:D(X),D(Y)，與 D(2X -3丫)。2 11解: fx(xH -(x y)dy (882x 122H1

5、(x 1)0 x ： 224fy(y)211 1 10 8(x y)dx -(122 2yH；(y 1)0 ： y : 2211 1312147E(X) = x (x 1)dx = ( 2322)=044 321262、2 2 11/1 小4 1 3. 20E(X ) = nx (x 1)dx ( 22 廠i 44 4312二 E(Y)二 E(Y2)DgnEgH 6 312 2 11 2 2 2 1E(XY) = 0 .°xy；(x y)dxdy 。°x ydxdy -88 82 2 20 0xy dxdyJ123122.1122S48328233477Cov(X,Y) =

6、E(XY)-E(X)E(Y)：3661361112155D(2X -3Y) =4D(X) 9D(Y) -12Cov(X,Y) =134.3056363636八、12分試求正態(tài)總體N",0.52的容量分別為10, 15的兩獨立樣本均值差的絕對值大于0.4的概率2 2 2 2 20.50.50.50.50.5解：X N(») , YN(L,) , X-Y N(0,) = N(0,),101510156P X -Y :>0.4 =1 P X -Y 蘭0.4 =1 -(0.4+(一0.4，2加®=21 門(1.9596) =21 0.975 =0.0510只測得其壽

7、命值以小時記為:九、12分某種白熾燈泡的壽命服從正態(tài)分布。在一批該種燈泡中隨機(jī)地抽取999993100100989.17.051.845.36.81001001001001000.893.740.231.263.19試求未知參數(shù)J，二2及-的置信度為0.95的置信區(qū)間(t0.025 (9):= 2.262,爲(wèi)5(9) =19.023,0.975 (9)= 2.7)解：1未知參數(shù)丿的置信度為0.95的置信區(qū)間為:區(qū)士-t°025(n1)1= |999.853二4848漢 2.262=【999.853= 3.4678】ILTn . IL；10=996.3852,1003.3211(2)未知參數(shù)二2的置信度為0.95的置信區(qū)間:0.025n -1)s2(n -1)s2 I211.5268 211.5268'兀97519.023，2.711.1195,