多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面 第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第八章 1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例引例: 已知空間曲線 的參數(shù)方程:,)()()(ttztytx)(),(),()(),(ttttfzyxr記 的向量方程,),(ttfrMrxzyO 對(duì) 上的動(dòng)點(diǎn)M ,即 是此方程確定映射3R, :f,稱此映射為一元向量 ，顯然OMr r的終點(diǎn)M 的軌跡 , 此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲

2、線 .值函數(shù). 要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性連續(xù)性和光滑性光滑性，就需要引進(jìn)向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念.2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義: 給定數(shù)集 D R , 稱映射nDfR:為一元向量值函數(shù)（簡(jiǎn)稱向量值函數(shù)）, 記為Dttfr),(定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),進(jìn)行討論.則設(shè),),(),(),()(312Dttftftftf極限極限：連續(xù)連續(xù)：導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)：)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt)(),(),()(321tftftftftt

3、fttftftt)()(lim)(0000因此下面僅以 n = 3 的情形為代表3目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在 R3中, 設(shè)Dttfr),(的終端曲線為 , 切線的生成點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停MxzyOr)(0tf tr)(),(00ttfONtfOMN)()(00tfttfr)(lim00tftrtt表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t 的增長(zhǎng)方向一致.)(0tf , 則0)(0 tf設(shè)r4目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè))(tfr 表示質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)的位置向量, 則有 )()

4、(tftv)(tva)(tf 速度向量：加速度向量：5目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)空間曲線 的向量方程為 求曲線 上對(duì)應(yīng)于解解:20t)62, 34, 1()(22tttttfrR,ttttf)6442()(的點(diǎn)處的單位切向量.R,t故所求單位切向量為)31,32,32()2()2(ff)2, 4, 4()2( f222)2(44)2( f其方向與 t 的增長(zhǎng)方向一致另一與 t 的增長(zhǎng)方向相反的單位切向量為)31,32,32(= 66目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法平面法平面.TM置.空

5、間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線切線為此點(diǎn)處割線的極限位)(),(),()(ttttf：給定光滑曲線 在)(),(),()(ttttf點(diǎn)法式可建立曲線的法平面方程利用時(shí)，不同時(shí)為，則當(dāng)0點(diǎn)M (x, y, z) 處的切向量及法平面的法向量均為點(diǎn)向式可建立曲線的切線方程7目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況,),(, )(, )(ttztytx：因此曲線 在點(diǎn) M 處的000zzyyxx)(0t)(0t)(0t,),(0000ttzyxM對(duì)應(yīng)上的點(diǎn)設(shè)則 在點(diǎn)M 的切向量為)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt法平面方程法平面方程 )(),

6、(),()(0000ttttfM)(0tf 不全)(),(),(000ttt給定光滑曲線為0, 切線方程切線方程8目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求曲線32,tztytx在點(diǎn) M (1, 1, 1) 處的切線 方程與法平面方程. ,3,2, 12tztyx解：解：, 10t點(diǎn)(1, 1, 1) 對(duì)應(yīng)于故點(diǎn)M 處的切向量為)3, 2, 1 (T因此所求切線方程為 111zyx123法平面方程為) 1( x) 1(2y0) 1(3z即632zyx9目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()(:xzxy(2) 光滑曲線的方程為), 1(T)()(:xzxyxx切向量看成參數(shù)，得到看成參數(shù)，得到將將

7、x)(0 xx )( )(00yyx 0)(00 zzx 法平面方程法平面方程 切線方程切線方程000zzyyxx1)(0 x )(0 x 10目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 平行的平行的上與平面上與平面例：求曲線例：求曲線42,32 zyxxzxy切線方程。切線方程。解：解：), 1(xxzyT 切線的方向向量切線的方向向量)3 ,2 , 1(2xx 且平面的法向量且平面的法向量因?yàn)榍芯€與平面平行，因?yàn)榍芯€與平面平行，)1 , 2 , 1( n0 nT所以，所以，01322112 xx即即01432 xx即即1,3121 xx解得，解得，)271,91,31(311 時(shí)，切點(diǎn)為時(shí)，切點(diǎn)為當(dāng)當(dāng)x

8、3127219113 zyx切線方程為切線方程為)1, 1 , 1(11 時(shí)，切點(diǎn)為時(shí)，切點(diǎn)為當(dāng)當(dāng)x312111 zyx切線方程為切線方程為11目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí)，當(dāng)0),(),(zyGFJ2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzxy曲線上一點(diǎn)),(000zyxM 可表示為處的切向量為 )(, )(, 100 xxT)(0 xx )( )(00yyx 0)(00 zzx 法平面方程法平面方程 切線方程切線方程000zzyyxx1)(0 x )(0 x 12目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求曲線0,6222zyxzyx

9、在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 06222zyxzyxxxzzxyydddd解法解法2 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,113目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點(diǎn) M (1,2, 1) 處的切向量011)1,0, 1(T14目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0),(:zyxF三、三、曲面的切平面與法線曲面的切平面與

10、法線 設(shè) 有光滑曲面通過其上定點(diǎn)),(000zyxM0tt 設(shè)對(duì)應(yīng)點(diǎn) M,)(, )(, )(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 則 在, )(, )(, )(:tztytx且點(diǎn) M 的切向量切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面切平面. 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT15目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 MT證證:在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0處求導(dǎo)兩邊在tt ,0Mtt對(duì)應(yīng)點(diǎn)注意 )(0t0),(000zyxFx),(0

11、00zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n16目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )( ),(0000 xxzyxFx曲面 在點(diǎn) M 的法向量法向量: 法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz 切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz),(, ),(, ),(00000000

12、0zyxFzyxFzyxFnzyx 過M點(diǎn)且垂直于切平面的直線 稱為曲面 在點(diǎn) M 的法線法線. MTn17目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(,(000 xxyxfx曲面時(shí), ),(yxfz zyxfzyxF),(),(則在點(diǎn)),(zyx故當(dāng)函數(shù) ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法線方程法線方程,yyfF 1zF令有在點(diǎn)),(000zyx特別特別, 當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式 在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí), )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程法向量法向量) 1),(),(0000yxfyxfnyx18目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

13、 結(jié)束 ,法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復(fù)習(xí) 19目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 求球面14222zyx在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解: 令14),(222zyxzyxF所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x01432zyx即法線方程法線方程321zyx)2(4y

14、0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn )6,4,2()3, 2, 1(n即321zyx(可見法線經(jīng)過原點(diǎn)，即球心)20目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7例。）的切平面及法線方程）的切平面及法線方程，在點(diǎn)（在點(diǎn)（求曲面求曲面0123 xyzez3),( xyzezyxFz所以曲面在點(diǎn) (2 , 1 , 0) 處有:切平面方程切平面方程 )2( 1 x042 yx即法線方程法線方程 02112zyx)1(2 y0)0(0 z法向量)1,( zexyn)0,2,1()0, 1,2( n解解: 令21目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 確定正數(shù) 使曲面zyx222zyx在點(diǎn)),(000zy

15、xM解解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn) M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點(diǎn) M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a與球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z222目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量?jī)?nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(,

16、)(, )(000tttT23目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()(:xzxy(2) 光滑曲線的方程為), 1(T)()(:xzxyxx切向量看成參數(shù)，得到看成參數(shù)，得到將將x)(0 xx )( )(00yyx 0)(00 zzx 法平面方程法平面方程 切線方程切線方程000zzyyxx1)(0 x )(0 x 24目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí)，當(dāng)0),(),(zyGFJ2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzxy曲線上一點(diǎn)),(000zyxM 可表示為處的切向量為 )(, )(, 100 xxT)(0 xx )( )(00yyx 0

17、)(00 zzx 法平面方程法平面方程 切線方程切線方程000zzyyxx1)(0 x )(0 x 25目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點(diǎn)法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx26目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn27目錄 上頁(yè)