第一節(jié)_對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

1、第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)kkkks),(nk 10limmks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 (平面or空間內(nèi))設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲

2、線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作szyxfd),(若通過(guò)對(duì) 的任意分割2. .定義定義是定),(zyxf“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .nk 10lim和對(duì)局部的任意取點(diǎn), 如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),( 如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, s

3、d)4( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxftttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0kkts因此積分限必須滿足!如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()si

4、n)(,cos)(rrf空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf例例1. 計(jì)算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 上點(diǎn) O (0,0)例例2. 計(jì)算,d sxL其中 L 為封閉路徑 OABO)0 , 1 (ALy2xy o) 1 , 1 (B例例5. 計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx332a例例3. 計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.)20(,s

5、in,costtkztaytax線例例4. 計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 18d22920I. 1的交線與平面 zx292 z內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長(zhǎng)度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧,

6、)()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf作業(yè)作業(yè) P1903 (1) , (3) , (6) , (7)xyo備用題備用題 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段積分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202第二節(jié)一、一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

7、的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 一、一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.),(, ),(),(yxQyxPyxF1kMkMABxyL),(kkFkykxnkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 為 n 個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)2. 定義定義. 設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧有向光滑弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分.在 L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxFLxyxPd),(,),(