姚孟臣概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程講義

1、2011考研強(qiáng)化班概率論與數(shù)理統(tǒng)計講義主講：姚孟臣第1講隨機(jī)事件和概率11知識網(wǎng)絡(luò)圖12重點考核點的分布(1)樣本空間與隨機(jī)事件*(2)概率的定義與性質(zhì)(含古典概型、幾何概型、加法公式)*(3)條件概率與概率的乘法公式*(4)事件之間的關(guān)系與運算(含事件的獨立性)*(5)全概公式與貝葉斯(Bayes)公式(6)伯努利(Bernoulli)概型各個考核點前面加“*”表示重點考核點；“*”表示次重點考核點；括號前沒有標(biāo)注的表示一般考核點(下同)13課上復(fù)習(xí)內(nèi)容131預(yù)備知識在復(fù)習(xí)“概率論”之前，我們需要掌握“二值集合”、“組合分析中的幾個定理”、“隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律”和“微積分”等內(nèi)容，下面將有

2、關(guān)內(nèi)容作一簡單介紹：1311 二值集合集合是一個不能給出數(shù)學(xué)定義的概念，盡管如此，我們?nèi)匀豢梢越o它一個定性描述所謂集合就是按照某些規(guī)定能夠識別的一些具體對象或事物的全體構(gòu)成集合的每一個對象或事物叫做集合的元素集合通常用大寫字母A，B，C表示，其元素用小寫字母a，b，c表示設(shè)A是一個集合，如果a是A的元素，記作aA，用“1”表示這一隸屬關(guān)系；如果a不是A的元素，記作aA(或aA)，用“0”表示這一隸屬關(guān)系因此，我們稱這種集合為“二值集合”，在初等概率論中，我們只研究這樣的集合有關(guān)二值集合的表示方法、基本性質(zhì)在初等數(shù)學(xué)中已作過詳細(xì)討論，這里不再重復(fù)下面僅就集合的“相等”與“等價”概念以及集合分類情

3、況作一簡單介紹例1設(shè)A2，4，8，則集合A的所有子集是，2，4，8，2，4，2，8，4，8，2，4，8注意，在考慮集合A的所有子集時，不要把空集和它本身忘掉設(shè)A，B是兩個集合如果AB，BA，那么稱集合A與B相等，記作AB很明顯，含有相同元素的兩個集合相等例2 設(shè)A0，2，3，Bx|x為方程x35x26x0的解，則AB設(shè)A，B是兩個集合如果B的每一個元素對應(yīng)于A的唯一的元素，反之A的每一個元素對應(yīng)于B的唯一的元素，那么就說在A和B的元素之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，并稱A與B等價，記作AB與自然數(shù)集N等價的任何集合，稱為可列集顯然，一切可列集彼此都是等價的今后我們常稱這類集合中元素的個數(shù)為可列個(或可

4、數(shù)個)，并把有限個或可列個統(tǒng)稱為至多可列個(或至多可數(shù)個)例3 設(shè)Aa|a2n，nN，Bb|bn21，nN，則AB由上面的討論可以看出，集合的分類如下：1312 組合分析中的幾個定理1加法原理定理1 設(shè)完成一件事有n類方法，只要選擇任何一類中的一種方法，這件事就可以完成若第一類方法有m1種，第二類方法有m2種，第n類方法有mn種，并且這m1m2mn種方法里，任何兩種方法都不相同，則完成這件事就有m1m2mn種方法2乘法原理定理2 設(shè)完成一件事有n個步驟，第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，第n步有mn種方法，并且完成這件事必須經(jīng)過每一步，則完成這件事共有m1m2mn種方法3排列定義1 從n

5、個不同元素中，每次取出m個元素，按照一定順序排成一列，稱為從n個元素中每次取出m個元素的排列定理3 從n個不同元素中，有放回地逐一取出m個元素進(jìn)行排列(簡稱為可重復(fù)排列)，共有nm種不同的排列例4 袋中有N個球，其中M個為白色，從中有放回地取出n個：N10，M2，n3；N10，M4，n3考慮以下各事件的排列數(shù)：()全不是白色的球()恰有兩個白色的球()至少有兩個白色的球()至多有兩個白色的球()顏色相同()不考慮球的顏色答案是：當(dāng)M2時，()83 ()3×22×8 ()3×22×823()3×22×83×2×838

6、3(或10323)()2383 ()103當(dāng)M4時，將上面的24，86即可分析這是一個可重復(fù)的排列問題由定理3，可求出其排列數(shù)問題恰有兩個白色球的答案中為什么是3倍的22×8，而不是1倍或6倍的？提示根據(jù)加法原理定理4 從n個不同元素中，無放回地取出m個(mn)元素進(jìn)行排列(簡稱為選排列)共有本資料由九天考研網(wǎng)提供 聯(lián)系QQ:268019001種不同的排列選排列的種數(shù)用(或)表示，即特別地，當(dāng)mn時的排列(簡稱為全排列)共有n·(n1)(n2)··3·2·1n!種不同排列全排列的種數(shù)用Pn(或)表示，即Pnn!，并規(guī)定0!14組合定義

7、2 從n個不同元素中，每次取出m個元素不考慮其先后順序作為一組，稱為從n個元素中每次取出m個元素的組合定理5 從n個不同元素中取出m個元素的組合(簡稱為一般組合)共有種不同的組合一般組合的組合種數(shù)用(或)表示，即并且規(guī)定不難看出例5 袋中有N個球，其中M個為白色，從中任取n個：N10，M2，n3；N10，M4，n3考慮以下各事件的組合數(shù)：()全不是白色的球()恰有兩個白色的球()至少有兩個白色的球()至多有兩個白色的球()顏色相同()不考慮球的顏色答案是：當(dāng)M2時，()()()()()()當(dāng)M4時，()()()() ()()分析(略)定理6 從不同的k類元素中，取出m個元素從第1類n1個不同元

8、素中取出m1個，從第2類n2個不同的元素中取出m2個，從第k類nk個不同的元素中取出mk個，并且nimi0(i1，2，k)(簡稱為不同類元素的組合)，共有種不同取法例6 從3個電阻，4個電感，5個電容中，取出9個元件，問其中有2個電阻，3個電感，4個電容的取法有多少種？解這是一個不同類元素的組合問題由定理6知，共有即60種取法例7 五雙不同號的鞋，從中任取4只，取出的4只都不配對(即不成雙)，求()排列數(shù)；()組合數(shù)答案是：()；()分析(略)1313微積分概率論可以分為“高等概率論”與“初等概率論”初等概率論是建立在排列組合和微積分等數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上的全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱中

9、的“概率論”就是初等概率論微積分作為初等概率論的基礎(chǔ)知識，除了我們已經(jīng)比較了解的“函數(shù)、極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可積”等概念之外，還應(yīng)了解下面的有關(guān)概念1可求積與不可求積在微積分中，求不定積分與求導(dǎo)數(shù)有很大不同，我們知道，任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)，而許多初等函數(shù)的不定積分，例如等，雖然它們的被積函數(shù)的表達(dá)式都很簡單，但在初等函數(shù)的范圍內(nèi)卻積不出來這不是因為積分方法不夠，而是由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)的緣故我們稱這種函數(shù)是“不可求積”的因此，我們可以將函數(shù)劃分為：在初等概率論中，正態(tài)分布密度函數(shù)就是屬于可積而不可求積的一類函數(shù)2絕對收斂(1)任意項級數(shù)的絕對收斂所謂任意項級數(shù)是指級數(shù)的各項

10、可以隨意地取正數(shù)、負(fù)數(shù)或零下面給出絕對收斂與條件收斂兩個概念定義3 若任意項級數(shù)的各項取絕對值所成的級數(shù)收斂，則稱級數(shù)是絕對收斂的；若發(fā)散，而級數(shù)收斂，則稱級數(shù)是條件收斂的例如，級數(shù)是收斂的，但各項取絕對值所成的級數(shù)是發(fā)散的，因而級數(shù)是條件收斂又如，級數(shù)各項取絕對值所成級數(shù)是收斂的，因而級數(shù)是絕對收斂的定理7若級數(shù)絕對收斂，則必定收斂證明令于是由收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法，可知級數(shù)是收斂的考慮到根據(jù)級數(shù)的基本性質(zhì)，可知級數(shù)也是收斂的根據(jù)上面的定理，判斷任意一個級數(shù)的收斂性，可以先判斷它是否絕對收斂如果收斂，則也收斂這樣一來，我們可以借助于正項級數(shù)的判別法來判斷任意項級數(shù)的斂散性了但是，當(dāng)級

11、數(shù)發(fā)散時，不能由此推出級數(shù)也發(fā)散在初等概率論中，我們將用絕對收斂這一概念來給出離散型隨機(jī)變量均值的定義(2)無窮積分的絕對收斂定義4 如果函數(shù)f(x)在任何有限區(qū)間a，b(ba)上可積，并且積分收斂，那么，我們稱積分是絕對收斂的此時，我們也稱函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a，)上絕對可積定理8 若積分絕對收斂，則必定收斂上面的定理的逆定理并不成立，也就是說，從的收斂性，不能推出也收斂，例如，積分是收斂的，但是積分卻發(fā)散這一點與定積分不同，對于定積分，從的存在性，必能推出存在若積分收斂，而積分發(fā)散時，則稱積分為條件收斂的例如積分是條件收斂的在初等概率論中，我們將用絕對可積這一概念來給出連續(xù)型隨機(jī)變量均值

12、的定義132樣本空間與隨機(jī)事件1隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律性在客觀世界中存在著兩類不同的現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象在一組不變的條件S下，某種結(jié)果必定發(fā)生或必定不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象這類現(xiàn)象的一個共同點是：事先可以斷定其結(jié)果在一組不變的條件S下，具有多種可能發(fā)生的結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象這類現(xiàn)象的一個共同點是：事先不能預(yù)言多種可能結(jié)果中究竟出現(xiàn)哪一種一般來說，隨機(jī)現(xiàn)象具有兩重性：表面上的偶然性與內(nèi)部蘊(yùn)含著的必然規(guī)律性隨機(jī)現(xiàn)象的偶然性又稱為它的隨機(jī)性在一次實驗或觀察中，結(jié)果的不確定性就是隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)性的一面；在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)實驗或觀察時呈現(xiàn)出來的規(guī)律性是隨機(jī)現(xiàn)象必然性的一面，稱隨機(jī)現(xiàn)象的必然

13、性為統(tǒng)計規(guī)律性2隨機(jī)試驗與隨機(jī)事件為了敘述方便，我們把對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的一次觀測或一次實驗統(tǒng)稱為它的一個試驗如果這個試驗滿足下面的三個條件：(1)在相同的條件下，試驗可以重復(fù)地進(jìn)行(2)試驗的結(jié)果不止一種，而且事先可以確知試驗的所有結(jié)果(3)在進(jìn)行試驗前不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果那么我們就稱它是一個隨機(jī)試驗，以后簡稱為試驗一般用字母E表示問題“一個具體的人，在一次乘車郊游時，因發(fā)生交通事故而受傷”，是否為隨機(jī)試驗？在隨機(jī)試驗中，每一個可能出現(xiàn)的不可分解的最簡單的結(jié)果稱為隨機(jī)試驗的基本事件或樣本點，用表示；而由全體基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間或樣本空間，記為例8 設(shè)E1為在一定條件下拋擲一枚勻稱

14、的硬幣，觀察正、反面出現(xiàn)的情況記1是出現(xiàn)正面，2是出現(xiàn)反面于是由兩個基本事件1，2構(gòu)成，即1，2例9 設(shè)E2為在一定條件下擲一粒骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)記i為出現(xiàn)i個點(i1，2，6)于是有1，2，6問題例8、例9中樣本空間的子集個數(shù)是多少？為什么？所謂隨機(jī)事件是樣本空間的一個子集，隨機(jī)事件簡稱為事件，用字母A，B，C等表示因此，某個事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)這個子集中的一個樣本點發(fā)生，記為A在例9中，1，2，6，而E2中的一個事件是具有某些特征的樣本點組成的集合例如，設(shè)事件A出現(xiàn)偶數(shù)點，B出現(xiàn)的點數(shù)大于4，C出現(xiàn)3點，可見它們都是的子集顯然，如果事件A發(fā)生，那么子集2，4，6中的一個樣本點一定發(fā)生，反之

15、亦然，故有A2，4，6；類似地有B5，6和C3一般而言，在例9中，任一由樣本點組成的的子集也都是隨機(jī)事件133事件之間的關(guān)系與運算事件之間的關(guān)系有：“包含”、“等價(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“獨立”四種事件之間的基本運算有：“并”、“交”以及“逆”如果沒有特別的說明，下面問題的討論我們都假定是在同一樣本空間中進(jìn)行的1事件的包含關(guān)系與等價關(guān)系設(shè)A，B為兩個事件如果A中的每一個樣本點都屬于B，那么稱事件B包含事件A，或稱事件A包含于事件B，記為AB或BA如果AB與BA同時成立，那么稱事件A與事件B等價或相等，記為AB在下面的討論中，我們經(jīng)常說“事件相同、對應(yīng)概率相等”，這里的“相同”

16、指的是兩個事件“等價”2事件的并與交設(shè)A，B為兩個事件我們把至少屬于A或B中一個的所有樣本點構(gòu)成的集合稱為事件A與B的并或和，記為AB或AB設(shè)A，B為兩個事件我們把同時屬于A及B的所有樣本點構(gòu)成的集合稱為事件A與B的交或積，記為AB或A·B，有時也簡記為AB3事件的互不相容關(guān)系與事件的逆設(shè)A，B為兩個事件，如果A·B，那么稱事件A與B是互不相容的(或互斥的)對于事件A，我們把不包含在A中的所有樣本點構(gòu)成的集合稱為事件A的逆(或A的對立事件)，記為我們規(guī)定它是事件的基本運算之一在一次試驗中，事件A與不會同時發(fā)生(即A·，稱它們具有互斥性)，而且A與至少有一個發(fā)生(即

17、A，稱它們具有完全性)這就是說，事件A與滿足：問題(1)事件的互不相容關(guān)系如何推廣到多于兩個事件的情形？(2)三個事件A，B，C，ABC與關(guān)系如何？根據(jù)事件的基本運算定義，這里給出事件之間運算的幾個重要規(guī)律：(1)A(BC)ABAC(分配律)(2)ABC(AB)(AC)(分配律)(3)(德·摩根律)(4)(德·摩根律)有了事件的三種基本運算我們就可以定義事件的其他一些運算例如，我們稱事件為事件A與B的差，記為AB可見，事件AB是由包含于A而不包含于B的所有樣本點構(gòu)成的集合例10 在數(shù)學(xué)系學(xué)生中任選一名學(xué)生設(shè)事件A選出的學(xué)生是男生，B選出的學(xué)生是三年級學(xué)生，C選出的學(xué)生是科普

18、隊的(1)敘述事件的含義(2)在什么條件下，ABCC成立？(3)在什么條件下，CB成立？解(1)事件的含義是，選出的學(xué)生是三年級的男生，不是科普隊員(2)由于ABCC，故ABCC當(dāng)且僅當(dāng)CABC這又當(dāng)且僅當(dāng)CAB，即科普隊員都是三年級的男生(3)當(dāng)科普隊員全是三年級學(xué)生時，C是B的子事件，即CB成立4事件的獨立性設(shè)A，B是某一隨機(jī)試驗的任意兩個隨機(jī)事件，稱A與B是相互獨立的，如果P(AB)P(A)P(B)可見事件A與B相互獨立是建立在概率基礎(chǔ)上事件之間的一種關(guān)系所謂事件A與B相互獨立就是指其中一個事件發(fā)生與否不影響另一個事件發(fā)生的可能性，即當(dāng)P(B)0時，A與B相互獨立也可以用來定義由兩個隨機(jī)

19、事件相互獨立的定義，我們可以得到：若事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立如果事件A，B，C滿足則稱事件A，B，C相互獨立注意，事件A，B，C相互獨立與事件A，B，C兩兩獨立不同，兩兩獨立是指上述四個式子中前三個式子成立因此，相互獨立一定是兩兩獨立，但反之不一定例11 將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進(jìn)事件：A擲第一次出現(xiàn)正面，B擲第二次出現(xiàn)正面，C正、反面各出現(xiàn)一次，則事件A，B，C是相互獨立，還是兩兩獨立？解 由題設(shè)，可知P(AB)P(A)P(B)，即A，B相互獨立而故A，C相互獨立，同理B，C也相互獨立但是P(ABC)P()0，而即,因此A，B，C兩兩獨立問題(1)兩個事件的“獨立”與

20、“互斥”之間有沒有關(guān)系？在一般情況下，即P(A)0，P(B)0時，有關(guān)系嗎？為什么？(2)設(shè)0P(A)1，0P(B)1，P(B|A)P(|)1問A與B是否獨立，為什么？由此可以得到什么結(jié)論？134概率的定義與性質(zhì)1概率的公理化定義定義5 設(shè)E是一個隨機(jī)試驗，為它的樣本空間，以E中所有的隨機(jī)事件組成的集合為定義域，定義一個函數(shù)P(A)(其中A為任一隨機(jī)事件)，且P(A)滿足以下三條公理，則稱函數(shù)P(A)為事件A的概率公理1(非負(fù)性) 0P(A)1公理2(規(guī)范性)P()1公理3(可列可加性)若A1，A2，An，兩兩互斥，則由上面三條公理可以推導(dǎo)出概率的一些基本性質(zhì)性質(zhì)1(有限可加性)設(shè)A1，A2，

21、An兩兩互斥，則性質(zhì)2(加法公式)設(shè)A，B為任意兩個隨機(jī)事件，則P(AB)P(A)P(B)P(AB)性質(zhì)3 設(shè)A為任意隨機(jī)事件，則P()1P(A)性質(zhì)4 設(shè)A，B為兩個任意的隨機(jī)事件，若AB，則P(BA)P(B)P(A)由于P(BA)0，根據(jù)性質(zhì)4可以推得，當(dāng)AB時，P(A)P(B)例12 設(shè)A，B，C是三個隨機(jī)事件，且0，,求A，B，C中至少有一個發(fā)生的概率解 設(shè)DA，B，C中至少有一個發(fā)生，則DABC，于是P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)又因為,而由P(AB)0，有P(ABC)0，所以問題 怎樣由P(AB)0推出P(ABC)0？提示利用

22、事件的關(guān)系與運算導(dǎo)出例13 設(shè)事件A與B相互獨立，P(A)a，P(B)b若事件C發(fā)生，必然導(dǎo)致A與B同時發(fā)生，求A，B，C都不發(fā)生的概率解 由于事件A與B相互獨立，因此P(AB)P(A)·P(B)a·b考慮到CAB，故有因此2概率的統(tǒng)計定義定義6 在一組不變的條件S下，獨立地重復(fù)做n次試驗設(shè)是n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，如果A的頻率fn(A)穩(wěn)定地在某一數(shù)值p附近擺動；而且一般說來隨著試驗次數(shù)的增多，這種擺動的幅度會越來越小，則稱數(shù)值p為事件A在條件組S下發(fā)生的概率，記作問題(1)試判斷下式成立嗎？為什么？(2)野生資源調(diào)查問題池塘中有魚若干(不妨假設(shè)為

23、x條)，先撈上200條作記號，放回后再撈上200條，發(fā)現(xiàn)其中有4條帶記號用A表示事件任撈一條帶記號，問下面兩個數(shù)哪個是A的頻率？哪個是A的概率？為什么？3古典概型古典型試驗：()結(jié)果為有限個；()每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的等概完備事件組：()完全性；()互斥性；()等概性(滿足()，()兩條的事件組稱為完備事件組)定義7 設(shè)古典概型隨機(jī)試驗的基本事件空間由n個基本事件組成，即1，2，n如果事件A是由上述n個事件中的m個組成，則稱事件A發(fā)生的概率為(11)所謂古典概型就是利用式(11)來討論事件發(fā)生的概率的數(shù)學(xué)模型根據(jù)概率的古典定義可以計算古典型隨機(jī)試驗中事件的概率在古典概型中確定事件A的概率

24、時，只需求出基本事件的總數(shù)n以及事件A包含的基本事件的個數(shù)m為此弄清隨機(jī)試驗的全部基本事件是什么以及所討論的事件A包含了哪些基本事件是非常重要的例14 擲兩枚勻稱的硬幣，求它們都是正面的概率解 設(shè)A出現(xiàn)正正，其基本事件空間可以有下面三種情況：()1同面、異面，n12()2正正、反反、一正一反，n23()3正正、反反、反正、正反，n34于是，根據(jù)古典概型，對于()來說，由于兩個都出現(xiàn)正面，即同面出現(xiàn)，因此，m11，于是有而對于()來說，m21，于是有而對于()來說，m31，于是有問題 以上討論的三個結(jié)果哪個正確，為什么？例15 求131預(yù)備知識的例5中()至()問的概率答案是：當(dāng)M2時，() (

25、) () ()1 ()當(dāng)M4時，() () ()() () 分析(略)問題(1)例15中各問可否使用排列做，為什么？(2)用排列或組合完成例15時哪種方法較為簡便？例16 求131預(yù)備知識的例4中()至()問的概率答案是：當(dāng)M2時，() () ()() ()當(dāng)M4時，將上面的24，86即可分析(略)問題(1)例16中各問可否使用組合做，為什么？(2)用元素可重復(fù)的排列或組合完成例16時，哪種方法較為簡便？(3)小結(jié)一下“古典概型”中“有放回地抽取”與“無放回地抽取”時分別應(yīng)采用的方法例17 求131預(yù)備知識的例7中“取出的4只都不配對”的概率答案是： 或 分析(略)例18 從一副撲克牌的13張

26、梅花中，有放回地取3次，求三張都不同號的概率解 這是一個古典概型問題設(shè)A三張都不同號由題意，有n133，m，則問題如果我們進(jìn)一步問三張都同號，三張中恰有兩張同號如何求出？另外，本題可否使用二項概型計算？例19 在20枚硬幣的背面分別寫上5或10，兩者各半，從中任意翻轉(zhuǎn)10枚硬幣，這10枚硬幣背面的數(shù)字之和為100，95，90，55，50，共有十一種不同情況問出現(xiàn)“70，75，80”與出現(xiàn)“100，95，90，85，65，60，55，50”的可能性哪個大，為什么？答案是：出現(xiàn)“70，75，80”可能性大，約為82分析 這是一個古典概型問題設(shè)A出現(xiàn)“70，75，80”，由題意，有則4幾何概型幾何型

27、試驗：()結(jié)果為無限不可數(shù)；()每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均勻的定義4 設(shè)E為幾何型的隨機(jī)試驗，其基本事件空間中的所有基本事件可以用一個有界區(qū)域來描述，而其中一部分區(qū)域可以表示事件A所包含的基本事件，則稱事件A發(fā)生的概率為(12)其中L()與L(A)分別為與A的幾何度量所謂幾何概型就是利用式(12)來討論事件發(fā)生的概率的數(shù)學(xué)模型注意，上述事件A的概率P(A)只與L(A)有關(guān)，而與L(A)對應(yīng)區(qū)域的位置及形狀無關(guān)例20候車問題某地鐵每隔5 min有一列車通過，在乘客對列車通過該站時間完全不知道的情況下，求每一個乘客到站等車時間不多于2 min的概率解 設(shè)A每一個乘客等車時間不多于2 min由于乘客可

28、以在接連兩列車之間的任何一個時刻到達(dá)車站，因此每一乘客到達(dá)站臺時刻t可以看成是均勻地出現(xiàn)在長為5 min的時間區(qū)間上的一個隨機(jī)點，即0，5)又設(shè)前一列車在時刻T1開出，后一列車在時刻T2到達(dá)，線段T1T2長為5(見圖11)，即L()5；T0是T1T2上一點，且T0T2長為2顯然，乘客只有在T0之后到達(dá)(即只有t落在線段T0T2上)，等車時間才不會多于2min，即L(A)2因此圖11問題(1)例20可否使用一維均勻分布來計算？(2)舉例說明：()概率為0的事件不一定是不可能事件()概率為1的事件不一定是必然事件例21會面問題 甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)的時

29、間是等可能的，如果甲船和乙船停泊的時間都是兩小時，它們同日到達(dá)時會面的概率是多少？解 這是一個幾何概型問題設(shè)A它們會面又設(shè)甲乙兩船到達(dá)的時刻分別是x，y，則0x24，0y24由題意可知，若要甲乙會面，必須滿足|xy|2，即圖中陰影部分由圖12可知：L()是由x0，x24，y0，y24圖12所圍圖形面積S242，而L(A)242222，因此問題例21可否使用二維均勻分布來計算？135條件概率與概率的乘法公式1條件概率前面我們所討論的事件B的概率PS(B)，都是指在一組不變條件S下事件B發(fā)生的概率(但是為了敘述簡練，一般不再提及條件組S，而把PS(B)簡記為P(B)在實際問題中，除了考慮概率PS(

30、B)外，有時還需要考慮“在事件A已發(fā)生”這一附加條件下，事件B發(fā)生的概率與前者相區(qū)別，稱后者為條件概率，記作P(B|A)，讀作在A發(fā)生的條件下事件B的概率在一般情況下，如果A，B是條件S下的兩個隨機(jī)事件，且P(A)0，則在A發(fā)生的前提下B發(fā)生的概率(即條件概率)為， (13)并且滿足下面三個性質(zhì)：(1)(非負(fù)性)P(B|A)0；(2)(規(guī)范性)P(|A)1；(3)(可列可加性)如果事件B1，B2，互不相容，那么問題(1)條件概率在原樣本空間中是某一個事件的概率嗎？(2)如何判斷一個問題中所求的是條件概率還是無條件概率？(3)在一個具體問題中條件概率如何獲得？例22 設(shè)隨機(jī)事件B是A的子事件，已

31、知P(A)1/4，P(B)1/6，求P(B|A)分析 這是一個條件概率問題解 因為BA，所以P(B)P(AB)，因此2概率的乘法公式在條件概率公式(13)的兩邊同乘P(A)，即得P(AB)P(A)P(B|A)(14)例23 在100件產(chǎn)品中有5件是不合格的，無放回地抽取兩件，問第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 設(shè)事件A第一次取到正品，B第二次取到次品用古典概型方法求出由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以由公式(14)，問題(1)例23中，問兩件產(chǎn)品為一件正品，一件次品的概率是多少？(2)例23中，將“無放回地抽取”改為“有放回地抽取

32、”，答案與上題一樣嗎？為什么？例24抓鬮問題五個人抓一個有物之鬮，求第二個人抓到的概率分析 (1)什么是“抓鬮”問題，如何判斷它？(2)例24中“求第二個人抓到的概率”是指“在第一人沒有抓到的條件下，第二個人抓到的概率”嗎？解 這是一個乘法公式的問題設(shè)Ai第i個人抓到有物之鬮(i1，2，3，4，5)，有根據(jù)事件相同，對應(yīng)概率相等有又因為所以問題(1)本題還有其他方法解決嗎？(2)若改成n個人抓m個有物之鬮(mn)，下面的結(jié)論還成立嗎？例25 設(shè)袋中有4個乒乓球，其中1個涂有白色，1個涂有紅色，1個涂有藍(lán)色，1個涂有白、紅、藍(lán)三種顏色今從袋中隨機(jī)地取一個球，設(shè)事件A取出的球涂有白色，B取出的球涂

33、有紅色，C取出的球涂有藍(lán)色試驗證事件A，B，C兩兩相互獨立，但不相互獨立證根據(jù)古典概型，我們有n4，而事件A，B同時發(fā)生，只能是取到的球是涂有白、紅、藍(lán)三種顏色的球，即m1，因而同理，事件A發(fā)生，只能是取到的球是涂紅色的球或涂三種顏色的球，因而因此，有所以P(AB)P(A)P(B)，即事件A，B相互獨立類似可證，事件A，C相互獨立，事件B，C相互獨立，即A，B，C兩兩相互獨立，但是由于而所以A，B，C并不相互獨立例26 加工某一零件共需經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是2、3、5、3，假定各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率答案是：0.124(或10.98×

34、;0.97×0.95×0.97)問題本題使用加法公式還是乘法公式較為簡便？例27 一批零件共100個，其中有次品10個每次從中任取一個零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率答案是：問題本題若改為“已知第一、二次取到的是次品，求第三次取到正品的概率”，答案與原題相同嗎？為什么？例28 用高射炮射擊飛機(jī)，如果每門高射炮擊中飛機(jī)的概率是0.6，試問：(1)用兩門高射炮分別射擊一次擊中飛機(jī)的概率是多少？(2)若有一架敵機(jī)入侵，至少需要多少架高射炮同時射擊才能以99的概率命中敵機(jī)？分析 本題既可使用加法公式，也可使用乘法公式解 (1)令Bi第i門

35、高射炮擊中敵機(jī)(i1，2)，A擊中敵機(jī)在同時射擊時，B1與B2可以看成是互相獨立的，從而也是相互獨立的，且有P(B1)P(B2)0.6，方法1(加法公式)由于AB1B2，有P(A)P(B1B2)P(B1)P(B2)P(B1)P(B2)0.60.60.6×0.60.84方法2(乘法公式) 由于，有于是(2)令n是以99的概率擊中敵機(jī)所需高射炮的門數(shù)，由上面討論可知，9910.4n 即 0.4n0.01，亦即因此若有一架敵機(jī)入侵，至少需要配置6門高射炮方能以99的把握擊中它問題(1)為什么要將5.026進(jìn)到6？什么時候采取“四舍五入”？(2)通過上面的討論，小結(jié)一下“加法公式”與“乘法公

36、式”的使用問題136全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式1全概率公式如果事件組A1，A2，An滿足(1)且P(Ai)0(i1，2，n)(2)AiAj(ij；i，j1，2，n)，則對任一事件B，有上式稱之為全概率公式2貝葉斯公式設(shè)A1，A2，An是某一隨機(jī)試驗的一個完備事件組，對任意事件B(P(B)0)，在事件B已發(fā)生的條件下事件Ai發(fā)生的概率為上式稱之為貝葉斯公式(或逆概率公式)利用全概率公式和貝葉斯公式計算概率的關(guān)鍵是找滿足全概率公式中條件的事件組，即完備事件組A1，A2，An要掌握以下兩點：(1)事件B必須伴隨著n個互不相容事件A1，A2，An之一發(fā)生，B的概率就可用全概率公式計算(2)如

37、果我們已知事件B發(fā)生了，求事件Aj(j1，2，n)的概率，則應(yīng)使用貝葉斯公式這里用貝葉斯公式計算的是條件概率P(Aj|B)(j1，n)這里，我們把導(dǎo)致試驗結(jié)果的各種“原因”：A1，A2，An的概率P(Ai)稱為先驗概率，它反映了各種“原因”發(fā)生的可能性大小，一般是以往經(jīng)驗的總結(jié)，在這次試驗前已經(jīng)知道現(xiàn)在若試驗產(chǎn)生了事件B，它將有助于探討事件發(fā)生的“原因”我們把條件概率P(Ai|B)稱為后驗概率，它反映了試驗之后對各種“原因”發(fā)生的可能性大小的新知識例29 設(shè)某人從外地趕來參加緊急會議他乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)來的概率分別是及，如果他乘飛機(jī)來，不會遲到；而乘火車、輪船或汽車來遲到的概率分別為、試

38、問：(1)他遲到的概率；(2)此人若遲到，試推斷他是怎樣來的可能性最大？解 令A(yù)1乘火車，A2乘輪船，A3乘汽車，A4乘飛機(jī)，B遲到按題意有：(1)由全概率公式，有(2)由逆概率公式得到由上述計算結(jié)果可以推斷出此人乘火車來的可能性最大例30 三人同時向一架飛機(jī)射擊，設(shè)他們射中的概率分別為0.5，0.6，0.7又設(shè)無人射中，飛機(jī)不會墜毀；只有一人擊中飛機(jī)墜毀的概率為0.2；兩人擊中飛機(jī)墜毀的概率為0.6；三人射中飛機(jī)一定墜毀求三人同時向飛機(jī)射擊一次飛機(jī)墜毀的概率解 設(shè)Ai第i個人射中(i1，2，3)，有P(A1)0.5，P(A2)0.6，P(A3)0.7又設(shè)B0三人都射不中，B1只有一人射中，B

39、2恰有兩人射中，B3三人同時射中，C飛機(jī)墜毀由題設(shè)可知并且同理0.5×0.4×0.30.5×0.6×0.30.5×0.4×0.70.29；P(B2)0.44；P(B3)0.21利用全概率公式便得到0.06×00.29×0.20.44×0.60.21×10.532由上面的討論可以看出，在使用全概率公式和逆概率公式解題時，“分析題目，正確寫出題設(shè)，找出(或計算)先驗概率和條件概率”是十分重要的例31 兩臺機(jī)床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02加工出來的零件

40、放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件經(jīng)檢查是廢品，求它是由第二臺機(jī)床加工的概率答案是：0.973；0.25問題在例31中“設(shè)Ai第i臺生產(chǎn)的廢品，i1，2”對否，為什么？137伯努利(Bernoulli)概型在實際問題中，我們常常要做多次試驗條件完全相同(即可以看成是一個試驗的多次重復(fù))并且都是相互獨立(即每次試驗中的隨機(jī)事件的概率不依賴于其他各次試驗的結(jié)果)的試驗我們稱這種類型的試驗為重復(fù)獨立試驗在單次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0p1)，則在n次獨立重復(fù)試驗中PA發(fā)生k次(15)所謂伯努利概型就是利用關(guān)系式(15

41、)來討論事件概率的數(shù)學(xué)模型伯努利概型又稱為獨立試驗序列概型(或二項概型)問題(1)相同條件下的多個(獨立)試驗，可以看作一個試驗進(jìn)行多次，而使用二項概型嗎？(2)二項概型與古典概型有何異同？在什么情況下，古典概型問題也可使用二項概型？例32 某類電燈泡使用時數(shù)在1000 h以上的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000 h以后最多只壞一個的概率解 這是一個n3，p0.8二項概型問題P3(1)P(0)P(1)例33 袋中有10個球，其中2個為白色，從中有放回地取出3個，求這3個球中恰有2個白球的概率解 方法1 設(shè)A恰有2個白球，由古典概型，有, ，因此方法2 由二項概型，有138練習(xí)題依題意，指出

42、以下各題的主要考核內(nèi)容：11 袋中有4個白球、6個紅球，先從中任取出4個，然后再從剩下的6個球中任取一個，則它恰為白球的概率是_分析 本題主要考查_12 有一批產(chǎn)品，其中正品有n個，次品有m個，先從這批產(chǎn)品中任意取出l個(不知其中的次品數(shù))，然后再從剩下的產(chǎn)品中任取一個恰為正品的概率為()分析 本題主要考查_13 袋中有5個球，其中1個是紅球，每次取1個球，取出后不放回，前3次取到紅球的概率為()分析 本題主要考查_14 設(shè)兩兩相互獨立的三事件A，B，C，滿足：ABC，P(A)P(B)P(C)，并且P(ABC)，求事件A的概率分析 本題主要考查_15 設(shè)P(A)0，P(B)0，證明(1)若A與

43、B相互獨立，則A與B不互斥(2)若A與B互斥，則A與B不獨立分析 本題主要考查_16 設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，且0P(A)1，P(B)0，則P(AB)P(A)P(B)分析 本題主要考查_17 設(shè)兩個隨機(jī)事件A，B相互獨立，已知僅有A發(fā)生的概率為，僅有B發(fā)生的概率為，則P(A)_，P(B)_分析 本題主要考查_18 設(shè)隨機(jī)事件A與B的和事件的概率為0.6，且積事件·B的概率為0.3，則事件的概率P()()分析 本題主要考查_19 甲、乙兩封信隨機(jī)地投入標(biāo)號是1，2，3，4，5的五個信筒內(nèi)，則第3號信筒恰好只投入一封信的概率為()分析 本題主要考查_110 袋中有10個球，其中有4個白球

44、、6個紅球從中任取3個，求這3個球中至少有1個是白球的概率分析 本題主要考查_111 從52張撲克牌中任取13張，求(1)至少有兩種4張同號的概率(2)恰有兩種4張同號的概率分析 本題主要考查_112 三只外觀相同的鋼筆分別屬于甲、乙、丙三人如今三人各取一只，恰好取到自己的筆的概率是()；都沒有取到自己的筆的概率是()分析 本題主要考查_113 一批產(chǎn)品共100件，對產(chǎn)品進(jìn)行不放回地抽樣檢查，整批產(chǎn)品不合格的條件是：在被檢查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品如果在該批產(chǎn)品中有5件是廢品，求該批產(chǎn)品被拒絕接收的概率分析 本題主要考查_114 由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只在不同情況下運輸某種物品，損壞2

45、，10，90的概率分別為0.8，0.15和0.05現(xiàn)在從中隨機(jī)地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件全是好的試分析這批物品的損壞率為多少？分析 本題主要考查_115 若有M件產(chǎn)品中包括m件廢品，從中任取2件，求(1)已知取出兩件中有一件次品件條件下，另一件也是次品的概率(2)已知取出兩件中有一件不是次品的條件下，另一種是次品的概率(3)取出2件中至少有一件是次品的概率分析 本題主要考查_116 袋中有15個小球，其中7個是白球，8個是黑球現(xiàn)在從中任取4個球，發(fā)現(xiàn)它們顏色相同，問它們都是黑色的概率為多少？分析 本題主要考查_117 某班車起點站上車人數(shù)是隨機(jī)的，每位乘客在中途下車的概率為0.3，并且它們下車與否相

46、互獨立求在發(fā)車時有10個乘客的條件下，中途有3個人下車的概率分析 本題主要考查_118 設(shè)有甲、乙兩個口袋，甲袋中有9個白球、1個黑球，乙袋中有10個白球現(xiàn)從兩個口袋中各任取一球，交換后放回袋中，求交換三次后，黑球在乙袋中的概率分析 本題主要考查_119 在對某廠的產(chǎn)品進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查時，從抽取的200件中發(fā)現(xiàn)有4件次品，問能否相信該廠產(chǎn)品的次品率不超過0.005？分析 本題主要考查_120 在第一個箱中有10個球，其中8個是白的；在第二個箱中有20個球，其中4個是白的現(xiàn)從每個箱中任取一球，然后從這兩球中任取一球，取到白球的概率為()分析 本題主要考查_14典型例題分析11 袋中有4個白球、6

47、個紅球，先從中任取出4個，然后再從剩下的6個球中任取一個，則它恰為白球的概率是_分析 設(shè)Ai第i次取到白球，根據(jù)古典概型，我們有由于并且因此同理說明 (1)注意一般事件的概率與條件概率的區(qū)別(2)有放回地抽取與無放回地抽取，其結(jié)果一致，但意義不同12 有一批產(chǎn)品，其中正品有n個，次品有m個，先從這批產(chǎn)品中任意取出l個(不知其中的次品數(shù))，然后再從剩下的產(chǎn)品中任取一個恰為正品的概率為()分析 這個題目與11類似，用全概率公式解之方法1 設(shè)Ak前l(fā)次中恰有k個正品，kq，q1，p；其中qmax(lm，0)，pmin(n，l)又設(shè)B第l1個恰為正品，有而由全概率公式有舉例說明：(1)n3，m5，l4

48、，這時k0，1，2，3k0123P(Ak)P(B|Ak)(2)n5，m3，l4，這時k1，2，3，4k0123P(Ak)P(B|Ak)方法2 利用抓鬮問題的討論，直接得到方法3 前l(fā)1次取到正品的概率減去前l(fā)次取到正品的概率(有條件限制，有時使用起來不一定方便)方法4(全排列方法)令第l1個位置上為正品，由于有n個正品，故有n種方法，于是方法5 將第l1次看成第1次，于是13 袋中有5個球，其中1個是紅球，每次取1個球，取出后不放回，前3次取到紅球的概率為()分析 設(shè)A前3次取到紅球，根據(jù)古典概型，有說明利用這一結(jié)論，可以計算第3次取到紅球的概率：P第3次取到紅球P前3次取到紅球P前2次取到紅

49、球注意這里實際用到了互斥情況下的加法公式14 設(shè)兩兩相互獨立的三事件A，B，C，滿足：ABC，P(A)P(B)P(C),并且，求事件A的概率分析 設(shè)P(A)p由于ABC，有P(ABC)0，根據(jù)三個事件兩兩獨立情況下的加法公式，有P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(B)P(C)P(A)P(C)P(ABC)，即亦即解得或(由題意舍去)于是說明(1)三個事件兩兩獨立，不能推出三個事件相互獨立(2)由ABCP(ABC)0，反之不真15 設(shè)P(A)0，P(B)0，證明(1)若A與B相互獨立，則A與B不互斥(2)若A與B互斥，則A與B不獨立分析 (1)由于事件A與B相互獨立，且P(A)0，P(B)0，因此P(AB)P(A)P(B)0可見，AB，即事件A與B不互斥(相容)(2)由于事件A與B互斥，即AB，因此P(AB)0，而P(A)0，P(B)0，故P(AB)P(A)P(B)，即事件A與B不可能相互獨立說明(1)事件之間相互獨立，并不意味著它們互斥，反之亦然(2)在P(A)0，P(B)0的條件下，兩個事件獨立與否，是在它們相容情況下討論的(3)事件的“互斥”與“相互獨立”是沒有關(guān)系的兩個“關(guān)系”16 設(shè)A，B是兩個