實變函數(shù)論與泛函分析(曹廣福)1到5章課后答案

1、第一章習(xí)題參考解答3等式成立的的充要條件是什么？解： 若，則.即，.反過來, 假設(shè), 因為. 所以, . 故, .最后證，事實上，, 則且。若，則；若，則，故. 從而, . . 即 .反過來，若，則 因為所以 又因為，所以故 另一方面，且，如果則 ；如果因為，所以故. 則 . 從而于是，4對于集合A，定義A的特征函數(shù)為， 假設(shè)是一集列 ，證明：（i）（ii）證明：（i），時，.所以，所以故，有有，故 ，即=0 ，從而5設(shè)為集列， 證明 （i）互相正交（ii） 證明：（i）；不妨設(shè)n>m，因為，又因為，所以，故 ，從而 相互正交.（ii）因為，有，所以，現(xiàn)在來證：當(dāng)n=1時，；當(dāng)時，有：則

2、事實上，則使得，令則 ，其中，當(dāng)時，從而， 6設(shè)是定義于E上的實函數(shù)，a為常數(shù)，證明：（i）=(ii)=證明：（i）且反過來，使即 故 所以 故7設(shè)是E上的實函數(shù)列，具有極限，證明對任意常數(shù)a都有：證明：，即，且因為，使，有，故 所以= ，由k的任意性：，反過來，對于，有 = ，即時，有：且，所以，且.，故 從而故 =8 設(shè)是區(qū)間（a，b）上的單調(diào)遞增的序列，即若有極限函數(shù)，證明：，證明： ，即：且，因為所以，恒有：，從而， 反過來，使，故，因此，且,即，從而，10證明：中坐標(biāo)為有理數(shù)的點是不可數(shù)的。證明： 設(shè)Q為有理數(shù)集，由定理6：Q是不可數(shù)的?，F(xiàn)在證：可數(shù)，因為 是可數(shù)個有理數(shù)集的并，故可

3、數(shù)，又因為并且，所以可數(shù) 故可數(shù)14證明：可數(shù)集的有限子集的全體仍是可數(shù)證明： 設(shè)Q為可數(shù)集，不妨記為：,令則 為有限集（），則為正交可數(shù)集，即又因為，所以 ，故A是Q上一切有限子集的全體。15設(shè)是兩兩不相交的集所組成的集列，證明：證明： 因為兩兩不相交，所以，故另一方面，若，我們?nèi)t，使得.特別的，當(dāng) 時，當(dāng)時：（ 從而，這與矛盾，故從而16若集A中每個元素由相互獨立的可列個指標(biāo)所決定，即A=，而每個指標(biāo)在一個勢為C的集中變化，則集A的勢為C。證明：設(shè)在勢為C的集合中變化，即A=因 是既單又滿的映射，定義 ,故得既單又滿的映射,從而，從而 17設(shè)的勢是C，證明至少有一個的勢也是C。證明：因為

4、，所以如果，則，即，正交可數(shù)，從而，正交可數(shù).這與矛盾.故，,使.18證明：0,1上的實函數(shù)全體具有勢證明：設(shè)，則記0，1上全體是函數(shù)所構(gòu)成的集合為對于，定義函數(shù) ,即是集合A的特征函數(shù)。 另一方面，定義 則 ，則，所以 ，從而，20證明：中孤立點集市有限或可數(shù)集證明：中，是的一些孤立點所構(gòu)成的集合由定義，使得.現(xiàn)在令 ，則中任意二領(lǐng)域是不相交的事實上，若，有取，并且不失一般性設(shè)：，則.故 ，這推出，這與矛盾.，取一個有限點，則，當(dāng)，,所以，故 .E正交可數(shù).19設(shè)稱為E的內(nèi)點集，證明：是開集。證明：，因為x為E的內(nèi)點，使得：，現(xiàn)在證：事實上，取則，故，從而，即中每個點都是得內(nèi)點因此，為開集2

5、1假設(shè)是a,b上唯一有限實函數(shù)，證明：它的第一類間斷點的全體是可數(shù)的。證明：a,b中右極限存在的間斷點是至多可數(shù)的.令有限，作：,時，使得則：（1）上連續(xù)點的集合事實上，取因，故有即，在點連續(xù)。（2），因有限，故使得 ，故，有，從而，.現(xiàn)在證：是兩兩不相交的開區(qū)間集不妨設(shè) ，如果，取則 即，這與矛盾，故A兩兩不相交，從而可數(shù)故至多可數(shù)。即，中第一類間斷點至多可數(shù)。20證明中孤立點集是至多可數(shù)集證明：設(shè)F是點集E中一些孤立點所構(gòu)成的集合，有現(xiàn)在先證：是兩兩不相交的事實上，如果，則（不妨設(shè)），故,這與矛盾.所以，是兩兩不相交的.,取有理點，故，從而，22證明：中直線上每個閉集必是可數(shù)個開集的交，每

6、個開集必是可數(shù)個閉集的并.證明：設(shè)F是中的一個閉集，先證：，=|是R中的開集，其中，則，取，故事實上，所以是開集現(xiàn)在證：、事實上，所以.反過來，有.故.,即.，使.所以.故，這與矛盾.所以，從而.再來證：每個開集必是可數(shù)個閉集的并.事實上，若是開集，則是閉集.所以存在可數(shù)個開集，使得，所以.即是可數(shù)個閉區(qū)間集的并.23.假設(shè)是一列開區(qū)間，如果，證明是一個開區(qū)間證明：，記， ，其中，因為，所以可取現(xiàn)在我們證：因為，故反過來，即，當(dāng)時，因為，所以，有.所以. 如果，使，故，從而24.設(shè)，是E的一個開覆蓋，證明：中必存在至多可數(shù)個，使得.證明：不妨設(shè)中每一個元都是開區(qū)間.，存在，有，故有：端點的開區(qū)

7、間，使得.即，.又因為所以可數(shù).不妨設(shè)=，又記.其中，故25.已知：可數(shù)集，開區(qū)間列，覆蓋了它，這里，從此覆蓋中能否選出集的有限子覆蓋.答：不能，證明如下：證明：（反正）如果，使得（*），不妨設(shè)，因為，則.這與矛盾.所以（*）不真.26.設(shè)是一簇集合，如果，有，則稱集合簇具有有限交性質(zhì).證明：如果是具有有限交性質(zhì)的非空有界閉集簇，那么.證明：取，令，其中，則是中開集.且，如果，則.由Borel有限覆蓋定理（P27 定理9），存在，使得.從而，這與具有有限交性質(zhì)矛盾.27.試用Borel有限覆蓋定理證明：Bolzano-Weiestyass定理（P24定理4，若是是一個有界無窮點集，則）.證明：

8、設(shè)是中的有界無窮點集，如果，則，使得，則.由Borel有限覆蓋定理，有，從而=，這與為無窮集矛盾，從而.29.可數(shù)個開集的交稱為型集，可數(shù)個閉集的并稱為型集.證明：有理數(shù)集不是型集，但是型集.證明：設(shè)為中全體有理數(shù)所構(gòu)成的集合.如果是型集，即，其中是開集，由開集的結(jié)構(gòu)，其中是互不相交的開區(qū)間.不是一般性，設(shè)這是，必有（1）事實上，如果，即為有理數(shù)，.因為，故，這與矛盾.(2),如果，.則.因此，有.這有：這是一矛盾.(3) .事實上，若，則為有限實數(shù)，使得，故，這也是一矛盾.為可數(shù)集，這與矛盾.因為在中單點集是閉集，所以，令，則為閉集，所以，故為型集.30定義在上的任何函數(shù)的連續(xù)點構(gòu)成的集合是

9、一個型集.證明：開區(qū)間中有理點的全體不是一個型集，但是一個型集.30.是否存在上的的函數(shù)滿足：在有理點處連續(xù)，而在無理點處都不連續(xù)？是證明你的結(jié)論.回答：不存在.為此，只需證明如下命題命題（*）：開區(qū)間中的任何函數(shù)的連續(xù)點構(gòu)成的集合是一個型集.這是因為，如果存在上的函數(shù)，使得.當(dāng)命題（*）成立時，必有為型集，這與題的結(jié)論矛盾.命題（*）的證明：設(shè)是開區(qū)間有定義的一實函數(shù)，記，下證：是一個型集.，令且.又記.于是，我們只需證：.事實上，因為，所以，使得，恒有，所以，恒有，故，所以即，反過來，.，取，使得.因為所以：，使得，并且有，取，故：，即，所以.從而.故.因此，真.31.假設(shè)，且對任意，存在

10、的一個-領(lǐng)域，使得最多只有可數(shù)個點，證明：必有有限級或可列集.證明：因為，使得是一個至多可數(shù)集，而由24題，使得： 又.即至多可數(shù).32.證明下列陳述相互等價.(i) 是無處稠密集(ii) 不包含任何非空開區(qū)間(iii) 是無處稠密集（iv）的余集是稠密集無處稠密集：，稱為是無處稠密的，如果，.證明：（i）(ii).設(shè)是無處稠密集，即，有.如果，有.取，取，故.這與得假設(shè)矛盾.所以i(ii)真.（ii）(iii).如果不是無處稠密的，即，使得.這與不包含任何非區(qū)間矛盾. (iii)(iv).設(shè)無處稠密.現(xiàn)在我們證：.,如果，則，所以，有.故.所以. (iv)(i).設(shè)，.所以.從而，無處稠密.

11、33.證明：若集合的聚點不屬于，則是的邊界點.定義：稱為的邊界點，如果，有且.證明：設(shè)，則，.且，即，是的界點.第二章習(xí)題參考解答1：證明：有理數(shù)全體是中可測集，且測度為0.證：（1）先證單點集的測度為0.，令.,，因為，為開區(qū)間.故.所以可測且.（2）再證：中全體有理數(shù)全體測度為0.設(shè)是中全體有理數(shù)，令.則是兩兩不相交的可測集列，由可測的可加性有：.法二：設(shè)，令，其中是預(yù)先給定的與無關(guān)的正常數(shù)，則：.由得任意性，.2.證明：若是有界集，則.證明：若是有界.則常數(shù)，使，有，即，有，從而.所以3.至少含有一個內(nèi)點的集合的外測度能否為零？解：不能.事實上，設(shè)，中有一個內(nèi)點 .,使得.則所以.4.在

12、上能否作一個測度為，但又異于的閉集？解：不能事實上，如果有閉集使得.不失一般性，可設(shè)且.事實上，若，則可作，.且.這樣，我們可記為新的，從而.如果，即，而是開集，故是的一個內(nèi)點，由3題，.這與矛盾.故不存在閉集且5.若將§1定理6中條件去掉，等式是否仍成立？解：§1定理6中條件是不可去掉的.事實上，令，則是兩兩相交的可測集列，由習(xí)題一得15題：.故，但，.所以.從而.6.設(shè)，是中具有下述性質(zhì)的可測集列：，使，證明：證：事實上，因為，7.證明：對任意可測集，下式恒成立. .證明：且故 .即又因為.且，所以故，從而8.設(shè)是，是中的兩個可測集且滿足，證明：.證：.又因為所以9.設(shè)

13、，是中的兩個可測集，且，證明：證：=.所以又因為=+.所以=因為.所以.10.證明：存在開集，使證明：設(shè)是閉區(qū)間的一切有理數(shù)，對于，令，并且是中開集.而，故.11.設(shè)是中的不可測集，是中的零測集，證明：不可測.證明：若可測.因為，所以.即.故可測.從而可測，這與不可測矛盾.故不可測.12.若是中的零測集，若閉集是否也是零測集.解：不一定，例如： 是中的有理數(shù)的全體.,但.13.證明：若是可測集，則，存在型集，型集，使，證明：由P51的定理2，對于，存在型集，使得.由得可測性，.則.即，.再由定理3，有型集使得.且15.證明：有界集可測當(dāng)且僅當(dāng)，存在開集，閉集，使得.證明：，由已知，存在開集，閉

14、集使得.令，則.，.所以，.即是零測集，可測.從而，可測設(shè)是有界可測集因為，為開長方體.故，存在開長方體序列，使得.有.另一方面，由得有界性，存在中閉長方體.記，則是中有界可測集.并且.由得有界可測性，存在開集有.因為，故.因此=令，則是一個閉集，并且由，有.因此，從而，存在開集，閉集.有.由的任意性知，.即是零測集.從而，位于軸上的任意集，因此，為零測集.16.證明：若是單調(diào)增加集列（不一定可測）且，則證明：，即，有界并且故，即單調(diào)遞增有上界.所以，存在并且下證：.由于有界，可作一個開長方體，有，.,因為，為開長方體.故，存在開長方體序列使得，且.令，則為有界開集，且，.，又令.且，則由知，

15、是單調(diào)遞增的可測序列，由P46的定理4，.又由，有.從而.故.由得任意性，即得.從而，.17.證明：中的集類具有連續(xù)勢.證明：為了敘述方便，我們僅以為例進行證明：用表示上的開區(qū)間，用表示上的一個點.表示上的所有開區(qū)間的集合；表示所有閉集；和分別表示所有的型集，所有型集.因為，又因為.故.所以.又因為，有.所以.又定義映射，有.故是一個滿射.所以. 故.又定義：，,則與都是滿射.所以 .即，.同理，.記時上的集的全體.因集合的“差”運算可以化成“交”運算，例如： .因此，中的每個元都是中可數(shù)元的并，交后而成.故.從而，.即，上集的全體的勢為.18.證明對任意的閉集，都可找到完備集，使得.19.證

16、明：只要，就一定可以找到，使對，有.證明：設(shè)，.首先將劃分成可數(shù)邊長為的左開右閉的維長方體.則互不相交且至多可數(shù).不妨記為，.因，則.故，有.又因互不相交且至多可數(shù).故可記，其中，又由，.故，所以，有.這樣下去得一個單調(diào)遞減的可測集列 ，其中：，.記，故閉集列單調(diào)遞減且，.由閉集套定理，.對于，因，取，使.則，故.20.如果可測，記.證明：也可測，且.證明：（1）先證：因為，為開長方體，對于開長方體序列，若，則，也是開長方體序列，且=.即.因此，為開長方體.另一方面，因為，為開長方體.故存在開長方體序列.所以，故.由得任意性，知.從而（2）再證：可測 事實上，由得可測性，.故，.因此.可測.因

17、此，當(dāng)可測時，.下面是外測度的平移不變性定理.定理（平移不變性）設(shè)，記.則證明：當(dāng)是中開長方體時也是一個開長方體，且其相應(yīng)的邊均相同，故.如果是中的任意點集，對于德任意由開長方體序列構(gòu)成的覆蓋，也是，且仍是開長方體序列，故.所以，為開長方體=.即.下證：令，由上面的證明知，.所以.從而，.21.設(shè)，.是零測集，證明：也是零測集.證明：設(shè)，（1）當(dāng)時，當(dāng)，則存在開區(qū)間到使得，且.故.所以.第三章習(xí)題參考解答1.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：，是可測集.解：，因為是上的可測，所以與均是可測集.從而可測.2.設(shè)是上的函數(shù)，證明：在上的可測當(dāng)且僅當(dāng)對一切有理數(shù)，是可測集.證：，取單調(diào)遞減的有理數(shù)序列使得，則

18、.由每個的可測性，知可測.從而，在上的可測.設(shè)在上的可測，即，可測.特別地，當(dāng)時有理數(shù)時，可測.3. 設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：對于任意的常數(shù)，是上的可測函數(shù).為證上述命題，我們先證下面二命題：命題1.若是中的非空子集，則，有證明：當(dāng)時，因為，則.不妨設(shè)，.因為，為開區(qū)間.,存在開區(qū)間序列，.又因為（注：若，則.所以.由得任意性，有為開區(qū)間故存在開區(qū)間，使，且.又因為，故.由得任意性，有從而.命題2.設(shè)，則可測，可測.(由P54.19題的直接推論).證：是直接的，我們僅需證明，如果，則為零測集.故可測.不妨設(shè).現(xiàn)在證明，.事實上，對于，則，因為在可測，所以，即即可測. 3.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明

19、：對于任意常數(shù)，仍是上的可測函數(shù).解：記，對于，當(dāng)時，.故可測所以：可測.當(dāng)時，令，則=.在因為在可測，故可測，又由命題2，可測.從而使上哦可測函數(shù).4.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：在上可測.證明：，因為在上可測.所以是可列集.即可測.從而在上可測.5.若上的函數(shù)在任意線段上可測，試證它在整個閉區(qū)間上也可測.證明：，在上可測，記，則.又因為，.由每個的可測性，得可測.所以在可測.令，即.故可測，從而在上可測.7.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：（i）對上的任意開集，是可測集； (ii) 對中的任何開集，是可測集；（iii）對中的任何型集或型集，是可測集.證：（i）當(dāng)時中有界開集時，由第一章定理11（P.3

20、0），是至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并，即.由在上哦可測性，知：每個可測，從而可測.若是的誤解開集，記，則是中有界開集，且，故.故由得可測性，知可測.(ii) 設(shè)是中的任一閉集，記是中開集.=，即.由與得可測性，知，可測.（iii）設(shè)， 分別為中型集和型集.即，存在開集列，閉集列使得，從而，且.由與的可測性，知與均可測.8.證明：上兩個可測函數(shù)的和仍是可測函數(shù).證明：設(shè)，是上的兩個可測函數(shù)，令，=.由，在可測，知，在可測. 從而，與可測. 故可測.又因是零測集，故可測.從而在上可測.9.證明：若是及上的非負(fù)可測函數(shù)，則也是上的非負(fù)可測函數(shù).證明：因為是及上的非負(fù)可測函數(shù)，則，與均可測.于是，記

21、，則可測.從而在上非負(fù)可測.10.設(shè)是中有界可測集，是上幾乎處處有限的可測函數(shù)，證明：，存在閉集，使得，而在上有界.證明：（法一）由定理，閉集，使得且在上連續(xù)，現(xiàn)在證在上有界.如果在無界，即，使得.特別的，當(dāng)時，有；當(dāng)，使得；當(dāng)時，使得，從而，得中互異點列，使得，即.另一方面，因為為有界，且，故有一收斂子列，不妨設(shè)，則，又因為在連續(xù).對，時，恒有，即.取，則，但由得定義，有，這是一矛盾.從而在有界.證明：（法二）由定理，閉集，使得且在上連續(xù)，現(xiàn)在用有限覆蓋定理證：在上有界.，因為在連續(xù).所以對，使得，恒有：，即.從而.因為是有界閉集，故由有限覆蓋定理，存在，使得.取，則，有，.從而在有界.11

22、.設(shè)是上的可測函數(shù)序列，證明：如果，都有，則必有 .證：，因為，故.又因為故，故 12證明:如果是上的連續(xù)函數(shù)，則在的任何可測自己上都可測.證明：（1）先證：在上可測.令，因為.現(xiàn)在證：是一個開集.事實上，取.因為在連續(xù)，則對于，使時，即，故，從而為開集，可測.即，在上可測.(2)再證：可測，在可測.事實上，這是P59性質(zhì)2的直接結(jié)果.14.設(shè),是上的兩個可測函數(shù)序列，且，都是上的有限函數(shù)證明：（i）是上可測函數(shù)（ii）對于任意實數(shù)，若，則還有（iii）若，且，在上幾乎處處不等于0，則（iv）.證明：（i）因為，是可測函數(shù)列，由定理，有一個子列，使得 .再由P62性質(zhì)4，是在可測，同理，在可測

23、.（ii）先證：當(dāng)時，有.事實上，當(dāng)時，.所以.當(dāng)時，因為，故.從而.再證：.事實上，.所以：.（iii）現(xiàn)在證：.先證：，必有.事實上，若（對于某個）.因為，而，則是有界無窮數(shù)列.故存在的子列使得.事實上，如果每個的收斂子列都.故，時，恒有.倘若不然，無窮個，使得.即是有界無窮點列，它有一收斂子列.不妨設(shè)這收斂子列就是它本身.因為，故.故這與得每個收斂子列都為零極限矛盾，從而，使得時，有.即，這與矛盾.所以有子列使得.另一方面：因為，所以.故由定理有一子列，有 ，從而 .故這與矛盾.從而，最后證：.事實上，.習(xí)題14（iii）引理例1，設(shè)，都是上的可測函數(shù)列且，如果，則. 證明：設(shè)，若，即使

24、得即，有.特別的，當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有這樣繼續(xù)下去，得的一子列使得，即是一個有界的無窮數(shù)列，有一收斂子列，.另一方面，因為，所以，由定理，必有一子列使得 .所以 .從而.即，這與矛盾.例2，設(shè)，則證：因為15.設(shè)是上的可測函數(shù)，則當(dāng)且是有限函數(shù)時，對于，有（i）（ii）對于上的任意可測函數(shù)，有證：先證：當(dāng)，有，對于，因為，故所以故，從而.（i）,當(dāng)時，由14題（iii）有.假設(shè)，又因為，所以.故，.(ii)因為，所以當(dāng)時，對任何可測函數(shù)，有.再由前面的證明：.再由（i）的結(jié)論，.第四章習(xí)題參考解答1設(shè)是上的可積函數(shù)，如果對于上的任意可測子集，有，試證：， 證明：因為，而，.由已知， .

25、又因為，所以，.故,從而.即，.2.設(shè)，都是上的非負(fù)可測函數(shù)，并且對任意常數(shù)，都有，試證：，從而，.證明：我們證，是同一個簡單函數(shù)序列的極限函數(shù).及，令，并且.則是互不相交的可測集，并且，定義簡單函數(shù).下面證明：，.,若，則，所以，即；若，則可取正整數(shù)，時,.故，存在，.即，.所以，從而，.同理，定義簡單函數(shù)列，其中：，.同上一樣可證明：，.因為，有.故，.從而，有.即，.因此.3.若，計算.解：設(shè)為有理數(shù)，則.4.設(shè)是中個可測集，若內(nèi)每一點至少屬于個集中的個集，證明：中至少有一個測度不小于.證：令，其中為上的特征函數(shù)，有，所以.如果每個，則.這與矛盾.從而，使得.5.設(shè)，都是上的可積函數(shù)，試

26、證明：也是上可積函數(shù).證明：（1）先證：設(shè)與都是上的可測函數(shù)且 ，若在可積，則在可積.事實上，因為 ，故，即，其中：，.從而是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故：.又因為單調(diào)遞增有上界，所以存在，并且，即.所以在可積.（2）再證：在上可積.事實上，因為，在上可積，所以與在上可積，從而+在上可積.又因為，由（1）。在上可積.6.設(shè)，是上的非負(fù)可測函數(shù)，試證明：.證明：，因為，所以，故.又因為，由積分的絕對連續(xù)性（即，P103，定理4）.,使得對于任何可測集，恒有.對于，由，得，存在，時，有，從而.7.設(shè)為可測集，且，為上的非負(fù)可測函數(shù)，試證: 在上可積當(dāng)且僅當(dāng)級數(shù)收斂.證：設(shè)，因為在可積，故.即，級數(shù)收斂

27、.,因為，又又.因為，所以.從而，在上可積.8.設(shè)是上的可積函數(shù)，證明：.證明：（1）先證：，存在時直線上的連續(xù)函數(shù)，使得.對于，記： . 則：. 則 + =.因為在是可積的，故，使，時，恒有，又因為是單調(diào)的集列，并且.從而，.所以，對于，使得.對于，取，由連續(xù)擴張定理（第10頁，定理3），存在閉集及上的連續(xù)函數(shù)，使得（i）（ii） (iii) 則 ，從而.(2)再證：，由（1）知，存在上的連續(xù)函數(shù)使得，因為在上一致連續(xù)，所以使得，時，恒有，+.因為時，有，故.所以.故.9.設(shè)是上的非負(fù)可積函數(shù)，是任意常數(shù)，滿足，試證：存在，使得.證明：設(shè)常數(shù)，合于，當(dāng)時，存在，使得，不妨設(shè).先證：在上連續(xù)，

28、因為，由積分的絕對連續(xù)性（P85，定理4），有.故，因，故.所以，.同理，對于，用上述完全類似方法可得.故，在上連續(xù).又因為（根據(jù)P89的定義4）.所以，使得.故，由在閉區(qū)間上的介值定理（連續(xù)函數(shù)的介值定理），使得，有.10.設(shè)是上的可測函數(shù)，是大于1的數(shù)，2是的共軛輸，即.如果對任意，都有，試證.11，試證：（i）.(ii) .證明：（i）時，（尋找控制函數(shù)）當(dāng)時：；當(dāng)時：.令，從而，且在是可積的，故在是可積的.又因為.由控制收斂定理，.(ii),定義，并且，.,有.下面證明：，.事實上，令，取，則.又記，又因.所以，關(guān)于單調(diào)遞減，且.故，有，即.故在單調(diào)增加，從而， .所以.因此，.因為在上可積，由控制收斂定理，.12