7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(精講)(含答案)

1、be-ad編(c+附。)7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)Ni=o+bi z?=c+di b, c, d£R),則 加法：Zi+Z2=(o+bi)+(c+M)=(Q+c)+S+£0i減法：ziZ2=(a+Ai)(c+/i)=(ac)+(d</)i乘法：NiZ2=(a+Ai)(c+di)=(ac兒f)+(od+Ac)i除法:G o +bi (a + bi)(c - di)ac+bdZ2 c+小(c +di)(c - di)crd1加法交換律：zi+z2=a+zi；加法結(jié)合律：（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2 + Z3）乘法交換律：ZVZ1-Z2'Z乘法結(jié)合律：（ZiZ;

2、）Z3=Zj（Z2Z3）乘法分配律2 Z1（Z：+z3）=ZlZ2 + ziZ3的斌注在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，加律法運(yùn)用法則（實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減）復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù) 單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)除次除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共枕復(fù)數(shù),際以解題中要注意把i的幕寫成最簡形式考法一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及集合意義【例1-1(2020全國高一課時(shí)練習(xí))計(jì)算：(D (1 + 3/)+ (-2 +/) + (2-3/)；(2) (2-/)-(-l + 5Z) + (3 + 4/);(3) (a + bi) - (3a - 4

3、bi) + 5i(a,b e R).【例1-2（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平行四邊形的頂點(diǎn)。，4。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,3 + 23 -2 + 4/,其中，為虛數(shù)單位.13 / 10求而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).Q）求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù): （3）求。5對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【一隅三反】1. （2020東臺(tái)市創(chuàng)新學(xué)校高二月考）復(fù)數(shù)（3 + 5i） + （3 - 4i）=（）A. 6 iB. 6 + iC. -1+zD. 1 + 6/2. （2020蘇州新草橋中學(xué)高二期中）（5-，）一（37）-5,等于（）.A. 5zB. 2-5/C. 2 + 5zD. 2Z2=3-2/則石一益在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的3. （2020全國高一課

4、時(shí)練習(xí)）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4=1-31,點(diǎn)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4. （2020全國高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)（li） （2 + i） + 3i等于（）A. -1 + /B. 1-/C. iD. -i考法二復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算【例2】（2020濟(jì)南市山東師范大學(xué)附中高一月考）設(shè)馬=3-4i,則Z/Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A.第一象限C.第三象限B.第二象限D(zhuǎn).第四象限（2） （2021貴州貴陽廿）若z（li） = 2,則£=（）A. 1 - ZB. 1 + /C. -1 - zD-1 + /【一隅三反】1-/1. （2020北京海淀區(qū)人大附中高三期中）設(shè)i為虛

5、數(shù)單位，則的虛部為1 + /2. （2020全國）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z = 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）1-/2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3. (2020全國)復(fù)數(shù)”,、=().(l-z)(l + 2z)3 4,A. 1B.JC.15 53 D.-54.（2020全國）計(jì)算：（1）1-' I 1 + J/(l+i)2(1一)2：(6 + i)2考法三復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【例3】（2020遼寧高一期末）若虛數(shù)1 2,是關(guān)于的方程/-辦+ = 0（。"£1）的一個(gè)根，則上/ +阿= （ ）A. 29B. y/29C.后D. 3【一隅三反】1. （2020重慶北培區(qū)）

6、已知復(fù)數(shù)z = li（1為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程/ + 工+ 4 = 0 （p，q為實(shí)數(shù)） 的一個(gè)根，則P+ 4的值為（）A. 4B. 2C. 0D. -22. （2021,上海楊浦區(qū)復(fù)旦附中）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足同=1,且使得關(guān)于的方程乙產(chǎn)+23+ 3 = 0有實(shí)根，則 這樣的復(fù)數(shù)Z的和為.3. （2020全國）關(guān)于大的方程/+（2。，»-3+ 1=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)。的取值范網(wǎng)4. （2020全國高一課時(shí)練習(xí)）己知關(guān)于1的方程x2+kx+k2-2k=0有一個(gè)模為1的虛根，求實(shí)數(shù)k的值.7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)Ni=o+bi z?=c+di (a9 b9 c, d£R),則 加法：

7、Zi+Z2=(o+bi)+(c+M)=(Q+c)+S+£0i減法：N122=（。+ 加）一（c +?。?（。-c）+（。一/）i乘法：NiZ2=(a+Ai)(c+di)=(ac兒f)+(od+Ac)i除法:G o +bi (a + bi)(c - di)ac+bdZ2 c+小(c +di)(c - di)crd1be-ad編(c+附。)加法交換律：zi+z2=a+zi；加法結(jié)合律：（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2 + Z3）乘法交換律：ZVZ1-Z2'Z乘法結(jié)合律：（ZiZ;）Z3=Zj（Z2Z3）乘法分配律2 Z1（Z：+z3）=ZlZ2 + ziZ3的斌注在進(jìn)行復(fù)數(shù)的

8、加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，加律法運(yùn)用法則（實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減）復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù) 單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)除次除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共枕復(fù)數(shù),際以解題中要注意把i的幕寫成最簡形式考法一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及集合意義【例1-1(2020全國高一課時(shí)練習(xí))計(jì)算：(D (1 + 3/)+ (-2 +/) + (2-3/)；(2) (2-/)-(-l + 5Z) + (3 + 4/);(3) (a + bi) - (3a - 4bi) + 5i(a,b e R).【答案】(1) l+» (2) 6-2,(3) -2

9、a + (5b+ 5)i【解析】(1)原式= (-l + 4i) + (2 - 3i) = l + i.(2)原式= (3-6i) + (3 + 4i) = 6-2i.(3)原式=(2a + 5bi) + 5i = 2a + (5Z? + 5)/.【例1-2】(2020全國高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，平行四邊形。四C的頂點(diǎn)。，乂，。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,3 + 2" -2 + 4/,其中?為虛數(shù)單位一求血對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)求CA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)：(3)求瓦對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】(1)一3 2i； (2)5-2/； (3)1 + 6/.【解析】(1)因?yàn)? 礪，所以不。表示的復(fù)數(shù)為一32L(2)因?yàn)?/p>

10、方=次五，所以五表示的復(fù)數(shù)為(3 + 2i) (2 + 4i) = 5 2i.)OB = OA + OC 所以而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3 + 2i) + (-2 + 4i) = l+6i.【一隅三反】1 . (2020東臺(tái)市創(chuàng)新學(xué)校高二月考)復(fù)數(shù)(3 + 5i) + (3 - 4i)=()A. 6 /B. 6 + /C. -1+/D. -1 + 6/【答案】B【解析】因?yàn)?3 + 5i) + (3-4i) = (3 + 3) + (5 - 4)i = 6 + i,故選：B2 .(2020蘇州新草橋中學(xué)高二期中)(5-，)一(3-i)-5i等于().A. 5/【答案】BB. 2-5/C. 2 + 5/D

11、. 2【解析】（5，）一（3 ，）-5，= 5 ，-3 +，-5，= 25».故選：B3. （2020全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4=1-3匕z2=3-2/,則。Z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】C【解析】q-Z2=（l - 3，） （3 2i） = -2 i, 2 i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（一2,-1）,在第三象限.故選：C.4. （2020全國高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)（li） （2 + i） + 3i等于（）A. -1 + /B. 1-/C. iD. -i【答案】A解析（l_i）（2 + i） + 3i = （l_2） + （

12、Ti + 3i） = _l+i 故選：A.考法二復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算【例2】（1） （2020濟(jì)南市山東師范大學(xué)附中高一月考）設(shè)號(hào)=3-3，Z2=2-3f,則以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限（2） （2021貴州貴陽市）若z（li） = 2,則£=（）A. 1-/B. 1 + /C. -1-zD. -1 + /【答案】（1） C （2） A【解析】（1） Zj -z2 =（3-4/）（2-3/） = 6-9/-8z + 12/2 =-6-17z,42在復(fù)平而內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-6,17）,所以4%2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C（2）由 z

13、（l-j） = 2 得故 W=l-i.故選：A.71-1【一隅三反】1-Z1. （2020北京海淀區(qū)人大附中高三期中）設(shè)i為虛數(shù)單位，則 L 的虛部為.1 + /【答案】-1【解析】1 _(1一，)(1-，)_1_2，+ 5 _2j r+7-(l + z)(l-z)- 1-z2故答案為:2 .（2020全國）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z = * + L二對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）1-/2A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】AD.第四象限【解析】Z =(1 + /)21-/ 2i 1-/+=+(1-0(1 + /)22則之在復(fù)平而內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（!，!）,在第一象限, 2 22 23 .（202。全國）復(fù)數(shù)高

14、占).A. -1C.D-1【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,可得1-3/1-3/ (l-3/)(3-f) -10/(1-/)(1 + 2z) 3 + /(3 + 0(3 -/)10=一，.故選：B.4 . （2020全國）計(jì)算:(1) (1 + 2廳+3(1)1 - / + iEb1-后(>/3+i)2 .【答案】（1）1 2.一+ - i 5 5i n(2) -1： (3) 一上一乂44【解析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得。+ 2/）-+3（1 -'）= -3 + 4，+ 3-3/i _ i(2-i) _1 2+7-(2 + /)(2-/)-52.+ -i5（2）根據(jù)復(fù)數(shù)

15、的運(yùn)算法則,可得1-/1 + z 1-Z 1+/ 1 + / -1 +，+1-I (1 + z)2 (1-z)2 2i -2/-22（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,可得"=(.+(-，)=“(6 +,)2 -(73+/)2 -K+L+i)*-i)-1-瘋1G=I .444考法三夏數(shù)范圍內(nèi)解方程【例3】（2020遼寧高一期末）若虛數(shù)1 2,是關(guān)于x的方程犬-辦+ = 0（。"£1）的一個(gè)根，則,+阿=B. V29C.而【答案】B【解析】由題意可得，（1-2/）2-6/（1-2；）+/? = 0,所以一。-3 + （* 4），= 0,故 =2, b = 5,則,+51 =

16、|2 + 5，=后.故選：B.【一隅三反】1. （2020重慶北培區(qū)）已知復(fù)數(shù)z = li （1為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程/ + /八+4=0 （p, q為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，則P+ 4的值為（）A. 4B. 2C. 0D. -2【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z = l-i G為虛數(shù)單位）是關(guān)于X的方程/ + /* +夕=0 （p, q為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，所以了 = 1+i也是方程的一個(gè)根，m=2所以p + q=。，故選：C2. （2021,上海楊浦區(qū)復(fù)旦附中）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足同=1,且使得關(guān)于的方程乙1+2白+ 3 = 0有實(shí)根，則 這樣的復(fù)數(shù)Z的和為.7【答案】一一【解析】設(shè)z = o+切，（。，Z?e

17、R且2+/=1）則原方程2+2謨+ 3 = 0變?yōu)椋╝2+2«1 + 3）+ （加22"）,=。.所以 ax + 2ax + 3 = 0，二且 bx2 - 2bx = 0» 二：（l）若 =0,則/ = 1解得。=±1,當(dāng)"=1時(shí)二無實(shí)數(shù)解，舍去;從而。=1, 丁_2工_3 = 0此時(shí)X = 1或3,故z = l滿足條件: （2）若刈，由二知，x = 0或x = 2,顯然x = 0不滿足，故x = 2,代入口得。=一3，b = 土莊,88綜上滿足條件的所以復(fù)數(shù)的和為-1+ 一?+與7故答案為：一了3 .（2020全國）關(guān)于x的方程/+（2。，»-3+ 1=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)。的取值范網(wǎng)【