合肥工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題冊上冊答案

1、習(xí)題 函數(shù)1設(shè)函數(shù)，求（1），；（2），（）【解】（1）； （2）。2已知，求【解】令，則，故。3證明：在內(nèi)是嚴(yán)格遞增函數(shù)【證】方法1（定義法） 對任意，有，其中用到， 在內(nèi)是嚴(yán)格遞增函數(shù)。 方法2（導(dǎo)數(shù)法） 。4設(shè)在上是奇函數(shù)，證明：若在上遞增，則在上也遞增【證】對任意，有，由在上單調(diào)增加可得：。又在上是奇函數(shù)，即，即，故在上也是單調(diào)增加。習(xí)題 極限1 求下列極限：； 【解】分之分母同除，利用四則運算極限法則和冪極限可得。 ；【解】 ， 。 ；【解】， 。； 【解】， ?！窘狻?。2求常數(shù)和，使得【解】， ，即。 于是，。3若，求，【解】，。 從而，故不存在。習(xí)題 無窮小與無窮大1利用等價無窮

2、小的代換求下列極限：；【解】。；【解】。 【解】。2設(shè) 確定正數(shù)的值，使得存在【解】， ， 當(dāng)，即時，存在。習(xí)題 極限存在準(zhǔn)則1計算下列極限：； 【解】。；【解】。；【解】?！窘狻?。2設(shè)，試證數(shù)列的極限存在，并求此數(shù)列極限【證】（1）證明極限的存在性·單調(diào)性：，。，由數(shù)學(xué)歸納法可知：，即，故為單調(diào)減少數(shù)列。·有界性：只需證明有下界。顯然，?；蛘哂蓴?shù)學(xué)歸納法，有下界。 于是，由單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則知：存在極限。（2）求極限：設(shè)，則由求極限可得，即，解得：。注意到，故。習(xí)題 連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)1求函數(shù)的間斷點，并說明其類型【解】顯然，當(dāng)時，函數(shù)無定義，故均為間斷點。，即為第二類間斷點

3、，且為無窮間斷點。， ，即為第一類間斷點，且為跳躍間斷點。注：*極限四則運算法則，*的連續(xù)性。2設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式，若有間斷點，并說明其類型【解】即 由圖形易知：為第一類間斷點，且為跳躍間斷點。3設(shè) 要使在內(nèi)連續(xù)，確定常數(shù)【解】顯然，函數(shù)在內(nèi)為初等函數(shù)，故連續(xù)。只需討論分界點處函數(shù)的連續(xù)性。，（無窮小與有界函數(shù)積）， 當(dāng)時，在內(nèi)連續(xù)。4討論的連續(xù)性【解】顯然，只需討論分界點處函數(shù)的連續(xù)性。， ，即在內(nèi)連續(xù)。5求下列極限：為常數(shù)）；【解】方法1 由等價無窮小可得：。方法2 由重要極限與連續(xù)性可得：。；【解】由三角函數(shù)公式、重要極限與連續(xù)性可得：。為常數(shù)）【解】顯然，當(dāng)時，。 當(dāng)時，。6設(shè)函數(shù)在

4、上連續(xù)，且，證明在上至少存在一點，使得【解】作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，且，。，當(dāng)時，可取，滿足；當(dāng)時，由零點定理可知：存在，使得，即。綜合可得：存在，使得，即。習(xí)題 導(dǎo)數(shù)的概念1求曲線在點處的切線方程與法線方程【解】，。 從而，所求切線方程為， 法線方程為。2若函數(shù)可導(dǎo)，求 【解】。3討論函數(shù)在點處的連續(xù)性與可導(dǎo)性【解】（1）連續(xù)性：，在點處的連續(xù)性。（2）可導(dǎo)性：，在點處不可導(dǎo)。注：也可從可導(dǎo)性入手。左右可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù)，但未必可導(dǎo)。習(xí)題 求導(dǎo)的運算法則1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；【解】。；【解】。；【解】。；【解】，。； 【解】， 。；【解】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得：。；【解】由四則運算求導(dǎo)法則與復(fù)合

5、函數(shù)求導(dǎo)法則可得： ?！窘狻坑蓮?fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與四則運算求導(dǎo)法則可得：。 注意：也可先分母有理化，再求導(dǎo)。2設(shè)可導(dǎo)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。【解】。3設(shè)滿足，求【解】， 換為可得：。 由解得：。于是，。4已知，求【解】，。習(xí)題 高階導(dǎo)數(shù)1設(shè)，求【解】， 。2設(shè)，其中是二階可導(dǎo)函數(shù)，試求【解】，。3設(shè)，求【解】隱函數(shù)求導(dǎo)法。對求導(dǎo)，視為的函數(shù)：，再對求導(dǎo)，視，均為的函數(shù)：在原方程中代入可得：，由可得：，再由可得：。4求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)： 為常數(shù)）；【解】，。 ；【解】，而， 。 【解】， 。習(xí)題 隱函數(shù)與參變量函數(shù)的求導(dǎo)方法1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ； 【解】對求導(dǎo)，視為的函數(shù)：，解得：。注：*利用原方程可以

6、變形。 【解】取對數(shù)得：，再對求導(dǎo)，視為的函數(shù)：， 解得：。2證明：雙曲線上任一點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積都等于【證】設(shè)切點為，則，。所求切線方程為，即。于是，切線在兩坐標(biāo)軸上得截距分別為：。從而，所求三角形面積為。3設(shè)其中二階可導(dǎo)，求【解】參量函數(shù)求導(dǎo)法。 ， 。4設(shè)求【解】， ，。5求曲線在對應(yīng)于的點處的切線方程【解】當(dāng)時，。，由對求導(dǎo)，視：，解得。于是，故所求切線方程為。習(xí)題 微分中值定理1證明： 【證】設(shè)（），則，從而，。取點可得，故在內(nèi)。2設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)證明：至少存在一點，使得【證】作輔助函數(shù)，則 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),且。 于是，由拉格朗日

7、中值定理可得：至少存在一點，使得，即。3若在上二階可導(dǎo)，且，其中，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得【證】在上二階可導(dǎo)，且， 對分別在上應(yīng)用羅爾定理可得：分別存在，使得有：。再對在上應(yīng)用羅爾定理可得：存在，使得有：。習(xí)題 洛必達(dá)法則1求下列極限：； 【解】。（2）；【解】型不定式。（3） ；【解】型不定式。法1（等價無窮?。┰?。法2（洛必達(dá)法則）原式.（4） ； 【解】型不定式。原式。（5）【解】型不定式。冪指函數(shù)極限。由等價無窮小可得原式（）。2 設(shè)存在且連續(xù)，求?！窘狻坑陕灞剡_(dá)法則可得：原式。習(xí)題 泰勒中值定理1寫出在處帶拉格朗日型余項的二階泰勒展開式【解】， ， 由泰勒公式可得： （介于與

8、1之間），即（介于與1之間）。2寫出的階麥克勞林公式【解】法1（間接法）。法2（直接法）， ，。習(xí)題 函數(shù)的單調(diào)性與極值1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值?！窘狻慷x域：。 ，。2求函數(shù)在上的最大值和最小值【解】注意： ，故只需關(guān)注駐點、導(dǎo)數(shù)不存在點和端點。 駐點，導(dǎo)數(shù)不存在點，端點，其函數(shù)值分別為，故所求最大值與最小值分別為：。3在拋物線上找一點，使過的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小。【解】最值應(yīng)用題。·寫切線方程：，所求切線方程為。·求切線在兩坐標(biāo)軸上的截距：令可得，令可得。·寫出三角形面積（目標(biāo)函數(shù)）：（）。·求最小值：，即，故，顯然，。相應(yīng)的所求點為。4

9、在半徑為的球內(nèi)作一內(nèi)接圓柱體，要使圓柱體體積最大，問其高、底半徑應(yīng)是多少？【解】設(shè)圓柱體底面半徑為、高為，則，圓柱體積為（）。，令，即得。 由實際意義可知：當(dāng)?shù)酌姘霃?、高時，所作圓柱體體積最大。習(xí)題 曲線的凹凸性及拐點1討論曲線的凹凸性及拐點【解】顯然，函數(shù)定義域為，故只需關(guān)注定義域內(nèi)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)為零的點和二階導(dǎo)數(shù)不存在點。， ， 為凸區(qū)間，為凹區(qū)間，為曲線的拐點。2求過上的極大值對應(yīng)的點和拐點的連線的中點，并垂直于的直線方程【解】（1）與極大值對應(yīng)的曲線上的點：，駐點，且，故為的極大值點，對應(yīng)的曲線上點為。（2）拐點：由知：曲線拐點為。（3）中點：由中點公式可得與的中點為：。（4）直線：過且

10、垂至于（軸）的直線方程為。習(xí)題 曲線整體形狀的研究1求曲線的水平與鉛直漸近線【解】，為曲線的水平漸近線。 ，為曲線的垂直漸近線。2描繪函數(shù)的圖形【解】函數(shù)定義域為。顯然，為曲線的垂直漸近線。，為曲線的水平漸近線。 單調(diào)性與極值： ，。凹凸性與拐點：， ，拐點。習(xí)題 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用1證明：當(dāng)時，有【證】單調(diào)性法。設(shè)，則 （） ，從而，（），即得證。2設(shè)，證明：【證】中值定理法。設(shè)，則由拉格朗日中值公式可得：（），即 （）。 于是，。3證明：當(dāng)時，（正整數(shù)）【證】最值法。設(shè)，則由知：在上得最大值為，即對任意，均有，即。習(xí)題 定積分的概念與性質(zhì)1利用定積分的幾何意義計算下列定積分：；【解】

11、（1）。 （2）。2比較下列積分的大?。号c；（2）與【解】（1），。 從而，于是，。（2）對在上應(yīng)用格朗日中值定理可得：（） 。3設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，求【解】設(shè)，則。在上再積分可得：，解得，故。 注意：定積分是數(shù)，不定積分是函數(shù)族！習(xí)題 微積分學(xué)基本公式1求函數(shù)的極值【解】顯然，在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)。因此，極值只能在駐點處取得。，唯一駐點為，且。于是，。2.求下列極限：；【解】（1）。 （2）。3設(shè)求函數(shù)在上的表達(dá)式，并討論在內(nèi)的連續(xù)性【解】 ， 。4計算下列定積分：；【解】 ?；蛘?。 ； 【解】 。【解】由可加性可得：。（4）設(shè)，計算【解】湊微分法。習(xí)題 不定積分的概念與性質(zhì)求下列不定積分：【

12、解】?！窘狻?， 。于是，?！窘狻??！窘狻糠?， 。 于是，。法2，。習(xí)題 換元積分法1 求下列不定積分：；【解】湊微分法。 。；【解】配方法湊微分法。； 【解】湊微分法。； 【解】湊微分法。 。；【解】湊微分法。；【解】湊微分法。；【解】湊微分法。；【解】湊微分法。；【解】第二類換元法。作，則，故。； 【解】三角代換：（），則，故。； 【解】第二類換元法。作，則，故 ?！窘狻康诙悡Q元法。作，則，故。(13)?！窘狻颗浞椒愇⒎址?。2.求，其中【解】先換元再分段積分：。3證明：【證】，且對第二個積分作變換，則。4計算下列定積分：；【解】作，則當(dāng)時，故。； 【解】作，則，故。習(xí)題 分部積分法1

13、求下列不定積分：； 【解】。（其中二階可導(dǎo)）； 【解】。； 【解】 。； 【解】?！窘狻?。2計算下列定積分：；【解】湊微分法分部積分法。；【解】分部積分法。 ?！窘狻繙愇⒎址ǚ植糠e分法。3設(shè)是的一個原函數(shù)，計算【解】是的一個原函數(shù)，從而，。4.若為連續(xù)的偶函數(shù)，證明為奇函數(shù)【證】設(shè)，則（），即為奇函數(shù)。習(xí)題 有理函數(shù)的積分及應(yīng)用求下列不定積分：【解】湊微分法。【解】 。【解】法1 三角公式變形 ，于是， 。法2 萬能代換作，則，故。【解】。習(xí)題 廣義積分計算下列廣義積分： 【解】。 【解】。 【解】【解】。習(xí)題 定積分的應(yīng)用1假設(shè)曲線，軸，軸所圍區(qū)域被曲線分成面積相等的兩部分，求的值【解】平面圖形面積。由可解得兩拋物線交點橫坐標(biāo)為，而曲線，軸，軸所圍區(qū)域得面積為，故只需確定，使得即可。， 。2求雙紐線圍成平面圖形的面積【解】平面圖形面積。由極坐標(biāo)系平面圖形面積公式可得第一象限內(nèi)區(qū)域的面積為： ，故由圖形的對稱性可知：所求面積為。3求圓圍成的區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積【解】體積。元素法：由對稱性可得： 。3 圓柱形水桶高米，底面半徑為米，桶內(nèi)盛滿了水，問要把桶內(nèi)的水全部抽完需做多少功？（取重力加速度）【解】功。元素法：建立坐標(biāo)系如圖，任意取微區(qū)間，相應(yīng)的“薄片”的體積質(zhì)量重力微功，故所求功為：（J）。5求心形線的周