電路理論第13章 非正弦周期電流電路和信號頻譜

1、第第1313章章 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路和信號的頻譜和信號的頻譜2. 2. 非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率l 重點重點3. 3. 非正弦周期電流電路的計算：非正弦周期電流電路的計算：如兩個或多個不如兩個或多個不同頻率電源作用下，總電流（電壓）的瞬時值、同頻率電源作用下，總電流（電壓）的瞬時值、平均值、有功、無功、視在功率和功率因數(shù)計算。平均值、有功、無功、視在功率和功率因數(shù)計算。1. 1. 非正弦周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)13.1 13.1 非正弦周期信號非正弦周期信號 生產(chǎn)實際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會遇到非正弦周生

2、產(chǎn)實際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會遇到非正弦周期電流電路。在電子技術(shù)、自動控制、計算機和無線電技期電流電路。在電子技術(shù)、自動控制、計算機和無線電技術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。l 非正弦周期交流信號的特點非正弦周期交流信號的特點(1) (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) (2) 按周期規(guī)律變化按周期規(guī)律變化例例1 1半波整流電路的輸出信號半波整流電路的輸出信號)()(kTtftf 例例2 2示波器內(nèi)的水平掃描電壓示波器內(nèi)的水平掃描電壓周期性鋸齒波周期性鋸齒波計算機內(nèi)的脈沖信號計算機內(nèi)的脈沖信號 Tt例例3 3基波（和原基波（和原

3、函數(shù)同頻）函數(shù)同頻）二次諧波二次諧波（2 2倍頻）倍頻） 直流分量直流分量高次諧波高次諧波)cos()(110 kkkmtkAAtf 13.2 13.2 非正弦周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù) )cos()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm)cos(1nnmtnA非正弦周期函數(shù)展開成非正弦周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)：付里葉級數(shù)：sincos)(1110tkbtkaatfkkk tkbtkatkAkkkkm 111sincos )cos( 也可表示成：也可表示成：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaA arctansin cos2200 系數(shù)之

4、間系數(shù)之間的關(guān)系為的關(guān)系為 20112011000)(sin)(1)(cos)(1)(1ttdktfbttdktfatdtfTaAkkT求出求出A0、ak、bk便可得到原函數(shù)便可得到原函數(shù)f(t)的展開式。的展開式。系數(shù)的計算：系數(shù)的計算：利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化（1）偶函數(shù)）偶函數(shù) T/2t T/2f(t)0 )()( kbtftf T/2t T/2f(t)0 )()( katftf（2）奇函數(shù)）奇函數(shù)（3）奇諧波函數(shù)）奇諧波函數(shù)0 )2()(22 kkbaTtftftf (t)tT/2TSimI周期性方波信號的分解周期性方波信號的分解例例1解解圖

5、示矩形波電流在一個周期內(nèi)圖示矩形波電流在一個周期內(nèi)的表達式為：的表達式為： TtTTtItiS2 020 )(m21)(102/0mTTmSOIdtITdttiTI 直流分量：直流分量：諧波分量：諧波分量： 20) (sin)(1tdtktibSKK為偶數(shù)為偶數(shù)K為奇數(shù)為奇數(shù) kItkkImm20)cos1(00sin1)(cos)(1020tkkItdtktiamSksi的展開式為：的展開式為：)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS ttt基波基波直流分量直流分量三次諧波三次諧波五次諧波五次諧波七次諧波七次諧波周期性方波波形分解周期性方波波形分解基波基波直流分量直流分量直

6、流分量直流分量+基波基波三次諧波三次諧波直流分量直流分量+基波基波+三次諧波三次諧波)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS tT/2TSimIIS01si3si5siIS01si3si5si等效電源等效電源 20200)(cos 0)(sinttdkttdk13.3 13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1.1. 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì) （1）正弦、余弦信號一個周期內(nèi)的積分為）正弦、余弦信號一個周期內(nèi)的積分為0。k整數(shù)整數(shù) （2）sin2、cos2 在一個周期內(nèi)的積分為在一個周期內(nèi)的積分為 。 )(cos )(sin202202ttdkttdk（3

7、 3） 三角函數(shù)的正交性三角函數(shù)的正交性 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos202020 tdtptkttdptkttdptk pk 2. 非正弦周期函數(shù)的有效值非正弦周期函數(shù)的有效值)sin()(10kkktkIIti 若若則有效值則有效值: )(sin1)(1201002tdtkIITtdtiTITkkkT 將上式展開，利用三角函數(shù)的正交性可得電流有效值將上式展開，利用三角函數(shù)的正交性可得電流有效值的計算公式，詳細推導見教材的計算公式，詳細推導見教材P326 1220kkIII非正弦周期函數(shù)的有效值為直流分量及非正弦周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和

8、的方根。各次諧波分量有效值平方和的方根。 222120 IIII結(jié)論結(jié)論同理：同理： 222120 UUUU 1220kkUUU3. 非正弦周期函數(shù)的平均值非正弦周期函數(shù)的平均值TavdttiTI0)(1則其平均值定義為：則其平均值定義為：)cos()(10kkktkIIti 若若TavdttuTU0)(1同理：同理：4. 非正弦周期交流電路的平均功率非正弦周期交流電路的平均功率 TdtiuTP01)cos()(10ukkktkUUtu )cos()(10ikkktkIIti 利用三角函數(shù)的正交性，得：利用三角函數(shù)的正交性，得：.)( cos210100 PPPIUIUPikukkkkkk 平

9、均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率 kkkIUIUIUIUPcoscoscos22211100其中，其中，Uk、Ik為有效值！（教材為有效值?。ń滩腜328 例例13-2）SPUIPIIUUUISIUQIUIUPUUUUUUIIIIIIkkkkkkkkkkkkkkkkkkcossincos.122012201100221201220221201220例：已知某電路的電壓、例：已知某電路的電壓、 電流分別為電流分別為VtttiVtttu)500cos(2)30100cos(63)()30300cos(8)30100cos(2010)(求該電路的平均功率

10、、求該電路的平均功率、 無功功率、視在功率和功率因數(shù)。無功功率、視在功率和功率因數(shù)。 解解 平均功率為平均功率為WP60)60cos(26220310無功功率為無功功率為 視在功率為視在功率為 VAUIS1 .9822)26(328)220(10222222var52)60sin(26220Q功率因數(shù)為功率因數(shù)為 61. 01 .9860cosUIP 13.4 13.4 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路的計算的計算1. 計算步驟計算步驟（2 2） 利用正弦交流電路的計算方法，對各諧波信號利用正弦交流電路的計算方法，對各諧波信號 分別應(yīng)用相量法計算；分別應(yīng)用相量法計算； （注意注意: :交流

11、各諧波的交流各諧波的 XL、XC不同，對直流不同，對直流C 相當于相當于 開路、開路、L相于短路。相于短路。）（1 1） 利用付里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開利用付里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開 成若干種頻率的諧波信號成若干種頻率的諧波信號( (正弦信號正弦信號) )；（3 3） 將以上計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時值迭加。將以上計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時值迭加。2. 計算舉例計算舉例例例1 1方波信號激勵的電路。求方波信號激勵的電路。求u, 已知：已知：STICLRm 28. 6 A157pF1000 mH1 20 、tT/2TSimIRLCuSi解解（1）已知方波信號的展開式為：）已知方波信號的展開式為：)5

12、sin51 3sin31(sin22tttIIimmSsTAIm28.6,157 代入已知數(shù)據(jù)：代入已知數(shù)據(jù)：直流分量直流分量A5.78215720IImA 10014.357.1221mmII基波最大值基波最大值A(chǔ)205115mmII五次諧波最大值五次諧波最大值rad/s101028.614.32266T角頻率角頻率三次諧波最大值三次諧波最大值A(chǔ)IImm3.333113A5 .780 SI 電流源電流源各頻率的諧波分量為：各頻率的諧波分量為：A10sin10061 tis A103sin310063 tis A105sin510065 tis mV57.1105.7820600 SRIU （

13、2 2） 對對各種頻率的諧波分量單獨計算：各種頻率的諧波分量單獨計算：（a) a) 直流分量直流分量 IS0 作用作用RIS0u0電容斷路，電感短路電容斷路，電感短路: :A5 .780SI（b)b)基波作用基波作用tis6110sin100 k11010k110100010113611261LC RLCuSi k50)()()()(1RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL XLRK50)(1ZmV2500050210100(6111 ） ZIUA10sin10061tis(c)(c)三次諧波作用三次諧波作用tis63103sin3100 03333119.895 .374)()()3(CLCLXXjRjXjXRZ k31010333.0101000103113631263 LKC 0613319.895 .3742103 .33)3( ZIUSmV2.89247.120 (d)(d)五次諧波作用五次諧波作用A105sin510065 tis 53.893 .208)5()()5(55551CLCLXXjRjXjXRZ k510105)K(2 .0101000105113651265 LC mV53.892166.453