231離散型隨機(jī)變量的均值

1、2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值 1.1.離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X X的分布列的概念是什么？的分布列的概念是什么？ 若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X X的所有可能取值為的所有可能取值為x x1 1，x x2 2，x xi i， x xn n，X X取每一個(gè)值取每一個(gè)值x xi i( (i i1 1，2 2，n n) )的概率的概率P(XP(Xx xi i) )p pi i，則下列表格，則下列表格稱(chēng)為稱(chēng)為X X的分布列的分布列. .p pn np pi ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1X X2.2.兩點(diǎn)分

2、布與二項(xiàng)分布各有什么特點(diǎn)？?jī)牲c(diǎn)分布與二項(xiàng)分布各有什么特點(diǎn)？?jī)牲c(diǎn)分布：隨機(jī)變量?jī)牲c(diǎn)分布：隨機(jī)變量X X只有只有0 0和和1 1兩個(gè)取值，其兩個(gè)取值，其分布列為：分布列為：1()(1)kkP Xkpp，k k0 0，1. 1. 二項(xiàng)分布：二項(xiàng)分布：每次試驗(yàn)的結(jié)果只有每次試驗(yàn)的結(jié)果只有A A發(fā)生和發(fā)生和A A不發(fā)生不發(fā)生兩種可能，其分布列為：兩種可能，其分布列為： ，k k0 0，1 1，2 2，n.n.()(1)kknknP XkC pp 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.但在實(shí)際問(wèn)題但在實(shí)

3、際問(wèn)題中，有時(shí)我們需要知道隨機(jī)變量的平均取值中，有時(shí)我們需要知道隨機(jī)變量的平均取值.因此，因此，如何根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量如何根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值，就成為一個(gè)研究課題的均值，就成為一個(gè)研究課題.1.1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義，會(huì)根據(jù)離散型理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值隨機(jī)變量的分布列求出均值. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2.2.掌握離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)掌握離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值分布、二項(xiàng)分布的均值. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）3.3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值反映離散型隨

4、機(jī)變量會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值反映離散型隨機(jī)變量的取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 離散型隨機(jī)變量的均值的概念離散型隨機(jī)變量的均值的概念問(wèn)題一：?jiǎn)栴}一：某商場(chǎng)將單價(jià)分別為某商場(chǎng)將單價(jià)分別為1818元元/kg/kg，2424元元/kg/kg，3636元元/kg/kg的三種糖果按的三種糖果按3 32 21 1的比例混合銷(xiāo)售，則的比例混合銷(xiāo)售，則在在1kg1kg混合糖果中，這三種糖果的質(zhì)量分別為多少？混合糖果中，這三種糖果的質(zhì)量分別為多少？ 111kg, kg, kg236問(wèn)題二：?jiǎn)栴}二：以三種糖果的平均單價(jià)作為混合糖果的單以三種

5、糖果的平均單價(jià)作為混合糖果的單價(jià)是否合理？如何確定混合糖果的合理定價(jià)？?jī)r(jià)是否合理？如何確定混合糖果的合理定價(jià)？合理定價(jià)為：合理定價(jià)為： 11118243623/ kg .236 （元）不合理：不合理： 問(wèn)題三：?jiǎn)栴}三：如果混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，如果混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，從中任取一顆糖果對(duì)應(yīng)的單價(jià)為從中任取一顆糖果對(duì)應(yīng)的單價(jià)為X X，則隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量X X的分的分布列是什么？混合糖果的合理定價(jià)與這個(gè)分布列有什布列是什么？混合糖果的合理定價(jià)與這個(gè)分布列有什么關(guān)系？么關(guān)系？P P363624241818X X121316 合理定價(jià)隨機(jī)變量的每個(gè)取值與其對(duì)應(yīng)的概合理定價(jià)隨

6、機(jī)變量的每個(gè)取值與其對(duì)應(yīng)的概率的乘積之和率的乘積之和. .問(wèn)題四：?jiǎn)栴}四：若某射手射擊所得的環(huán)數(shù)若某射手射擊所得的環(huán)數(shù)X X的分布列為的分布列為如何估計(jì)該射手在如何估計(jì)該射手在n n次射擊中每次射擊的平均環(huán)數(shù)？次射擊中每次射擊的平均環(huán)數(shù)？0.220.220.290.290.280.280.110.110.10.1P P10109 98 87 76 6X X1(0. 160. 1170. 2880. 2990. 2210)8. 42.Xnnnnnn利用分布列計(jì)算射手每次射擊的平均環(huán)數(shù)的一般規(guī)律利用分布列計(jì)算射手每次射擊的平均環(huán)數(shù)的一般規(guī)律是什么？是什么？ 平均環(huán)數(shù)隨機(jī)變量的每個(gè)取值與其對(duì)應(yīng)的概平

7、均環(huán)數(shù)隨機(jī)變量的每個(gè)取值與其對(duì)應(yīng)的概率的乘積之和率的乘積之和. . 一般地，若離散型隨機(jī)變量一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為的分布列為則稱(chēng)則稱(chēng)E(X)E(X)x x1 1p p1 1x x2 2p p2 2x xi ip pi ix xn np pn n為隨機(jī)變?yōu)殡S機(jī)變量量X X的的均值均值或或數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望. .它它反映了離散型隨機(jī)變量取值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平的平均水平. p pn np pi ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1X X問(wèn)題一：?jiǎn)栴}一：若若Y Ya aX Xb b，其中，其中a a，b b為常數(shù)，則為常數(shù)，則Y

8、Y也是隨也是隨機(jī)變量，那么機(jī)變量，那么P(YP(Yaxaxi ib b) )與與P(XP(Xx xi i) )（i i1 1，2 2，n n）有什么關(guān)系？）有什么關(guān)系？ P(YP(Yaxaxi ib b) )P(XP(Xx xi i).).探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 均值的性質(zhì)及特殊分布列的均值均值的性質(zhì)及特殊分布列的均值問(wèn)題二：?jiǎn)栴}二：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X的分布列為的分布列為P(XP(Xx xi i) )p pi i，i i1 1，2 2，n n，則隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量Y YaXaXb b的分布列的分布列是什么？是什么？ P(YP(Yaxaxi ib b) )p pi i，i i1 1，2 2

9、，n n. .問(wèn)題三：?jiǎn)栴}三：若若Y Ya aX Xb b，則，則E E（Y Y）與）與E E（X X）的關(guān)系如何？）的關(guān)系如何？由此可得由此可得E(E(a aX Xb b) )等于什么？等于什么？ E E（Y Y）a aE E（X X）b b， E(E(a aX Xb b) )a aE E（X X）b b. .問(wèn)題四：?jiǎn)栴}四：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布 , ,k k0 0，1 1，則，則E E（X X）等于什么？）等于什么？ k1-kk1-kP(X = k)= p (1- p)P(X = k)= p (1- p) E E（X X）p.p. 問(wèn)題五：?jiǎn)栴}五：若若X XB

10、(B(n n，p p) )，則，則E E（X X）等于什么？）等于什么？E E（X X）np.np. (1)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值，隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值，隨樣本的不同而變化隨樣本的不同而變化 (2) (2)對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來(lái)越接近于總體均值樣本平均值越來(lái)越接近于總體均值隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值有何聯(lián)系與區(qū)別？隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值有何聯(lián)系與區(qū)別？【想一想想一想】例例1 1 在籃球比賽中，罰球命中在籃球比賽中，罰球命中1 1次得次得1 1分，不分，不中得中得0 0分如果某運(yùn)動(dòng)員罰

11、球命中的概率為分如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.70.7，那么他罰球那么他罰球1 1次的得分次的得分X X的均值是多少？的均值是多少？解：解：因?yàn)橐驗(yàn)镻(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以所以. 7 . 03 . 007 . 01)0(0) 1(1)(XPXPXE 例例2 2 一次單元測(cè)驗(yàn)由一次單元測(cè)驗(yàn)由2020個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有選擇題有4 4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確. .每題選每題選對(duì)得對(duì)得5 5分，不選或選錯(cuò)不得分，滿(mǎn)分分，不選或選錯(cuò)不得分，滿(mǎn)分100100分分. .學(xué)生甲學(xué)生甲

12、選對(duì)任意一題的概率為選對(duì)任意一題的概率為0.90.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè). .分別求學(xué)生甲分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值. .解：解：設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次單元測(cè)驗(yàn)中選對(duì)的題數(shù)設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次單元測(cè)驗(yàn)中選對(duì)的題數(shù)分別是分別是X X1 1和和X X2 2，則，則X X1 1B(20,0.9),XB(20,0.9),X2 2B(20,0.25).B(20,0.25).所以所以E(XE(X1 1)=20)=200.9=180.9=18，E(XE(X2 2)=20)=200.

13、25=5.0.25=5. 由于每題選對(duì)得由于每題選對(duì)得5 5分，所以學(xué)生甲和學(xué)生乙分，所以學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X5X1 1和和5X5X2 2. .這樣，他們這樣，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值分別是在測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值分別是E(5XE(5X1 1)=5E(X)=5E(X1 1)=5)=518=9018=90，E(5XE(5X2 2)=5E(X)=5E(X2 2)=5)=55=25.5=25. 例例3 3 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為為0.250.25，有大洪水的概率為，有大洪水的概率為0.01.0.01.該地區(qū)

14、某工地上有一該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60 00060 000元，遇到小元，遇到小洪水時(shí)要損失洪水時(shí)要損失10 00010 000元元. .為保護(hù)設(shè)備，有以下為保護(hù)設(shè)備，有以下3 3種方案：種方案：方案方案1 1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3 8003 800元元. .方案方案2 2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2 0002 000元，但圍墻只能元，但圍墻只能 防小洪水防小洪水. .方案方案3 3：不采取措施：不采取措施. .試比較哪一種方案好試比較哪一種方案好. .解：解：用用X X1 1，X X2 2，X X3

15、3分別表示方案分別表示方案1,2,31,2,3的損失的損失. . 采用第采用第1 1種方案，無(wú)論有無(wú)洪水，都損失種方案，無(wú)論有無(wú)洪水，都損失3 8003 800元，即元，即X X1 1=3 800.=3 800. 采用第采用第2 2種方案，遇到大洪水時(shí)，損失種方案，遇到大洪水時(shí)，損失2 000+60 000=62 0002 000+60 000=62 000元；沒(méi)有大洪水時(shí)，損失元；沒(méi)有大洪水時(shí)，損失2 0002 000元，即元，即無(wú)無(wú)2 262 000, 有62 000, 有大大洪洪水水；X =X =2 000, 大2 000, 大洪洪水水. . 同樣，采用第同樣，采用第3 3種方案，有種方

16、案，有3 360 000, 有60 000, 有大大洪洪水水；X =X = 10 000，10 000， 有 有小小洪洪水水；0, 洪0, 洪水水. .無(wú)無(wú)于是，于是，E(XE(X1 1)=3 800,)=3 800,222E(X )62 000 P(X62 000)2 000 P(X2 000)62 000 0.012 000 (1 0.01)2 600, 3333E(X )60 000 P(X60 000) 10 000 P(X10 000)0 P(X0)60 000 0.01 10 000 0.253 100. 采取方案采取方案2 2的平均損失最小，因此可以選擇方案的平均損失最小，因此可

17、以選擇方案2.2.1 1若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X的分布列如下表所示，已知的分布列如下表所示，已知E E( (X X) )1.61.6，則，則a ab b( () )A.0.2A.0.2B B0.10.1C.C.0.20.2D D0.4 0.4 X0123P0.1ab0.1CD3 3已知已知的分布列為的分布列為 -1 0 1 2 P 14 38 14 18 14 4.4.如圖所示，如圖所示，A A，B B兩點(diǎn)之間有兩點(diǎn)之間有6 6條并聯(lián)網(wǎng)線(xiàn)，它們條并聯(lián)網(wǎng)線(xiàn)，它們能通過(guò)的最大信息量分別為能通過(guò)的最大信息量分別為1,1,2,2,3,41,1,2,2,3,4，現(xiàn)從，現(xiàn)從中取三條網(wǎng)線(xiàn)中取三條網(wǎng)線(xiàn)(1)

18、(1)設(shè)從設(shè)從A A到到B B可通過(guò)的信息總量為可通過(guò)的信息總量為X X，當(dāng)，當(dāng)X X66時(shí)，可時(shí)，可保證使網(wǎng)線(xiàn)通過(guò)最大信息量信息暢通，求線(xiàn)路信保證使網(wǎng)線(xiàn)通過(guò)最大信息量信息暢通，求線(xiàn)路信息暢通的概率；息暢通的概率；(2)(2)求通過(guò)的信息總量的數(shù)學(xué)期望求通過(guò)的信息總量的數(shù)學(xué)期望1122361 C C1P(X6);C4+=112236C C11P(X7);C4+=362 13P(X8);C20+= 1. 1.離散型隨機(jī)變量的分布列只反映隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布列只反映隨機(jī)變量在各取值點(diǎn)的概率，離散型隨機(jī)變量的均值反在各取值點(diǎn)的概率，離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平映了隨機(jī)變量取值的平均水平. . 2. 2.離散型隨機(jī)變量的均值由隨機(jī)變量的分離散型隨機(jī)變量的均值由隨機(jī)變量的分布列所惟一確定，且隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變布列所惟一確定，且隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量有相同的單位量有相同的單位. . 3. 3.離散型隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本數(shù)據(jù)的平離散型隨機(jī)變量