九年級(jí)數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)祥解及習(xí)題檢測(cè)一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線； 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于

2、這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無(wú)交點(diǎn)；2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無(wú)交點(diǎn) ；外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ；相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)含（圖5） 無(wú)交點(diǎn) ；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧； （3）平分弦

3、所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等

4、弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在中，、都是所對(duì)的圓周角 推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 即：在中， 四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：

5、過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過(guò)半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。 推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn)， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩

6、條線段的比例中項(xiàng)。即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點(diǎn) 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：（1）公切線長(zhǎng)：中，；（2）外公切線長(zhǎng)：是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（

7、2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長(zhǎng) ：扇形面積2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開(kāi)圖 =（2）圓柱的體積：（2）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖（1）=（2）圓錐的體積：【考點(diǎn)例題分析】知識(shí)點(diǎn)一、圓的定義及有關(guān)概念例 P為O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，O半徑為5cm，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)；最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為_(kāi)知識(shí)點(diǎn)二、平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系例 如圖，在中，直角邊，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)在圓A的_，點(diǎn)在圓A的_練

8、: 爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點(diǎn)導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點(diǎn)120m以外的安全區(qū)域。這個(gè)導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為18cm，那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？ 分析：爆破時(shí)的安全區(qū)域是以爆破點(diǎn)為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示：知識(shí)點(diǎn)三、圓的基本性質(zhì)例1:如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ 例2如圖，在O中，AB、CD是兩條弦，OEAB，OFCD，垂足分別為EF （1）如果AOB=COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）如果OE=OF，那么AB與CD的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？

9、為什么？AOB與COD呢？ 知識(shí)點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系例1:如圖，點(diǎn)O是ABC的內(nèi)切圓的圓心，若BAC=80°，則BOC=（ ）A130° B100° C50° D65°例2: 如圖，RtABC，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為（ ）A5 cm B2.5cm C3cm D4cm練習(xí):1 2.CAD所夾圓內(nèi)部分的面積。解：符合題設(shè)條件的圖形有兩種情況：知識(shí)點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離例1如圖，AB為O的直徑，C是O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且DCB=A（1）CD與O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你

10、加以證明，如果不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若CD與O相切，且D=30°，BD=10，求O的半徑 例2.如圖，AB是O的直徑，AC是弦，BAC的平分線AD交O于點(diǎn)D，DEAC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F求證：DE是O的切線；EDCBAO例3：如圖，ABC的內(nèi)切圓O與BC、AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AE、BD、CF的長(zhǎng)。例4:如圖所示，EB、EC是O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是O上兩點(diǎn)， 如果E=46°，DCF=32°，求A的度數(shù)_A_y_x_O知識(shí)點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系例:如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為（

11、0，3），OA半徑為1，點(diǎn)B在x軸上（1） 若點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），B半徑為3，試判斷A與B位置關(guān)系；（2）若B過(guò)M（2，0）且與A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)七、正多邊形和圓例:在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖2494的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6（1）求ABC的邊AB上的高h(yuǎn)（2）設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)185的M處有一棵大樹(shù)，問(wèn)：這棵大樹(shù)是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了

12、保護(hù)大樹(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開(kāi)大樹(shù)知識(shí)點(diǎn)八、弧長(zhǎng)和扇形、圓錐側(cè)面積面積例1已知扇形的圓心角為120°，面積為300cm2 （1）求扇形的弧長(zhǎng)； （2）若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少？典題分析1.如圖，從點(diǎn)P向O引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，AC為弦，BC為O的直徑，若P=60°，PB=2cm，求AC的長(zhǎng)2.如圖，已知扇形AOB的半徑為12，OAOB，C為OB上一點(diǎn)，以O(shè)A為直線的半圓O與以BC為直徑的半圓O相切于點(diǎn)D求圖中陰影部分面積3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C與y軸相切，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

13、0），直線過(guò)點(diǎn)A（1，0），與C相切于點(diǎn)D，求直線的解析式。3題4.如圖.某貨船以20海里時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B 處，經(jīng)16的航行達(dá)到，達(dá)到后必須立即卸貨。此時(shí)接到氣象部門(mén)的通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里時(shí)的速度由A向北偏西的方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均回受到影響。問(wèn)： (1）.B處是否回受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由： (2).為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物？ (供選用數(shù)據(jù)：)5.如圖，已知一底面半徑為，母線長(zhǎng)為的圓錐，在地面圓周上有一螞蟻位于A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出

14、最短路徑的長(zhǎng). 5題圖檢測(cè)一一、選擇題1在ABC中，C=90°，AB3cm，BC2cm,以點(diǎn)A為圓心，以2.5cm為半徑作圓，則點(diǎn)C和A的位置關(guān)系是（ ）。AC在A 上 C在A 外 CC在A 內(nèi) C在A 位置不能確定。2一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm,則圓的半徑為（ ）。A16cm或6cm 3cm或8cm C3cm 8cm3AB是O的弦，AOB80°則弦AB所對(duì)的圓周角是（ ）。 A40° 140°或40° C20° 20°或160°4O是ABC的內(nèi)心，BOC為130°，則A的度數(shù)為（

15、）。 A130° 60° C70° 80°5如圖1，O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F，已知A = 100°，C = 30°，則DFE的度數(shù)是（ ）。 A55° 60° C65° 70°6如圖2，邊長(zhǎng)為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一棵樹(shù)，且AB=BC=CD=3米現(xiàn)用長(zhǎng)4米的繩子將一頭羊拴在其中的一棵樹(shù)上為了使羊在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在（ ）。A A處 B B處 CC處 DD 處圖1 圖27已知兩圓的半徑分別是2和4，圓心距是3，那么這兩圓的位置

16、是（ ）。 A內(nèi)含 內(nèi)切 C相交 外切8已知半徑為R和r的兩個(gè)圓相外切。則它的外公切線長(zhǎng)為（ ）。ARr C 29已知圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側(cè)面積為（ ）。10 B12 15 2010如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍用兩個(gè)正方形和n個(gè)正三角形恰好可以進(jìn)行平面鑲嵌，則n的值是（ ）。A3 B4 C5 D6 11下列語(yǔ)句中不正確的有（ ）。相等的圓心角所對(duì)的弧相等 平分弦的直徑垂直于弦 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸 長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧A3個(gè) 2個(gè) C1個(gè) 4個(gè)12先作半徑為的第一個(gè)圓的外切正六邊形，接著作上述外切正六邊形的外接圓，再作上述外接圓的外切正六邊形，則按以上規(guī)律作出的第

17、8個(gè)外切正六邊形的邊長(zhǎng)為（ ）。A C 13如圖3，ABC中，C=90°，BC=4，AC=3，O內(nèi)切于ABC ，則陰影部分面積為( )A12- 12-2 C14-4 6-14如圖4，在ABC 中，BC 4，以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交 AC于F，點(diǎn)P是A上的一點(diǎn)，且EPF40°，則圖中陰影部分的面積是（ ）。A4 B4 C8 D815如圖5，圓內(nèi)接四邊形ABCD的BA、CD的延長(zhǎng)線交于P，AC、BD交于E，則圖中相似三角形有（ ）。 A2對(duì) 3對(duì) C4對(duì) 5對(duì) 圖3 圖4 圖5二、填空題1兩圓相切，圓心距為9 cm，已知其中一圓半徑為5 cm，

18、另一圓半徑為_(kāi).2兩個(gè)同心圓，小圓的切線被大圓截得的部分為6，則兩圓圍成的環(huán)形面積為_(kāi)。3邊長(zhǎng)為6的正三角形的外接圓和內(nèi)切圓的周長(zhǎng)分別為_(kāi)。4同圓的外切正六邊形與內(nèi)接正六邊形的面積之比為_(kāi)。5矩形ABCD中，對(duì)角線AC4，ACB30°，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱的表面積是_。6.扇形的圓心角度數(shù)60°，面積6，則扇形的周長(zhǎng)為_(kāi)。7圓的半徑為4cm，弓形弧的度數(shù)為60°，則弓形的面積為_(kāi)。8在半徑為5cm的圓內(nèi)有兩條平行弦，一條弦長(zhǎng)為6cm，另一條弦長(zhǎng)為8cm，則兩條平行弦之間的距離為_(kāi)。9如圖6，ABC內(nèi)接于O，AB=AC，BOC=100°，MN是過(guò)

19、B點(diǎn)而垂直于OB的直線，則ABM=_，CBN=_；10如圖7，在矩形ABCD中，已知AB=8 cm，將矩形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)ABCD的位置，則在轉(zhuǎn)過(guò)程 中，邊CD掃過(guò)的(陰影部分)面積S=_。 圖6 圖7三、解答下列各題1如圖，O1的圓心在O的圓周上，O和O1交于A，B，AC切O于A，連結(jié)CB，BD是O的直徑，D40°求：A O1B、ACB和CAD的度數(shù)。2 如圖，已知扇形OACB中，AOB120°，弧AB長(zhǎng)為L(zhǎng)4，O和弧AB、OA、OB分別相切于點(diǎn)C、D、E，求O的周長(zhǎng)。3如圖，半徑為2的正三角形ABC的中心為O，過(guò)O與兩個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)弧，求這三條弧所圍成的陰影部

20、分的面積。4如圖，ABC的CRt，BC4，AC3，兩個(gè)外切的等圓O1，O2各與AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求兩圓的半徑。5如圖，AB為O直徑，BC切O于B，CO交O交于D，AD的延長(zhǎng)線交BC于E，若C = 25°，求A的度數(shù)6如圖，AB是OD的弦，半徑OC、OD分別交AB于點(diǎn)E、F，且AEBF，請(qǐng)你找出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明7如圖，P為正比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P的半徑為3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，） （1）求P與直線相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； 檢測(cè)二一 選擇題1、如圖，中，弦的長(zhǎng)為cm，圓心到的距離為4cm，則的半徑長(zhǎng)為（ C ）A3cmB4cmC5cmD6cm2、如圖

21、，點(diǎn)都在上，若，則的度數(shù)為（ ）A B C D3、已知：如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則BPC的度數(shù)是（ ）A45° B60° C75° D90°4、圓的半徑為，兩弦，則兩弦的距離是（） 或(第3題圖)第6題OCBA第1題圖第2題圖5、O的半徑是6，點(diǎn)O到直線a的距離為5，則直線a與O的位置關(guān)系為（ ）A相離 B相切 C相交 D內(nèi)含6、如圖，已知扇形，的半徑之間的關(guān)系是，則的長(zhǎng)是長(zhǎng)的（ ）倍 倍 倍 倍7、如圖，已知是的直徑，把為的直角三角板的一條直角邊放在直線上，斜邊與交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合；將三角形沿方向平移，使

22、得點(diǎn)與點(diǎn)重合為止設(shè)，則的取值范圍是（） 8、若小唐同學(xué)擲出的鉛球在場(chǎng)地上砸出一個(gè)直徑約為10 cm、深約為2 cm的小坑，則該鉛球的直徑約為( )A. 10 cmB. 14.5 cm C. 19.5 cmD. 20 cm 9、如圖是一個(gè)零件示意圖，A、B、C處都是直角，是圓心角為90º的弧，其大小尺寸如圖標(biāo)示的長(zhǎng)是（）（A）（B）（C）2（D）410、如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高為（ ）A6cmBcm C8cm Dcm3 73 C AB MN7 第9題圖OFCAPE（B）第7題圖第10題圖二、填空題（每題3分，共30分）11、如圖，AB切0于點(diǎn)B，AB=4 cm，AO=6 cm，則O的半徑為 cm12、如圖，點(diǎn)是上兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)（與不重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)分別作于，于，則 13、已知，如圖：AB為O的直徑，ABAC，BC交O于點(diǎn)D，AC交O于點(diǎn)E，BAC450。給出以下五個(gè)結(jié)論：EBC22.50，；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正確結(jié)論的序號(hào)是 。第12題圖ABO第11題圖第16題圖第13題圖1