人教必修5正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用解三角形例題

1、課程目標(biāo)掌握解三角形的題型課程重點(diǎn)正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用，解三角形課程難點(diǎn)正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用教學(xué)方法建議在掌握正余弦定理的前提下，熟悉并掌握解三角形的題型，典型例題與課本知識(shí)相結(jié)合，精講精練。復(fù)習(xí)與總結(jié)同時(shí)進(jìn)行，逐步掌握解三角形的方法。選材程度及數(shù)量課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類（ 3）道（ 2）道（ 5 ）道B類（ 5 ）道（ 4 ）道（10 ）道C類（ 3 ）道（ 3）道（ 5）道一、知識(shí)梳理1內(nèi)角和定理：在中，；面積公式: 在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然.2正弦定理：在一個(gè)三角形中,各邊和它的所對(duì)角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (邊角轉(zhuǎn)化的重要

2、工具)形式三：形式四：3.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： 二、方法歸納 (1)已知兩角A、B與一邊,由A+B+C=及，可求出角C，再求、. (2)已知兩邊、與其夾角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三邊、，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知兩邊、及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理，求出另一邊的對(duì)角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通過求B時(shí)，可能出一解，兩解或無(wú)解的情況，其判斷方法，如下表：A>90°A=90°A&

3、lt;90°>一解一解一解=無(wú)解無(wú)解一解<a>bsinA兩解無(wú)解無(wú)解a=bsinA一解a<bsinA無(wú)解（見圖示）=sinA有一解 >>sinA有兩解 有一解 >有一解三、課堂精講例題問題一：利用正弦定理解三角形【例1】在中，若，,，則 .【例2】在ABC中，已知=,=,B=45°,求A、C和.【解析】 B=45°90°且sinBb,ABC有兩解.由正弦定理得sinA= =,則A為60°或120°.當(dāng)A=60°時(shí)，C=180°-(A+B)=75°,c=.當(dāng)A=12

4、0°時(shí)，C=180°-(A+B)=15°,c=.故在ABC中，A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°, =.【思考】從所得到式子看，為什么會(huì)有兩解：sinA =,在上顯然有兩個(gè)解。在上的值域?yàn)椋?,1】，在只有一解。【適時(shí)導(dǎo)練】1.（1）ABC中，=8,B=60°,C=75°,求;（2）ABC中，B=30°, =4,c=8,求C、A、a.【解析】（1）由正弦定理得.B=60°,C=75°,A=45°,b=4.（2）由正弦定理得sinC=1.又30&#

5、176;C150°,C=90°. A=180°-(B+C)=60°, =4.問題二：利用余弦定理解三角形【例3】設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（）求的周長(zhǎng)；（）求的值.【解題思路】本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和余弦定理，同時(shí)考查基本運(yùn)算能力【解析】（）的周長(zhǎng)為.（），,故為銳角，. 【注】常利用到的三角公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：【例4】（2010重慶文數(shù)） 設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、,且3+3-3=4 .() 求sinA的值；()求的值.【適時(shí)導(dǎo)練】2 在ABC中，、分別是角A，B，C的對(duì)邊，且=-.（1）求角B的大小

6、；（2）若=，+=4，求ABC的面積.【解析】 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.將上式代入=-得:·=-整理得: 2+2-2=-cosB= =-B為三角形的內(nèi)角，B=.（2）將=,+=4,B=代入2=2+2-2cosB,得2=(+)2-2-2cosB2=16-2,=3.SABC=sinB=.問題三：正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用【例5】（2011山東文數(shù)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，c已知 （I）求的值； （II）若cosB=，ABC 的周長(zhǎng)為5，求的長(zhǎng)?！窘忸}思路】通過正弦定理將邊化成正弦，在通過和角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)?！窘馕觥浚↖）由正弦定理，設(shè)則所以即，化簡(jiǎn)可得又，

7、所以因此 （II）由得由余弦定得及得所以又從而因此b=2?！舅伎肌康降住熬唧w什么情況下邊化角，什么情況下角化邊”【例6】（2009全國(guó)卷理）在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、，已知，且 求b 【解題思路】對(duì)已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,可以考慮余弦定理；而對(duì)已知條件(2) 化角化邊都可以?！窘馕觥拷夥ㄒ唬涸谥袆t由正弦定理及余弦定理有:化簡(jiǎn)并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.【思考】面對(duì)解三角形，可以考慮正弦定理，也可以考慮余弦定理，兩種方法只是計(jì)算量上的差別。【適時(shí)導(dǎo)練】3在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊

8、，且8 sin22 cos 2A7（1）求角A的大??；（2）若a，bc3，求b和c的值解:（1） ABC180°，90° sin由8sin22cos2A7，得8cos22cos2A7 4(1cos A)2(2 cos2A1)7，即(2cos A1)20 cos A 0°A180°， A60°（2） a，A60°，由余弦定理知a2b2c22bc cos A， 3b2c2bc(bc)23bc93bc bc2又bc3， b1，c2或b2，c1問題四：三角恒等變形【例7】（08重慶） 設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為,b,c，且A=，c=3b.

9、求：（）的值；（）cotB +cot C的值.【解題思路】求的值需要消去角和三角求值問題一般先考慮尋找角之間的關(guān)系【解析】（）由余弦定理得故（）解法一：由正弦定理和（）的結(jié)論得故解法二：由余弦定理及（）的結(jié)論有故同理可得從而【思考】在解三角形的背景下一般見“切割化弦” 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： （1）平方關(guān)系： （2）倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商數(shù)關(guān)系：【適時(shí)導(dǎo)練】4.（2009江西卷理）中，所對(duì)的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求. 【解析】(1) 因?yàn)椋?，所以，?，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因?yàn)?，則，或（舍去） 得

10、(2)， 又, 即 ， 得問題五：判斷三角形形狀【例8】在ABC中，在中，分別是角A、B、C所對(duì)的邊，bcosAcosB，試判斷三角形的形狀.【解題思路】判定三角形形狀時(shí)，一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形：（1）一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結(jié)合使用；（2）另一個(gè)方向是角，走三角變形之路.通常是運(yùn)用正弦定理【解析】方法1：利用余弦定理將角化為邊.bcosAcosB 故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.bcosAcosB 又b2RsinB，2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，ABAB0

11、，即AB故三角形是等腰三角形.【思考】判斷三角形形狀時(shí)一般從角入手，利用三角形內(nèi)角和定理，實(shí)施關(guān)于三角形內(nèi)角的一些變形公式.【例9】. 在ABC中，在中，分別是角A、B、C所對(duì)的邊，若，試判斷三角形的形狀.【解析】：方法1：利用余弦定理將角化為邊由已知及正弦定理得sin2A=sin2B2A2B或2A2B，即AB或AB，故ABC為等腰三角形或直角三角形.方法2：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.acosAbcosB a=b或者故ABC為等腰三角形或直角三角形.【適時(shí)導(dǎo)練】5.在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等邊三角形

12、【解析】2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB 6.在ABC中，、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如果（2+b2）sin（A-B）=（2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀.【解析】方法一 已知等式可化為2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)22cosAsinB=22cosBsinA由正弦定理可知上式可化為：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,

13、即A=B或A=-B,ABC為等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得2b= b2 2(b2+c2-2)=b2(2+c2-b2)即(2-2)( 2+2-c2)=0=或2+2=c2ABC為等腰或直角三角形.問題六：與其他知識(shí)綜合【例10】已知向量，其中A，B，C是ABC的內(nèi)角，,c分別是角A，B，C的對(duì)邊.（1）求角C的大??；（2）求的取值范圍.【解題思路】向量的數(shù)量積運(yùn)算法則。向量垂直的判定?！窘馕觥浚?）由得 由余弦定理得 （2） 即. 【思考】坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則： 向量的加減法運(yùn)算：，。 實(shí)數(shù)與向量的積：。 平面向量數(shù)量積：=【適

14、時(shí)導(dǎo)練】7（2009浙江文）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值【解析】（） 又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以所以問題7：三角實(shí)際應(yīng)用【例11】 要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距 km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得ACB=75°，BCD=45°，ADC=30°，ADB=45°，求A、B之間的距離.【解題思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理?！窘馕觥咳鐖D所示在ACD中，ACD=120°，CAD=ADC=30°，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45°，BDC=75&#

15、176;，CBD=60°.BC=.ABC中，由余弦定理，得AB2=+-2×××cos75°=3+2+-=5，AB=(km).A、B之間的距離為 km. 【例12】（2007山東）如圖,甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于處時(shí),乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時(shí)兩船相距海里,問乙船每小時(shí)航行多少海里?【解析】如圖所示，連結(jié)A1B2，由已知A2B2=，A1A2=，A1A2=A2B2，又A1A2B2=180°-120&#

16、176;=60°A1A2B2是等邊三角形，A1B2=A1A2=.由已知，A1B1=20，B1A1B2=105°-60°=45°，在A1B2B1中，由余弦定理，= A1B12+ A1B22- A1B1·A1B2·cos45°=202+()2-2×20××=200.B1B2=.因此，乙船的速度的大小為×60=（海里/小時(shí)）.答 乙船每小時(shí)航行海里.【思考】正弦定理和余弦定理所需條件。【適時(shí)導(dǎo)練】8.如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于

17、水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） 【解析】在中，30°，60°30°，所以CDAC0.1又180°60°60°60°，故CB是底邊AD的中垂線，所以BDBA 5分在中， 即AB因此，故B、D的距離約為0.33km。9 如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，于A處測(cè)得水深，于B處測(cè)得水深，于C處測(cè)得水深，求DEF的余

18、弦值。 【解析】作交BE于N，交CF于M ， ，在中，由余弦定理，. 課后自我檢測(cè)A 組1.已知ABC中，則 ( )【答案】 2.在中。若，則a= ?！敬鸢浮?13.已知,分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若=1, =, A+C=2B,則sinC= .【答案】 1【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°由正弦定理知，即由知，則，3.在中，=15, =10,A=60°，則=A B C D 【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理可得解得，又因?yàn)?，則，故B為銳角，所以，故D正確.4某人朝正東方向走千米后，向右轉(zhuǎn)并走3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米，

19、那么的值為 （ ）A B C或D3【答案】C5.（2008福建)在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、,若(2+2-b2)tanB=,則角B的值為 （ ）A. B. C.或 D.或【答案】 D6已知的周長(zhǎng)為，且（I）求邊的長(zhǎng)；（II）若的面積為，求角的度數(shù)【解析】（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由的面積，得，由余弦定理，得cosC=，所以7在中，角、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、，且滿足（I）求角的值；（II）若，求的值【解析】（I）由正弦定理得， ，即，由于，所以 （II）， 因?yàn)?，故?所以8在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且（）求；（）若，求【解析】（）由，得， 即從而，得 ,故 （）由，得

20、， ，解得 課后自我檢測(cè)B 組1.若的三個(gè)內(nèi)角滿足，則 （ ）（A）一定是銳角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形. (D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.【答案】C【解析】由及正弦定理得a: :=5:11:13 由余弦定理得，所以角C為鈍角ABCD2要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度,在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°,在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的BCD=120°,CD=40m,則電視塔的高度為（ ）A10m B20m C20m D40m【答案】 D 【解析】 本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由cotA=知A為鈍角，cosA<0排除A和B，再由.3.（2010天津理）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是, ,，若，則A= （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題。由由正弦定理得，所以cosA=，所以A=3004.(2008湖北)在中，三個(gè)角的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為,則的值為 .【答案】 5.在中，角的對(duì)邊分別為，。（）求的值；（）求的面積.【解題思路】 本題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查基本運(yùn)算能力【解析】 （）A、B、C為