統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布(共76頁(yè)).ppt

1、1第二章 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布2 基本概念總體與個(gè)體抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本與樣本空間分布族、參數(shù)空間統(tǒng)計(jì)量與樣本矩3總體與個(gè)體n在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體(Population) ，把組成總體的每一個(gè)單元稱為個(gè)體n在實(shí)際中，總體通常是某個(gè)隨機(jī)變量取值的全體，其中每一個(gè)個(gè)體都是一個(gè)實(shí)數(shù)n以后我們把總體和數(shù)量指標(biāo)X 可能取值的全體組成的集合等同起來(lái)。n隨機(jī)變量X 的分布就是總體的分布4抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從一總體 X 中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體 x1,x2,xn，其中每個(gè) xi 是一次抽樣觀察結(jié)果，我們稱x1,x2,xn 為總體 X 的 一組樣本（觀察）值。這里的 xi 具有二重性：1

2、.對(duì)每一次抽樣結(jié)果，它是完全確定的一組數(shù)；2.由于抽樣的隨機(jī)性，每一個(gè) xi 都可以看作某一個(gè)隨機(jī)變量 Xi (i=1,2,n)所取的觀察值。我們稱 X1,X2,Xn 是容量為n的樣本（ Sample ）。5抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 定義：設(shè) X1,X2,Xn 為來(lái)自總體 X 的容量為n的樣本，如果隨機(jī)變量 X1,X2,Xn 相互獨(dú)立且與總體有相同的分布，則稱這樣的樣本為總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。這樣獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。抽樣方式：隨機(jī)抽樣,分層抽樣,等距抽樣,整群抽樣,多階段抽樣以后如不特別聲明，所提到的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本以后如不特別聲明，所提到的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

3、。6n綜上所述，所謂總體就是一個(gè)隨機(jī)變量 X ，所謂樣本（指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本）就是 n 個(gè)相互獨(dú)立且與總體 X 有相同的分布的隨機(jī)變量 X1,X2,Xn，并稱 X1,X2,Xn 為來(lái)自于總體X的樣本. 顯然，若總體具有分布函數(shù)F(x),則 X1,X2,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)（樣本聯(lián)合分布）為：1( )niiF x7抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣n以后對(duì)樣本 X1,X2,Xn 作兩種理解：在理論推導(dǎo)中把其作為隨機(jī)向量在用理論推導(dǎo)所得出的結(jié)論進(jìn)行具體推斷時(shí)，作為實(shí)數(shù)向量，代入具體的觀察值進(jìn)行計(jì)算。8樣本空間 定義：樣本 X1,X2,Xn 所有可能取值的全體稱為樣樣本空間（本空間（ Sample Space ），或稱為

4、子樣空間子樣空間。 樣本空間為n維歐氏空間或它的一個(gè)子集。 一個(gè)樣本觀察值（x1,x2,xn)是樣本空間中的一個(gè)點(diǎn)。9分布族與參數(shù)空間n在概率論中，總假定所用隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知，而在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，認(rèn)為其是未知的，但總假定其是某一個(gè)分布族的成員。n一般可憑經(jīng)驗(yàn)，直方圖或經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)來(lái)對(duì)總體給出假定。10分布族與參數(shù)空間n如果對(duì)總體了解甚少，那么總體所在的分布族可設(shè)為F(x):F(x)為分布函數(shù)，其它條件n如果知道總體的分布形式，只是不知道具體參數(shù)，那么總體所在的分布族可設(shè)為 ，這里 為總體的分布函數(shù)中的未知參數(shù)(可以是向量)，未知參數(shù)的全部可容許值組成的集合稱為參數(shù)空間參數(shù)空間，記為 n 稱為

5、統(tǒng)計(jì)模型( Statistical Model )。 ():Fx; ():Fx;11分布族與參數(shù)空間 定義定義：若一個(gè)分布族中只含有有限個(gè)未知參數(shù)，或參數(shù)空間為歐氏空間的一部分，則稱此分布族為參數(shù)分布族。凡不是參數(shù)分布族的分布族稱為非參數(shù)分布族。由參數(shù)分布族出發(fā)所得到的統(tǒng)計(jì)方法稱為參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法；由非參數(shù)分布族出發(fā)所得到的統(tǒng)計(jì)方法稱為非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。這兩類分布族在研究方法上有很大差異。12統(tǒng)計(jì)量與樣本矩n我們對(duì)某一個(gè)問(wèn)題歸納出所在的分布族，并從總體中抽出了一個(gè)樣本后，就要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，即判斷這個(gè)樣本是來(lái)自總體分布族中哪一個(gè)基本的分布.n雖然樣本含有總體的信息，但仍比較分散。為了使統(tǒng)計(jì)推斷成為可能

6、，首先必須把分散在樣本中的信息集中起來(lái)，用樣本的某種函數(shù)表示，這種函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量(Statistic) 。 13統(tǒng)計(jì)量與樣本矩n定義：設(shè)X1,X2,Xn為總體 X 的一個(gè)樣本，若樣本的實(shí)值連續(xù)（可擴(kuò)大為可測(cè)）函數(shù)TT(X1,X2,Xn) 不依賴于可能含于總體中的未知參數(shù)，則稱T 為此分布族的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量(Statistic) 。n往往從直觀或某些一般性原則考慮提出統(tǒng)計(jì)量，再考慮它是否在某種意義下較好地集中了樣本中與所討論問(wèn)題有關(guān)的信息量。14 例如，XN(,2), 其中 已知， 2未知。而(X1，X2)是從 X 中抽取的一個(gè)樣本，則 X1X2， 是統(tǒng)計(jì)量，但（X1）/ 就不是統(tǒng)計(jì)量了

7、。2211()2iiX15樣本矩（Sample Moment）設(shè) X1,X2,Xn 是來(lái)自于總體 X 的一個(gè)樣本.11niiXnX樣本均值（Sample Mean）：樣本方差（Sample Variance）：）：22221111() .()1nnniiiiSXXSXXnn或16樣本標(biāo)準(zhǔn)差（Sample Standard Deviation）：）：221111() .() .1nnniiiiSXXSXXnn或.2 , 1,11kXnAnikik.2 , 1,)(11kXXnBnikik階原點(diǎn)矩 :k階中心矩:k樣本矩（Sample Moment）1711()()nXYiiiSXX YYn再設(shè)

8、Y1,Y2,Yn 是來(lái)自總體 Y 的樣本。兩個(gè)樣本之間的協(xié)方差協(xié)方差：12211()()() )() )niiiXYnniiiiXX YYXXYY兩個(gè)樣本之間的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)：18 記 E(X)=, D(X)=2, E(Xk)=ak 定理1 若X的二階矩存在，則有2(),()E XD Xn22()E S22(),()kkkkkaaE AaD An定理2 若X 的2k 階矩存在，則有19經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 定義 設(shè) X1,X2,Xn 為總體 X 的一個(gè)樣本，x1,x2,xn 是樣本的觀察值，把其從小到大重新排列得到 ，定義函數(shù)如下 (1)(2)( )nxxx(1)*( )(1)( )0,( ),(1

9、,2,1)1,nkknxxkFxxxxknnxx稱其為總體 X 的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。20 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 在點(diǎn)x的函數(shù)值其實(shí)就是觀測(cè)值中小于或等于x的頻率，它是一個(gè)右連續(xù)的非減函數(shù)，且 ，因而它具有分布函數(shù)的性質(zhì)，可以將它看成是以等概率取 的離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)。經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的圖象是一個(gè)非減右連續(xù)的階梯函數(shù)。( )nFx0( )1nFx12,.,nx xx21 對(duì)于的每一數(shù)值而言，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 為樣本 的函數(shù)，它是一統(tǒng)計(jì)量，即為一隨機(jī)變量，其可能取值為 。 事件 發(fā)生的概率，由于 相互獨(dú)立且有相同的分布函數(shù)，因而它等價(jià)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的貝努里概型中事件 發(fā)生k次而其余次不發(fā)生的概率，即有： 其中

10、，它是總體的分布函數(shù)。( )( )nFx12,nXXX0,1/ ,.,1 / ,1nnn( )nkFxn12,nXXXXx ( )( )1( )kn kknnkP FxCF xF xn( )F xP Xx22定理 （格列汶科定理） 設(shè)總體的分布函數(shù)為F(x),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為Fn*(x)，則對(duì)任何實(shí)數(shù) x 有*limsup( )( )01nnxPFxF x 23n從上面定理知道，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn*(x)依概率1收斂于（理論）分布函數(shù)F(x)。n可以利用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)構(gòu)造出非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷中許多常用的統(tǒng)計(jì)量。 24 抽樣分布n統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布，求出統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問(wèn)題之一。n精

11、確分布與小樣本問(wèn)題n極限分布與大樣本問(wèn)題25正態(tài)總體的抽樣分布n正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布 n 分布nt分布nF分布226正態(tài)總體樣本線性函數(shù)的分布 定理1 設(shè)總體 XN(,2), X1,X2,Xn 是總體X的容量為 n 的樣本,令 U=a1X1+a2X2+anXn, 其中 a1,a2,an 是已知常數(shù)，則U也是正態(tài)隨機(jī)變量，其均值、方差分別為E(U)= , D(U)= 21niia21niia27 定理定理2 設(shè)總體 XN(,2),（X1,X2,Xn)是總體的容量為 n 的樣本, A=(aij)是pn階矩陣。記Y=(Y1 ,Y2 ,Yp)=A(X1 ,X2 ,Xn), 則Y1 ,Y2 ,Y

12、p也是正態(tài)隨機(jī)變量，其均值、方差、協(xié)方差分別為 E(Yi)= , D(Yi)= 2 Cov(Yi, Yj)= 2 當(dāng) =0,且A是nn 階正交矩陣時(shí)， Y1 ,Y2 ,Yp也相互獨(dú)立，且服從于N(0,2 ) 正態(tài)變換下的不變性1nijia21nijia1nikjkka a28 分布 定義 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立且服從N(0,1)分布，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為n的 分布，記為 22( )n2221niiX229 定理1 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 的密度函數(shù)為:122/21,0( )2( )20,0nynyeynf yy22( )n230定理2 設(shè) ，則 E(X)=n, D(X)=2n定理3

13、 設(shè) ，且X1與X2相互獨(dú)立，則 定理4 (Cochra) 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立且服從N(0,1)分布，又設(shè) Q1+Q2+Qk= 其中 Qj 是秩為 nj 的 X1,X2,Xn 的非負(fù)定二次型。則 Qj 相互獨(dú)立，且分別服從于自由度為nj的 分布的充要條件是:n1+n2+nk=n21niiX2( )Xn221122(),()XnXn21212()XXnn231引理 設(shè) ，則 X 的特征函數(shù)為(t)=(1-2it)-n/2.n定理3的證明：11-211-222( )(1-2 ),( )(1-2 ).nnXtitXtit由引理知，的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為1212-()/212( )(

14、 )( )(1-2 ),nnXXtttit由特征函數(shù)的性質(zhì)，的特征函數(shù)為:21212XXnn由一一對(duì)應(yīng)性，知服從自由度為的分布。n根據(jù)引理及特征函數(shù)性質(zhì)，我們有得E(X)=n，E(X2)=n2+2n，D(X)=2n2( )Xn32 定理 5 (抽樣分布基本定理) 設(shè) X1,X2,Xn 是來(lái)自總體N(,2)的一個(gè)樣本，則注：1. 的獨(dú)立性僅當(dāng)總體分布為正態(tài)時(shí)才成立。當(dāng)總體分布的三階中心矩為零時(shí)，可以推出兩者是不相關(guān)的。 2. 服從精確的正態(tài)分布也只有在總體為正態(tài)分布時(shí)才成立。2SX與X（1）（2）X與 相互獨(dú)立；2S222(1)(1),nSn33證 令 ，則 且， 選取正交矩陣A:作為正交變換

15、,1,2,.,kkYXkn. .21,(0,)i i dnYYNXY2221111()()11nnkkkkSXXYYnn111111,(1)(1)(1)112,02 32 32 311,0,01 21 2n nnnnnnnnnnn A11nnZYZYA34 則 ，且 1. 2. ，且 ，則 而 僅是Z1的線性函數(shù)，與 無(wú)關(guān)，故 與 相互獨(dú)立。. .212,(0,)i i dnZ ZZN111()nkkZYnYn Xn2211nnkkkkZY2221111()nnkkkkYYYYnn 22222222221211()(1)nnkiniknSZnSYn YZZn11XZn2,nZZX221nS35

16、t分布分布n定義 設(shè) XN(0,1), ，且 X 和 Y 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量所服從的分布是自由度為n的t 分布，記為 Tt(n)./XTY n1221()2( )(1)( )2nntf tnnnn定理1 設(shè)Tt(n),則T的概率密度為2( )Yn36n此定理的證明也同前面類似。先寫出X, Y的密度函數(shù)，然后利用隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的知識(shí)寫出根號(hào)下 Y/n 的密度函數(shù)，再利用獨(dú)立性寫出（X , 根號(hào)下 Y/n )的聯(lián)合密度函數(shù)，最后利用兩個(gè)隨機(jī)變量商的密度函數(shù)給出結(jié)果。37定理 2 設(shè) X1,X2,Xn 是來(lái)自總體 的一個(gè)樣本，則有 。定理 3 設(shè) X1,X2,Xm 和 Y1,Y2,Yn 是

17、分別來(lái)自總體 和 的樣本，且假定兩總體相互獨(dú)立，則有 () (1)Xnt nS 122212(-)-(-)(2)(2)(-1)( -1)X Ymn mnTt mnmnmSnS 2( ,)XN 21(,)N 22(,)N 382/21lim( ),2(0,1). tntStirlingf tettN當(dāng)時(shí)，利用 函數(shù)的公式，可得故當(dāng) 很大時(shí)， 分布近似于實(shí)際上有下面的結(jié)果。定理 4 設(shè)Tnt(n)，n=1,2,.,則 Tn依分布收斂于N(0,1).39定理 5 設(shè)T t(n), n1,則對(duì)正整數(shù) r (r2,則 E(T)=0, D(T)=n/(n-2).注：t 分布只存在階數(shù)小于n的矩.40F分布

18、分布 定義 設(shè)隨機(jī)變量 X和 Y是自由度分別為n1和n2的相互獨(dú)立的 分布隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量 所服從的分布為自由度是(n1,n2)的F分布，記為FF(n1,n2). 其中n1稱為第一自由度， n2稱為第二自由度。12/X nFY n241定理1 設(shè) FF(n1,n2), 則 F 的概率密度為 1121211122212122222()1,0( )( ) ( )0,0nnnnnnnnnnnnnyyyf yy 42定理2 若 X/ 2 , Y/ 2 ，且相互獨(dú)立，則定理3 若 X F(n1,n2), 則 1/XF(n2,n1).定理4 若X t(n), 則 X2F(1,n).定理5 設(shè) X1,

19、X2,Xm 和 Y1,Y2,Yn是分別來(lái)自總體 和 的樣本，且假定兩總體相互獨(dú)立，則有1122/( ,)./X nFF n nY n2212122221.(1,1).SFF nnS21()n22()n211(,)N 222(,)N 43定理7 設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2,Xn相互獨(dú)立且服從 ，又設(shè) Q1+Q2+Qk=其中Qj是秩為nj的 X1,X2,Xn 的非負(fù)定二次型。 若n1+n2+nk=n，則Qj相互獨(dú)立, 且定理6 設(shè)Xn F(m,n), 則當(dāng)n 時(shí),21.nmmLX 21niiX/( ,)./iiijijjjQnFF n nQn2(0,)N44分位數(shù)（分位點(diǎn)） 定義1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的

20、分布函數(shù)為F(x), 0 x=F(x)= ,則稱x為此概率分布的(上側(cè))分位點(diǎn)（或分位數(shù)）。45分位數(shù)（分位點(diǎn)）v當(dāng)XN(0,1), 將其上側(cè)分位數(shù)記為u v當(dāng)X ，將其上側(cè)分位數(shù)記為v當(dāng)X t(n), 將其上側(cè)分位數(shù)記為t(n).v當(dāng)X F(m,n)，將其上側(cè)分位數(shù)記為F (m,n).上面幾類分位數(shù)的性質(zhì)-u= u1- , -t (n) = t1- (n) F(m,n)=1/ F1- (n,m)2()n2()n46有時(shí)也需要上側(cè)分位數(shù)和雙側(cè)分位數(shù)定義2 設(shè) X 為一隨機(jī)變量, 01，若使 PX =,則稱為此概率分布的下側(cè)分位數(shù)。易證為原分布的1-上側(cè)分位數(shù)，即x1- 定義3 設(shè) X 為一隨機(jī)

21、變量, 0 2=/2,則稱1,2為此概率分布的雙側(cè)分位數(shù)。易證1= x1-/2 , 2= x/2 47非正態(tài)總體的抽樣分布例 1 設(shè)總體 , X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的樣本，求樣本均值的分布。例 2 設(shè)總體 , X1,X2,Xn為來(lái)自總體 X 的樣本，求樣本均值的分布。( )X ( )XE48 當(dāng)樣本容量n趨于無(wú)窮時(shí)，若統(tǒng)計(jì)量的分布趨于一定的分布，則稱后者為該統(tǒng)計(jì)量的極限分布。它提供了統(tǒng)計(jì)推斷的一種近似解法。所謂大樣本指樣本容量n30,最好大于50或100.統(tǒng)計(jì)量的漸近分布非正態(tài)總體大樣本的抽樣分布49定義1 對(duì)于統(tǒng)計(jì)量Tn,若存在常數(shù)序列,n2(0)nn使得(0,1)()LnnnTnNn

22、 則稱Tn的漸近分布為22();nnnnNnn， 分別稱為漸近均值和漸近方差。50 定理1 設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),22(),(),0,FFFE XD X X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的樣本，則樣本的均值的漸近分布為2().FFNn，定理2 設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),22(),(),0,FFFE XD X X1,X2,Xn為來(lái)自總體 X 的樣本，則(0,1)()nLFnXnNnS 51定理3 設(shè) X1,X2,Xm與 Y1,Y2,Yn是來(lái)自 與 的兩獨(dú)立樣本，則當(dāng)n趨于無(wú)窮 m趨于無(wú)窮時(shí)有122212()()(0,1)LXYTNSSmn 21(,)XN 22(,)YN 52定義2 設(shè)統(tǒng)

23、計(jì)量Tn為某個(gè)待估函數(shù) 的估計(jì)量,( )(0,1)()( )LnTgnNnv 則稱Tn是 的漸近正態(tài)估計(jì)。2,( )v 存在使得若對(duì)于每個(gè) :( , )0Ax f x注：若與 無(wú)關(guān)，則相應(yīng)參數(shù)g( )的估計(jì)量都具有漸近正態(tài)性，可直接用這個(gè)結(jié)論。( )g( )g53充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量既然是對(duì)樣本的加工或壓縮，在這個(gè)過(guò)程中可能有損失有關(guān)參數(shù)的一部分信息，現(xiàn)在問(wèn)題是在這個(gè)過(guò)程中是否存在某些統(tǒng)計(jì)量，既起到壓縮作用，又不損失參數(shù)的信息，這樣的統(tǒng)計(jì)量稱為充分統(tǒng)計(jì)量。54例的函數(shù).),(121niinXXXXT(1), (0)1,01,P XP X 相同的T值，這樣實(shí)際上是對(duì)樣本起到了加工或壓縮

24、的作用。)分布，即正品和次品服從兩點(diǎn)設(shè)總體(X是來(lái)自總體的樣本，考慮樣本,實(shí)際上表T數(shù)，對(duì)不同觀察值可能對(duì)應(yīng)示樣本中所含的次品個(gè)12,nXXX5512,nx xx設(shè)樣本的觀察值為則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為1122(,)(1),sn snnP Xx XxXx101.niiixsx其中或 ，Xs給定的條件下，樣本的條件分布為11221(,|),nnP Xx XxXxXsns 56定義,( )PTX設(shè)統(tǒng)計(jì)模型為，是統(tǒng)計(jì)12( ),( )nTtXXXTXX量。如果在給定的條件下，的條件分布與參數(shù) 無(wú)關(guān)，則稱統(tǒng)計(jì)量是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量（Sufficient Statistics） 一般情況下，利用

25、條件分布證明統(tǒng)計(jì)量的充分性是比較困難的。但存在證明充分性的一個(gè)充分必要準(zhǔn)則，就是下面的因子分解定理（Factorization theorem）。57定理,( )PTX設(shè)統(tǒng)計(jì)模型為，統(tǒng)計(jì)量I 是充分的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)定義在( , )( )ng tRhx上的函數(shù)及定義在上函數(shù)使得( , )( ( ), ) ( )Lg Thxxx( )nRITxx對(duì)所有的都成立，其中 是的值域，( , )Lx是樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)或分布率。58 例例 設(shè) XB(1,p), 試證樣本均值是參數(shù) p 的充分統(tǒng)計(jì)量。 例例 設(shè)XN(,1)， 未知，試證樣本均值是參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量。59n注注：在因子分解定理中，如果未

26、知參數(shù) 是向量，T是隨機(jī)向量，且定理?xiàng)l件成立，則稱T關(guān)于 是聯(lián)合充分的。但這時(shí)一般不能由T關(guān)于 的充分性而推出T的第j個(gè)分量關(guān)于 的第j個(gè)分量是充分的。n定理 設(shè)T是 的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，u=g(t)是單值可逆函數(shù)，則U=g(T)也是 的充分統(tǒng)計(jì)量。60例12,nXXX設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本22( ,)( ,)N ，令參數(shù)，試證明211(1)( ),nniiiiTXXX及21111(2)( ),()nniiiiTXXXnnX都是 的充分統(tǒng)計(jì)量。61定義( )( )g tT X設(shè)是定義在統(tǒng)計(jì)量的值域上的任一實(shí)值函數(shù)，( ( )0Eg T，立成立時(shí)，必幾乎處處成0)(Tg( )T X統(tǒng)計(jì)量是完備的完

27、備的(Complete) 。如果對(duì)所有的，則稱62例 12,(1, )nXXXB設(shè)是來(lái)自兩點(diǎn)分布的X證明 是完備統(tǒng)計(jì)量。證明( , )nXB n因?yàn)榉模?( ()(1)nkn kknkEg Xgkn 樣本 ，)10( (1- ) knnk=0nk=gkn1-( ()0Eg X令，有63 knk=0nkg=0.kn1-1因?yàn)樯鲜降淖筮吺堑亩囗?xiàng)式，因此對(duì)(0,1), 所有的欲使上式恒成立，只有左邊多項(xiàng)式的系數(shù)為零，0,0,1, .kgknn即(1, )BX故對(duì)分布族而言， 是完備統(tǒng)計(jì)量。64定理12(,),nXXXPX設(shè)是來(lái)自總體一個(gè)樣本，其密度函數(shù)（分布率）可表示為1( , )( ) (

28、)exp( ) ( ),kiiiLchdTx xx其中 ，如果 包含一個(gè)k 維矩形，且 的值域包含一個(gè)k 維開(kāi)集，則 是 充分完備統(tǒng)計(jì)量。 12( , ,)kkR 1( ( ),( )kTTXX1( ),( )kdd12( ,)k 65例2( ,),XLn 設(shè)總體 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布212,( ,)nXXX 是簡(jiǎn)單樣本，求的完備統(tǒng)計(jì)量。解對(duì)數(shù)分布密度函數(shù)為221(ln)( ; )exp22xf xx222222111expln(ln )22exxx2( ,)(0,) (0,),0.x 其中66因此樣本的聯(lián)合密度為222111expln(ln)2nniiiixx22221111( ,; ,)2nn

29、nniiL xxex 這樣21211( ( ),( )ln,(ln),nniiiiTTxxxx12221( ),( ),(0,) (,0),2dd 12( ( ),( )TTXX由于二維區(qū)域 有包含開(kāi)集，所以211ln,(ln)nniiiiXX是完備充分統(tǒng)計(jì)量。67次序統(tǒng)計(jì)量及其分布 定義 設(shè) 是取自總體X的一個(gè)樣本， 被稱為該樣本的第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，它是樣本 的滿足如下條件的函數(shù)：每當(dāng)樣本得到一組觀測(cè)值 時(shí)，將它們從小到大排列為 ，第i個(gè)值 是 的觀測(cè)值，稱 為該樣本的次序統(tǒng)計(jì)量；稱 為最小次序統(tǒng)計(jì)量，稱 為最大次序統(tǒng)計(jì)量。12,nXXX( ) iX12,nXXX12,.,nx xx(1)(

30、2)( ).nxxx( ) ix( ) iX(1)(2)( ),nXXX(1)X( )nX68(1)( )11min,max inii ni nXXXX說(shuō)明說(shuō)明( )12(1)(2)( )(,),knnXXXXXXX由于每個(gè)都是樣本的函數(shù) 所以也都是隨機(jī)變量 并且它們一般不相互獨(dú)立。即69 定義 樣本最大次序統(tǒng)計(jì)量與樣本最小次序統(tǒng)計(jì)量之差稱為樣本極差，常用 表示。若樣本容量為n，則樣本極差為 。它表示樣本取值范圍的大小，也反映了總體取值分散與集中的程度，而且計(jì)算方便。 定義定義 樣本按大小次序排列后處于中間位置上的稱為樣本樣本中位數(shù)中位數(shù)，常用 表示。 設(shè) 是來(lái)自某總體的一個(gè)樣本，其次序統(tǒng)計(jì)量為 ，則nR( )(1)nnRXXdm12,nXX