振動和波緒論

1、12 描寫質(zhì)點(diǎn)空間位置的物理量。描寫質(zhì)點(diǎn)空間位置的物理量。1.1.位置矢量位置矢量),(zyxPrxyzo 在直角坐標(biāo)系中，可以從原點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中，可以從原點(diǎn)O O向質(zhì)點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)P P所在位置畫所在位置畫一矢量一矢量 來表示質(zhì)點(diǎn)位置，來表示質(zhì)點(diǎn)位置，rkzj yi xrr 稱為稱為位置矢量位置矢量，簡稱，簡稱位矢位矢。質(zhì)點(diǎn)的三個位置坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)的三個位置坐標(biāo)x x，y y，z z就是就是位置矢量在直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸位置矢量在直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸上的投影，故位矢可表示為：上的投影，故位矢可表示為：kji, 表示沿表示沿x x，y y，z z軸的單位矢量。軸的單位矢量。 位矢的端點(diǎn)代表質(zhì)點(diǎn)的位置，位

2、位矢的端點(diǎn)代表質(zhì)點(diǎn)的位置，位矢的大小表示原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的距離，位矢的大小表示原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的距離，位矢的方向由原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)矢的方向由原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)P P。xyz3位矢大小（位矢的模）：位矢大?。ㄎ皇傅哪＃何皇阜较颍何皇阜较颍?22|zyxrr可由位矢與三個坐標(biāo)軸的夾角的余弦表示?？捎晌皇概c三個坐標(biāo)軸的夾角的余弦表示。 設(shè)位矢與設(shè)位矢與x x，y y，z z三軸的夾角為三軸的夾角為 、 、 。,cosrx,cosryrzcos此三個角滿足關(guān)系：此三個角滿足關(guān)系：1coscoscos222),(zyxPrxyzo2.2.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動實(shí)際上就是它的位置在隨時間的變化。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動實(shí)

3、際上就是它的位置在隨時間的變化。即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，位置矢量是時間的函數(shù)。即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，位置矢量是時間的函數(shù)。)(trr質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，在某時刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，在某時刻t t，位矢可表示為：，位矢可表示為：)(r tr稱為稱為運(yùn)動方程（位矢方程）運(yùn)動方程（位矢方程）4在直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動方程常寫為：在直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動方程常寫為： )(txx)(tyyktzjtyitxtr)()()()()(r tr稱為稱為運(yùn)動方程（位矢方程）運(yùn)動方程（位矢方程）注意：注意：在直線運(yùn)動中，常取直線為在直線運(yùn)動中，常取直線為x x軸，此時質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軸，此時質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動只有一個空間方向，所以可用標(biāo)量表示，記作只有一個空間方向，所以可

4、用標(biāo)量表示，記作x=x(t)x=x(t)。)(tzz 亦可寫為分量式：亦可寫為分量式：它給出任一時刻質(zhì)點(diǎn)的位置。它給出任一時刻質(zhì)點(diǎn)的位置。強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：運(yùn)動方程描運(yùn)動方程描述的是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的述的是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的全過程，而位矢描全過程，而位矢描述的是質(zhì)點(diǎn)在某一述的是質(zhì)點(diǎn)在某一時刻的位置。時刻的位置。3.3.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時在空間所經(jīng)歷的路徑叫做軌道或軌跡，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時在空間所經(jīng)歷的路徑叫做軌道或軌跡，相應(yīng)的曲線方程稱為軌跡方程。相應(yīng)的曲線方程稱為軌跡方程。 在運(yùn)動方程中，消去在運(yùn)動方程中，消去t t即得軌跡方程：即得軌跡方程：f(x,yf(x,y，z)=0z)=0。5描寫質(zhì)點(diǎn)位置變

5、化的物理量。描寫質(zhì)點(diǎn)位置變化的物理量。運(yùn)動著的質(zhì)點(diǎn)，其位置在軌道上是連續(xù)變化的。運(yùn)動著的質(zhì)點(diǎn)，其位置在軌道上是連續(xù)變化的。A1rxyzoB2rrt t時刻時刻，A A點(diǎn)位矢為點(diǎn)位矢為1rt+tt+t時刻在時刻在B B點(diǎn)位矢為點(diǎn)位矢為2rA AB B位移：位移：12rrr其大小為其大小為ABAB的距離的距離, ,方向則從方向則從A A指向指向B B在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：kzjyixr1111kzjyixr222212rrrkzzjyyixx)()()(121212kzj yi x6位移的大?。何灰频拇笮。?12212212)()()(|zzyyxxr222)()()(zyx強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：

6、位移的大小只能寫成：位移的大小只能寫成： ，不能寫成，不能寫成 或或 。 | rr|r|12rrr1212|rrrrrr表示位矢大小的增量。表示位矢大小的增量。表示質(zhì)點(diǎn)位矢的增量。表示質(zhì)點(diǎn)位矢的增量。同理：同理：drrd |kzzjyyixxr)()()(121212kzj yi x71. .位矢與位移的區(qū)別：位矢與位移的區(qū)別：位矢為從坐標(biāo)原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)所在位置的有向位矢為從坐標(biāo)原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)所在位置的有向線段；線段；位移為從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段。位移為從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段。方向方向時間時間位矢與某一時刻對應(yīng)；位矢與某一時刻對應(yīng)；位移與某一段時間對應(yīng)。位移與某一段時間對應(yīng)。2. .位移與路程

7、的區(qū)別：位移與路程的區(qū)別：sr路程：路程： 為物體為物體t t內(nèi)走過的內(nèi)走過的軌道的長度軌道的長度，為標(biāo)量；，為標(biāo)量；sAB從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段，從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段，而而位移大小是質(zhì)點(diǎn)實(shí)際移動的直線位移大小是質(zhì)點(diǎn)實(shí)際移動的直線距離，距離，為矢量。為矢量。r位移：位移：8一般情況下，一般情況下， 但在時間間隔但在時間間隔 t t很小的情況下，位移矢量和運(yùn)動很小的情況下，位移矢量和運(yùn)動軌跡十分接近重合，位移的大小和路程的差別就很小軌跡十分接近重合，位移的大小和路程的差別就很小了。即：在了。即：在 t t趨近于零的極限情況下，趨近于零的極限情況下，|rs|rs| rddsABO1r2rrA

8、v 描寫物體運(yùn)動快慢和方向的物理量。描寫物體運(yùn)動快慢和方向的物理量。:, 質(zhì)點(diǎn)的位移時刻時刻到ttt 1.1.平均速度平均速度12rrr在在 t t時間間隔內(nèi)的平均速度時間間隔內(nèi)的平均速度定義為：定義為：物體的位移與物體的位移與發(fā)生這段位移所用的時間之比。發(fā)生這段位移所用的時間之比。9ABO1r2rrAv在在 t t時間間隔內(nèi)的平均速度時間間隔內(nèi)的平均速度定義為：定義為：物體的位移與物體的位移與發(fā)生這段位移所用的時間之比。發(fā)生這段位移所用的時間之比。trv平均速度矢量，它的方向與位移相平均速度矢量，它的方向與位移相同。同。 平均速度可平均速度可“近似近似”地描述質(zhì)點(diǎn)在地描述質(zhì)點(diǎn)在t t時刻附近

9、運(yùn)動時刻附近運(yùn)動的快慢和方向。的快慢和方向。|trv注意：注意：平均速度（包括大小和方向）與所取的時間長平均速度（包括大小和方向）與所取的時間長短有關(guān)，所以在計(jì)算平均速度時，必須清楚是哪一段短有關(guān)，所以在計(jì)算平均速度時，必須清楚是哪一段時間的平均速度。時間的平均速度。大?。捍笮。?0 對于變速曲線運(yùn)動的物體，速度大小與方對于變速曲線運(yùn)動的物體，速度大小與方向都在隨時間改變，用平均速度并不能精確地向都在隨時間改變，用平均速度并不能精確地描寫質(zhì)點(diǎn)瞬時的運(yùn)動情況。描寫質(zhì)點(diǎn)瞬時的運(yùn)動情況。. .無限分割路徑；無限分割路徑；. .以直代曲；以直代曲；以不變代變；用平均速度代替變速度；以不變代變；用平均速

10、度代替變速度；令令0t取極限。取極限。ABrt2.2.速度速度處理方法：處理方法：trvt0lim速度速度dtrd質(zhì)點(diǎn)在某時刻的瞬時速質(zhì)點(diǎn)在某時刻的瞬時速度等于在該時刻位置矢度等于在該時刻位置矢量對時間的一階導(dǎo)數(shù)。量對時間的一階導(dǎo)數(shù)。速度單位：米速度單位：米/ /秒，秒，m/s11方向：方向：沿運(yùn)動軌跡的切線并指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方向。沿運(yùn)動軌跡的切線并指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方向。kdtdzjdtdyidtdxdtrdv則在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，速度大?。核俣却笮。簗dtrdvvkzj yi xr則在直角坐標(biāo)系中的投影表示若用,vvvvzyxkvjvivvzyx,dtdxvx,dtdyvydtdzv

11、zyvxv為速度在為速度在x、y、z方向的分量。方向的分量。、zv、trvt0lim速度速度dtrd12大?。捍笮。?22222)()()(|zyxvvvdtdzdtdydtdxdtrdv3.3.速率速率平均速率：平均速率：路程路程 s s和走過這段路程所用的時間和走過這段路程所用的時間 t t的的比值。比值。tsv瞬時速率：瞬時速率：dtdstsvt0lim瞬時速率是路程對時間的變化率。瞬時速率是路程對時間的變化率。kvjvivzyxkdtdzjdtdyidtdxv13注意注意1. .平均速度與平均速率的區(qū)別平均速度與平均速率的區(qū)別平均速度為物體發(fā)生的位移與時間之比；它指明了平均速度為物體發(fā)

12、生的位移與時間之比；它指明了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方向，為矢量。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方向，為矢量。平均速率為物體經(jīng)過的路程與時間之比；它只平均速率為物體經(jīng)過的路程與時間之比；它只反映在單位時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)實(shí)際走過的路程，為標(biāo)量。反映在單位時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)實(shí)際走過的路程，為標(biāo)量。2. . 速度與速率的區(qū)別速度與速率的區(qū)別速度為位矢對時間的一次導(dǎo)數(shù)，為矢量：速度為位矢對時間的一次導(dǎo)數(shù)，為矢量：kdtdzjdtdyidtdxdtrdv速率為速度的大小，為標(biāo)量：速率為速度的大小，為標(biāo)量：|vdtrddtdsvvv 為沿速度方向的單位矢量。是一個大小為沿速度方向的單位矢量。是一個大小不變（恒為不變（恒為1）但方向不斷變化的矢量。）但方向

13、不斷變化的矢量。14描寫質(zhì)點(diǎn)速度變化快慢和方向的物理量。描寫質(zhì)點(diǎn)速度變化快慢和方向的物理量。ABv在在 t t時間內(nèi)時間內(nèi)速度變化量為：速度變化量為：四、加速度四、加速度 ;v , 1t平均加速度：平均加速度：tva1v2v ;v , 2tt12 vvv|tva大?。捍笮。悍较颍悍较颍?的方向。的方向。v1.1.平均加速度平均加速度 用平均加速度描寫物體的運(yùn)動是不精確的，要想用平均加速度描寫物體的運(yùn)動是不精確的，要想精確地描寫物體的加速度，令精確地描寫物體的加速度，令 0t取極限。取極限。2.2.加速度加速度15dtvdadtrdv由由可得：可得：22dtrddtvdtvat0lim瞬時加速度

14、：瞬時加速度：單位：單位：米米/ /秒秒2 2，m/s2大?。捍笮。篸tvdaadtvd 加速度為速度對時間的一次導(dǎo)數(shù)或位置矢量對加速度為速度對時間的一次導(dǎo)數(shù)或位置矢量對時間的二階導(dǎo)數(shù)。時間的二階導(dǎo)數(shù)。 方向：方向： t t0 0時速度增量的極限方向，在曲線運(yùn)動時速度增量的極限方向，在曲線運(yùn)動中，總是指向曲線的凹側(cè)。中，總是指向曲線的凹側(cè)。a含義：含義：反映質(zhì)點(diǎn)在任一瞬間的運(yùn)動狀態(tài)改變的快慢。反映質(zhì)點(diǎn)在任一瞬間的運(yùn)動狀態(tài)改變的快慢。16在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：kvjvivvyyx由由dtvda,dtdvaxxax、ay 、 az為加速度在為加速度在 x、y、 z方向的分量。方向的分量。

15、kdtdvjdtdvidtdvzyxkajaiazyx,dtdvayydtdvazz注意注意加速度是描寫速度變化的物理量；加速度是描寫速度變化的物理量；質(zhì)點(diǎn)的速度大，加速度不一定大；質(zhì)點(diǎn)的速度大，加速度不一定大；質(zhì)點(diǎn)的加速度大，速度不一定大。質(zhì)點(diǎn)的加速度大，速度不一定大。17描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的四個基本物理量：描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的四個基本物理量：（2 2）瞬時性。注意瞬時量和過程量的區(qū)別。）瞬時性。注意瞬時量和過程量的區(qū)別。 a , v , r , r（1 1）矢量性。注意矢量和標(biāo)量的區(qū)別。）矢量性。注意矢量和標(biāo)量的區(qū)別。（3 3）相對性。對不同參照系有不同的描述。）相對性。對不同參照系有不同的描述。 描

16、述質(zhì)點(diǎn)在某一時刻所處的狀態(tài)，稱為質(zhì)點(diǎn)描述質(zhì)點(diǎn)在某一時刻所處的狀態(tài)，稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的狀態(tài)參量。運(yùn)動的狀態(tài)參量。v , r 表示表示 t t時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化，時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化， 為速度的瞬為速度的瞬時變化率，都是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)變化的參量。時變化率，都是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)變化的參量。ra 四個物理量的特點(diǎn)：四個物理量的特點(diǎn)： 質(zhì)點(diǎn)在三維空間運(yùn)動時，位矢、位移、速度、加速度是三質(zhì)點(diǎn)在三維空間運(yùn)動時，位矢、位移、速度、加速度是三維矢量；在平面上運(yùn)動時，是二維矢量；沿直線運(yùn)動時，是一維矢量；在平面上運(yùn)動時，是二維矢量；沿直線運(yùn)動時，是一維矢量，此時可以取軌道直線為坐標(biāo)軸，規(guī)定原點(diǎn)和坐標(biāo)軸的維矢量，此

17、時可以取軌道直線為坐標(biāo)軸，規(guī)定原點(diǎn)和坐標(biāo)軸的正方向后，可用正負(fù)號表示這些物理量的方向。正方向后，可用正負(fù)號表示這些物理量的方向。18第二類：已知速度或加速度以及初始條件，求質(zhì)點(diǎn)的第二類：已知速度或加速度以及初始條件，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。運(yùn)動方程。 這類問題我們可以根據(jù)速度和加速度的定義這類問題我們可以根據(jù)速度和加速度的定義用求導(dǎo)的辦法求出質(zhì)點(diǎn)在任意時刻（或任意位置）用求導(dǎo)的辦法求出質(zhì)點(diǎn)在任意時刻（或任意位置）時的速度和加速度。時的速度和加速度。 這類問題要應(yīng)用積分的方法來求，在計(jì)算上較為這類問題要應(yīng)用積分的方法來求，在計(jì)算上較為復(fù)雜一些。復(fù)雜一些。第一類：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，求速度和加速度。第一

18、類：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，求速度和加速度。 運(yùn)動方程是運(yùn)動學(xué)問題的核心，有了質(zhì)點(diǎn)的位矢運(yùn)動方程是運(yùn)動學(xué)問題的核心，有了質(zhì)點(diǎn)的位矢方程，就可求出質(zhì)點(diǎn)在任一時刻的位置、速度和加速方程，就可求出質(zhì)點(diǎn)在任一時刻的位置、速度和加速度，從而了解質(zhì)點(diǎn)的全部運(yùn)動狀態(tài)。度，從而了解質(zhì)點(diǎn)的全部運(yùn)動狀態(tài)。初始條件初始條件-t=0-t=0（或（或t=tt=t0 0）時刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的狀態(tài)值。）時刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的狀態(tài)值。實(shí)際的運(yùn)動學(xué)問題中，有兩種基本類型：實(shí)際的運(yùn)動學(xué)問題中，有兩種基本類型：19例例1 1、一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始作直線運(yùn)動，初始加速度為、一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始作直線運(yùn)動，初始加速度為a a0 0，以后加速度均勻增加，每經(jīng)過以

19、后加速度均勻增加，每經(jīng)過秒增加秒增加a a0 0，求經(jīng)過，求經(jīng)過t t秒秒后質(zhì)點(diǎn)的速度和運(yùn)動的距離。后質(zhì)點(diǎn)的速度和運(yùn)動的距離。 00taaa( (直線運(yùn)動中可用標(biāo)量代替矢量）直線運(yùn)動中可用標(biāo)量代替矢量）解：解：據(jù)題意知，加速度和時間的關(guān)系為：據(jù)題意知，加速度和時間的關(guān)系為：20000002)(tatadttaaadtvttvdtdxdtdxv 30200020062)2(tatadttatavdtxttdtdva adtdv 20解：解：求求質(zhì)點(diǎn)在頭兩秒的位移和平均加速度質(zhì)點(diǎn)在頭兩秒的位移和平均加速度。jtitr)6(32例例2 2、用矢量表示二維運(yùn)動，設(shè)、用矢量表示二維運(yùn)動，設(shè)jti tdtrdv2320202rrrjivvv1240202jitva6202例例3 3、一質(zhì)點(diǎn)沿、一質(zhì)點(diǎn)沿x x軸作直線運(yùn)動，其軸作直線運(yùn)動，其v-tv-t曲線如圖所示，曲線如圖所示，如如t=t=0 0時，質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，求：時，質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，求：t=t=4.54.5秒時，質(zhì)點(diǎn)在秒時，質(zhì)點(diǎn)在x x軸上的位置。軸上的位置。解：解：實(shí)際上可以用求面積的方法。