2015年北京高考數(shù)學(xué)文科試題及答案（精編版）

1、絕密啟封并使用完畢前2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5 頁， 150 分。測試時(shí)長120 分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。測試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分 （選擇題共 40 分）一、選擇題：共8 個(gè)小題，每小題5 分，共 40 分。在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（ 1）若集合Ax5x2 , Bx3x 3 , 則 AB（）( A )x3x2( B )x5x2( C )x3x3( D )x5x3（ 2）圓心為（ 1， 1）且過原點(diǎn)的圓的方程是（）2（ A）x12（ C）x12y112y122（ B）x12（ D）

2、x12y112y12（ 3）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）（ A）y x2 sinx（ B）yx2 cos x（C） yln x（ D） y2 x（ 4）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320 人，則該樣本的老年人數(shù)為（）（ A） 90（ B）100類別（ C） 180（D） 300人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300（ 5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k 值為（）（ A） 3（ B） 4(C) 5(D) 6（ 6）設(shè)a, b 是非零向量，“ a ba b ”是“ a /b ”的（）（A） 充分而不必

3、要條件（B） 必要而不充分條件（ C）充分必要條件（ D）既不充分也不必要條件（ 7）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）(A) 1（ B）（ B）(D) 2（ 8）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況。在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100 千米平均耗油量為（）加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）2015 年 5 月 1 日12350002015 年 5 月 15 日4835600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程（ A）6 升（ B） 8 升（ C） 10 升（D） 12 升第二部分 （非選擇題共110 分） 二、填空題（共6 小題，每小

4、題5 分，共 30 分）（ 9）復(fù)數(shù) i 1i的實(shí)部為（ 10） 2123 ,3 2 ,log5 三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是（ 11）在ABC 中， a3,b6,Ay22, 則B3（ 12）已知2,0是雙曲線 x2b21 b0的一個(gè)焦點(diǎn)，則b（ 13）如圖，ABC 及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為D， Px, y 為 D 中任意一點(diǎn)，則z2x3 y 的最大值為（ 14）高三年級267 位學(xué)生參加期末測試，某班37 位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績和總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生。從這次測試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，兩同學(xué)

5、的成績名次更靠前的科目是三、解答題（共6 題，共 80 分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）（ 15）（本小題 13 分）已知函數(shù)fx（）求fx 的最小正周期；sin x2 3 sin2 x .2（）求fx 在區(qū)間0, 23上的最小值。（ 16）（本小題 13 分）已知等差數(shù)列an滿足 a1a210,a4a32.（）求an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)等比數(shù)列bn滿足 b2a3, b3a7 ；問：b6 和數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等？（ 17）（本小題13 分）某超市隨機(jī)選取1000 位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“”表示購買，“×”表示未購買。商品顧

6、客人數(shù)甲乙丙丁100×217××200×300××85×××98×××（）估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；（）估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3 種商品的概率；（）如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？（ 18）（本小題14 分）如圖，在三棱錐VABC 中，平面 VAB平面 ABC ，VAB 為等邊三角形，ACBC , 且ACBC2 , O, M 分別為AB,VA 的中點(diǎn)。（）求證 :VB / 平面 MOC ;（）求證：平面 MOC 平面VAB

7、;（）求三棱錐VABC 的體積。x2（ 19）（本小題 13 分）設(shè)函數(shù)fxk ln2x, k0 。（ I ）求 fx 的單調(diào)區(qū)間和極值；（ II ）證明：若fx存在零點(diǎn)，則fx在區(qū)間1,e上僅有一個(gè)零點(diǎn)。(20)(本小題14 分) 已知橢圓 C ： x 23 y 23 , 過點(diǎn) D0 , 1且不過點(diǎn)E 2 , 1的直線和橢圓C 交于A, B 兩點(diǎn)，直線AE 和直線 x3交于點(diǎn) M 。（ 1）求橢圓 C 的離心率；（ II ）若 AB 垂直于 x 軸，求直線BM 的斜率；（ III）試判斷直線BM 和直線 DE 的位置關(guān)系，并說明理由。絕密測試結(jié)束前2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)

8、（文）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8 小題，每小題5 分，共 40 分）（ 1） A（ 2） D（ 3） B（ 4） C（ 5） B（6） A（ 7） C（ 8） B二、填空題（共6 小題，每小題5 分，共 30 分）（ 9）1（ 10） log 2 5（ 11）（12）3（13） 7（14）乙數(shù)學(xué)4三、解答題（共6 小題，共80 分）（ 15）（ 13 分）解：（）fxsin x3 cosx32sinx33fx 的最小正周期為2.（）0x2,x.3332當(dāng)x時(shí)，即3x時(shí)， fx 取得最小值 .3所以 fx在0, 23上的最小值為f23.3(16)(共 13 分) 解：（）設(shè)等差數(shù)列an的

9、公差為 d .a4a32,d2.又a1a210,2 a1d10,a14.an42 n12n2 n1,2,.（）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為 q .b2a38,b3a216,q2, b14.6b426 1128.由 1282 n2,n63.b6 和數(shù)列an的第 63 項(xiàng)相等 .（ 17）（共 13 分）解：（）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000 位顧客中有200 位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為2000.21000（）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000 位顧客中，有100 位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有 200 位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2 種商品。所以顧客

10、在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3 種商品的概率可以估計(jì)為1002000.31000（）和（）同理，可得：顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為2000.2 ，1000100200300顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為10000.6 ，顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為10010000.1 ，所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大。（ 18）（共 14 分）解：（）因?yàn)镺, M 分別為AB ,VA 的中點(diǎn)，所以 OM VB又因?yàn)?VB平面 MOC ,OM平面 MOC所以 VB平面 MOC（）因?yàn)锳CBC ， O 為 AB 的中點(diǎn)， 所以 OCAB .又因?yàn)槠矫?VAB平面 ABC ，且

11、 OC平面 ABC ，平面 VAB平面 ABCAB所以 OC平面 VAB ，又因?yàn)?OC平面 MOC所以平面 MOC平面 VAB（）在等腰直角ABC 中， ACBC2,所以 AB2,OC1.所以正VAB 的面積S VAB3.又因?yàn)?OC平面 VAB ，13所以 VC VABOCS VAB,33又因?yàn)閂VABCVC VAB ,所以3VVABC.3(19)(共 13 分)解：（）由x2fxk ln xk0 2所以 fx的定義域?yàn)?,f ' xxkx2k.xx令 f 'x0,解得 xkfx 和 f 'xx 在區(qū)間0,上的情況如下：0,kkk ,f 'x0fx減增k 1

12、ln k2所以，fx 的單調(diào)減區(qū)間為0,k，單調(diào)增區(qū)間為k ,；fx在 xk 處取得極小值fkk 1ln k.2（）由（）知，fx 在區(qū)間0,上的最小值為fkk 1ln k.2因?yàn)?fx存在零點(diǎn)，所以k 1ln k0 ，所以 ke.2當(dāng) ke時(shí)， fx 在區(qū)間1,e上單調(diào)遞減，且fe0 .所以 xe 是 fx 在區(qū)間1,e上的唯一的零點(diǎn).當(dāng) ke時(shí)， fx 在區(qū)間0,e上單調(diào)遞減，且f110, feek0.22所以 fx 在區(qū)間1,e上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知：若fx存在零點(diǎn)，則fx在區(qū)間1,e上僅有一個(gè)零點(diǎn)。(20)(共 14 分)2解：（）橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x3y21.所以 a3,b1,c

13、2.所以橢圓 C 的離心率 ec6 .a3（）因?yàn)橹本€AB 過點(diǎn) D1,0且垂直于x 軸，所有可設(shè)A 1, y1, B 1,y1 .直線 AE 的方程為y11y1x2 .令 x3 ， 得 M3,2y1.所以直線 BM 的斜率k BM2y1y11 .31（）直線BM 和直線 DE 平行，證明如下：當(dāng)直線 AB 的斜率不存在時(shí)，由（）可知kBM1 .又因?yàn)?DE 的斜率k DE101.21所以 BMDE當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為ykx1k1 .設(shè) A x , y, Bx , y,則直線 AE 的方程為y1y11x2 .1122x12令 x3 ， 得點(diǎn) M3, x1y13.x12x23 y