高考專題訓練七 空間向量與立體幾何

1、高考專題訓練七空間向量與立體幾何班級_姓名_時間：45分鐘分值：75分總得分_一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上1在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點，則sin，的值為(A. B.C. D.解析：以D為原點，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建系，設正方體棱長為1，則C(0,1,0，M，D1(0,0,1，N，cos，sin，.故選B.答案：B2(2011·全國已知直二面角l，點A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則D到平面ABC的距離等于(A

2、. B.C. D1解析：由2(22222·2·2·1|21，所以|CD|.過D作DEBC于E，則DE面ABC，DE即為D到平面ABC的距離在RtBCD中，BC2BD2CD23，BC.DE·BCBD·CD，DE.答案：C3在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90°，D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點，ABAC1，PA2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為(A. B.C. D.解析：以A為原點，AB、AC、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，由ABAC1，PA2，得A(0,0,0，B(1,0,0，

3、C(0,1,0，P(0,0,2，D，E，F(xiàn)，(0,0,2，設面DEF的法向量為n(x，y，z，則由得取z1，則n(2,0,1，設PA與平面DEF所成角為，則sin，PA與平面DEF所成角為arcsin，故選C.答案：C4如圖所示，AC1是正方體的一條體對角線，點P、Q分別為其所在棱的中點，則PQ與AC1所成的角為(A. B. C. D.解析：如圖，設底面中心為O，在對角面ADC1B1中，取AB1的中點為T，TDPQ，從而TD與AC1所成的角為所求由相似可得AMD，故選D.答案：D5如下圖所示，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A到平面MBD的距離是(A.a B

4、.aC.a D.a解析：A到面MBD的距離由等積變形可得VAMBDVBAMD.易求da.答案：D6已知平面與所成的二面角為80°，P為，外一定點，過點P的一條直線與，所成的角都是30°，則這樣的直線有且僅有(A1條 B2條 C3條 D4條解析：如右圖，過P作、的垂線PC、PD，其確定的平面與棱l交于Q，過P的直線與、分別交于A、B兩點，若二面角為80°，AB與平面、成30°，則CPD100°，AB與PD、PC成60°，因此問題轉化為過P點與直線PD、PC所成角為60°的直線有幾條<60°，<60

5、6;，這樣的直線有4條答案：D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡上7(2011·全國已知點E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于_解析：如圖，以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系設正方體的邊長為3.A(3,0,0，E(3,3,1，F(xiàn)(0,3,2(0,3,1，(3,3,2設平面AEF的法向量為n(x，y，z，令y1，z3，x1，n(1,1，3又(0,0,3為面ABC的一個法向量，設平面AEF與平面ABC所成的二面角為cos|cosn，|s

6、intan.答案：8已知l1，l2是兩條異面直線，、是三個互相平行的平面，l1、l2分別交、于A、B、C和D、E、F，AB4，BC12，DF10，又l1與成30°角，則與間的距離是_；DE_.解析：由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得與間距離為6.由面面平行的性質定理可得，即.DE2.5.答案：62.59坐標平面上有點A(2,3和B(4，1，將坐標平面沿y軸折成二面角AOyB，使A，B兩點的距離為2，則二面角等于_解析：如圖，ADBC，BCCD，BC平面ACD，BCAC，AB2，BC4，AC2，AD2，CD4，cos.答案：120°10已知正方體ABCDA1B1C

7、1D1的棱長為1，則直線DA1與AC間的距離為_解析：設n是A1D和AC的公垂線段上的向量，則n·(·(10，1.又n·(·(0，1.n.故所求距離為d.答案：三、解答題：本大題共2小題，共25分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟11(12分(2011·天津如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2求二面角AA1C1B1的正弦值；(3設N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長解：方

8、法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點，依題意得A(2，0,0，B(0,0,0，C(，A1(2，2，0，B1(0,2，0，C1(，(1易得(，(2，0,0于是cos，.所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為.(2易知(0,2，0，(，設平面AA1C1的法向量m(x，y，z，則即不妨令x，可得m(，0，同樣地，設平面A1B1C1的法向量n(x，y，z，則即不妨令y，可得n(0，于是cosm，n.從而sinm，n.所以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3由N為棱B1C1的中點，得N，設M(a，b,0，則，由MN平面A1B1C1，得即解得故M，因此，所以線段BM的長|.方法二：(1由

9、于ACA1C1.故C1A1B1是異面直線AC與A1B1所成的角因為C1H平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H，可得A1C1B1C13.因此cosC1A1B1.所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為.(2連接AC1，易知AC1B1C1，又由于AA1B1A1，A1C1A1C1，所以AC1A1B1C1A1，過點A作ARA1C1于點R，連接B1R，于是B1RA1C1，故ARB1為二面角AA1C1B1的平面角在RtA1RB1中，B1RA1B1·sinRA1B12·.連接AB1，在ARB1中，AB14，ARB1R，cosARB1，從而sinARB1.所

10、以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3因為MN平面A1B1C1，所以MNA1B1，取HB1中點D，連接ND.由于N是棱B1C1的中點，所以NDC1H且NDC1H.又C1H平面AA1B1B，所以ND平面AA1B1B，故NDA1B1.又MNNDN，所以A1B1平面MND，連接MD并延長交A1B1于點E，則MEA1B1，故MEAA1.由，得DEB1E，延長EM交AB于點F，可得BFB1E，連接NE.在RtENM中，NDME，故ND2DE·DM，所以DM，可得FM，連接BM，在RtBFM中，BM.12(13分(2011·上海已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(1設AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為，二面角AB1D1A1的大小為.求證：tantan；(2若點C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高解：設正四棱柱的高為h.(1證明：連接AO1，AA1底面A1B1C1D1于A1，AB1與底面A1B1C1D1所成的角為AB1A1，即AB1A1.AB1AD1，O1為B1D1中點，AO1B1D1，又A1O1