絕對值與相反數(shù)(基礎)知識講解

1、絕對值與相反數(shù)(基礎)【學習目標】1借助數(shù)軸理解絕對值和相反數(shù)的概念；2知道|a|的絕對值的含義以及互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的位置關系；3. 會求一個數(shù)的絕對值和相反數(shù)，并會用絕對值比較兩個負有理數(shù)的大?。?. 通過應用絕對值解決實際問題，體會絕對值的意義和作用.【要點梳理】 要點一、相反數(shù) 1定義：如果兩個數(shù)只有符號不同，那么稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)特別地，0的相反數(shù)是0.要點詮釋：(1) “只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.(2) “0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉.(3) 相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能說是相反數(shù).(4) 求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前

2、面添上“-”號即可.2. 性質(zhì)：(1) 互為相反數(shù)的兩數(shù)的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等(這兩個點關于原點對稱).(2 )互為相反數(shù)的兩數(shù)和為 0.要點二、多重符號的化簡多重符號的化簡，由數(shù)字前面“-”號的個數(shù)來確定，若有偶數(shù)個時，化簡結果為正， 如-卜(-4)=4；若有奇數(shù)個時，化簡結果為負，如-+卜(-4)=-4.要點詮釋：(1) 在一個數(shù)的前面添上一個“ + ”，仍然與原數(shù)相同，如+ 5 = 5, + ( 5)=- 5.(2) 在一個數(shù)的前面添上一個“-”，就成為原數(shù)的相反數(shù).如(3)就是3的相 反數(shù)，因此，一(3)= 3.要點三、絕對值1. 定義：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與

3、原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值，例如+2的絕對 值等于2，記作|+2|=2 ； -3的絕對值等于3，記作|-3|=3 .要點詮釋：(1)絕對值的代數(shù)意義： 一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0 .即對于任何有理數(shù) a都有：a(a0)|a|0(a0)a(a0)(2 )絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距 離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.(3 )一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的.2. 性質(zhì)：（1）0除外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù).（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)（0除外）的絕對值相等（3）絕對

4、值具有非負性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或 要點四、有理數(shù)的大小比較如：a與b在數(shù)軸1. 數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小. 上的位置如圖所示，則 av b.2. 法則比較法：兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號分類，情況如下：兩數(shù)同號同為正號：絕對值大的數(shù)大同為負號：絕對值大的反而小兩數(shù)異號正數(shù)大于負數(shù)數(shù)為0正數(shù)與0 :正數(shù)大于0負數(shù)與0 :負數(shù)小于0要點詮釋：禾U用絕對值比較兩個負數(shù)的大小的步驟：（1）分別計算兩數(shù)的絕對值；（2）比較絕對值的大?。海?）判定兩數(shù)的大小.3. 作差法：設a、b為任意數(shù)，若 a-b >0，貝U a> b;若a-b = 0，貝U

5、 a= b;若a-b v 0, a v b;反之成立.aaa4.a5.求商法：設a、b為任意正數(shù)，右1，則a b ；若 1，則a b ；若 1,則bbbb ；反之也成立.若 a、b為任意負數(shù)，則與上述結論相反. 倒數(shù)比較法：如果兩個數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】類型一、相反數(shù)的概念.(2016?益陽)2016的相反數(shù)是（A. 2016 B . - 2016 C2J16D.2016，所以只要將【思路點撥】 解決這類問題的關鍵是抓住互為相反數(shù)的特征“只有符號不同” 原數(shù)的符號變?yōu)橄喾吹姆?，即可求出其相反?shù).【答案】C【解析】解：-與只有符號不同，2016 2016-的相反數(shù)是一.2

6、016201S故選：C.【總結升華】 求一個數(shù)的相反數(shù)，只改變這個數(shù)的符號，其他部分都不變.舉一反三：【變式】（2015?天水）若a與1互為相反數(shù)，則|a+1|等于（A.-1B.0C.1D.21C11 , -0.3 , 0,3-221【思路點撥】1- , -0.3,0,131在數(shù)軸上位置距原點有多少個單位長度，這個數(shù)字22【答案】B類型二、多重符號的化簡°2化簡:(1)- + -( +3) ;(2)- - -( - | -3| ) .【答案與解析】解：(1)原式=-+ - 3= - - 3=3 ;(2)原式=- - -( - 3) = - - +3= - - 3=3 .【總結升華】運

7、用多重符號化簡的規(guī)律解決這類問題較為簡單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個負號若有偶數(shù)個，則結果為正；若有奇數(shù)個，則結果為負. 類型三、絕對值的概念就是各數(shù)的絕對值還可以用絕對值法則來求解.【答案與解析】11方法1:因為1丄到原點距離是1丄個單位長度，所以22因為-0.3到原點距離是0.3個單位長度，所以卜0.3|= 0.3 因為0到原點距離為0個單位長度，所以|0| = 0 因為13-到原點的距離是2131個單位長度，所以2112,1,11-1-22因為31311方法2：因為 10,所以2因為-0.3 V0,所以卜0.3|= -(-0.3)= 0.3 因為0的絕對值是它本身，所以|0| = 0【總結

8、升華】求一個數(shù)的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解(如方法1),一種是利用絕對值的代數(shù)意義求解(如方法2)，后種方法的具體做法為：首先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是零.再根據(jù)絕對值的意義，確定去掉絕對值符號的結果是它本身，是它的相反數(shù)，還是零.從而求出該數(shù)的絕對值.類型四、比較大小仇比較下列有理數(shù)大?。?1)-1和0;-2和卜3|;1 13 和 2( 4)| 1 | 0.1【答案】(1) 0大于負數(shù)，即-1 v 0;(2) 先化簡卜3| = 3,負數(shù)小于正數(shù)，所以-2 v 3,即-2 v |-3| ;1 1(3)先化簡丄丄，11, 11，即1133222332先化簡| 11 ,0.1

9、0.1,這是兩個負數(shù)比較大小：因為 | 110.10.1 ,而 10.1，所以 10.1，即1 v | 0.1【解析】(2)、(3)、(4)先化簡，再運用有理數(shù)大小比較法則.【總結升華】 在比較兩個負數(shù)的大小時， 可按下列步驟進行： 先求兩個負數(shù)的絕對值， 再比 較兩個絕對值的大小，最后根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷.舉一反三：【高清課堂：絕對值比大小356845典型例題2】【變式】比大小：c53_3 ;-1-3.21-(+3.2);0.00011000;61.3t&71.384 ;n3.14 .【答案】>=;>>v類型五、絕對值非負性的應用5. 已

10、知 |2-m|+|n-3|= 0，試求 m-2n 的值.【思路點撥】 由丨a |> 0即絕對值的非負性可知，丨2-m |> 0 ,丨n-3 |> 0,而它們的和 為 0.所以 | 2-m | = 0, |n-3| = 0.因此，2-m = 0, n-3 = 0，所以 m= 2, n = 3.【答案】解：因為 |2-m|+|n-3| = 0且|2-m| > 0, |n-3| > 0所以 |2-m| = 0, |n-3| = 0即 2-m= 0, n-3 = 0所以 m= 2, n= 3故 m-2n= 2-2 x 3 = -4 .【解析】由丨a丨0即絕對值的非負性可知

11、，丨2-m | > 0,丨n-3 | > 0,而它們的和為0.所 以 I 2-m |= 0， |n-3| = 0.因此，2-m= 0， n-3 = 0，所以 m= 2， n= 3.【總結升華】 若幾個數(shù)的絕對值的和為0,則每個數(shù)都等于 0，即|a|+|b|+ +|m| = 0時，貝U a= b = m= 0.類型六、絕對值的實際應用C 6.正式足球比賽對所用足球的質(zhì)量有嚴格的規(guī)定，下面是6個足球的質(zhì)量檢測結果，用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù).檢測結果(單位：克)：-25 ,+10,-20, +30, +15,-40 .裁判員應該選擇哪個足球用于這場比賽呢？請

12、說明理由.【答案】 因為| +10 | <| +15 | <| -20 |<| -25 | <| +30 | <| -40 I,所以檢測結果 為+10的足球的質(zhì)量好一些.所以裁判員應該選第二個足球用于這場比賽.【解析】根據(jù)實際問題可知，哪個足球的質(zhì)量偏離規(guī)定質(zhì)量越小，則足球的質(zhì)量越好.這個偏差可以用絕對值表示，即絕對值越小偏差也就越小，反之絕對值越大偏差也就越大.【總結升華】 絕對值越小，越接近標準.【變式】某企業(yè)生產(chǎn)瓶裝食用調(diào)和油，根據(jù)質(zhì)量要求，凈含量(不含包裝)可以有0.002L的誤差.現(xiàn)抽查6瓶食用調(diào)和油，超過規(guī)定凈含量的升數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定凈含量的升數(shù)記作負數(shù).檢查結果如下表：+0.00