17-18版第4章熱點探究訓練2

1、熱點探究訓練(二)1. 設函數(shù) f(x) 3X t aX(a R).D(1)若 f(x)在X 0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線yf(x)在點(1 ,f(1) 處的切線方程；62172116】(2)若f(x)在3,+x)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.【導學號:解(1)對f(x)求導得f' (x) =x2x6x+ a e 3x + ax ex2(e )23x + 6 a x+ a因為f(x)在x 0處取得極值，所以f' (0) 0,即a 0.23x 3x + 6x當 a 0 時，f(x) g，f' (x)曠，故 f(1)=e，f' (1)=3e，從而f(x)33

2、在點(1，f(1)處的切線方程為y-(x 1)，D D化簡得3x ey= 0.23x + (6 a X+ a (2)由(1)知 f' (x) 2令 g(x) 一 3x + (6一 a)x+ a，6 a A/a + 36由 g(x) 0 解得 X1 6X2 =6 a+ a + 366當 XVX1 時，g(x)<0, 即 卩 f' (x)<0，故 f(x)為減函數(shù);當 X1<X<x2 時，g(x)>0，即 f' (x)>0,故 f(x)為增函數(shù);當 x>x2 時，g(x)<0，即 卩 f' (x)<0，故 f(x

3、)為減函數(shù).11 分6 a+ a + 36 由f(x)在3, +O)上為減函數(shù)，知X2 6W3,9解得a>號.故a的取值范圍為卜2,+ OO14分2. (2017蘇州模擬)設函數(shù)f(x) = e2-kj|+ In x (k為常數(shù)，e= 2.718 28是自 然對數(shù)的底數(shù))(1) 當k<0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍.解(1)函數(shù)y= f(x)的定義域為(0,+).2 x小xx e 2xe-k - 7+x 2 £x kxx .x xxe 2e k x 232:xx由 k< 0 可得 e kx>0

4、,所以當x (0,2)時，f' (x)<0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減，當x (2,+)時, f' (x)>0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，+).6分由(1)知，k< 0時，函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點；當 k>0 時，設函數(shù) g(x) = e kx，x 0， +).因為 g' (x)= e" k= e" eln k，當0<k< 1時，當 x (0,2)時，g' (x)= e-4 k>0，y= g(x)

5、單調(diào)遞增,故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個極值點；當k>1時,得 x (0, In k)時，g' (x)<0,函數(shù) y= g(x)單調(diào)遞減， x (In k,+x)時，g' (x)>0，函數(shù) y= g(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)y= g(x)的最小值為g(ln k) = k(1 In k).函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,g(0>0,g(ln kj<0,當且僅當g(2>0,J 0<ln k<2,2 e 解得evkvq.綜上所述，函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點時，k的取值范圍為x23. (2016全國卷 I )已知

6、函數(shù) f(x)= (x-2)e + a(x 1).討論f(x)的單調(diào)性；(2)若 f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解(1)f (x) = (x 1)ex + 2a(x 1) = (x 1)(ex + 2a).(i )設 a>0,則當 x ( k, 1)時,f' (x)v0;當 x (1 ,+k )時，f' (x) > 0.所以f(x)在(k, 1)上單調(diào)遞減，在(1,+k)上單調(diào)遞增.(ii )設 av 0,由 f' (x)= 0 得 x= 1 或 x= ln( 2a).ex 若 a= 2，則 f (x) = (x 1)(e e),所以f(x)在(k ,

7、 + k)上單調(diào)遞增.e 若 a> 2，則 ln( 2a)v 1,故當 x (k, ln( 2a) U (1,+k)時，f' (x)>0； 當 x (ln( 2a), 1)時,f' (x)v0.所以 f(x)在(一k, ln( 2a), (1,+k)上單調(diào)遞增，在(ln( 2a),13分e, /14分1分3分1)上單調(diào)遞減.e若 av 2,貝U ln( 2a)> 1,故當 x (x, i)u (ln( 2a),+x)時，f' (x)>0；當 x (1 , ln( 2a)時，f' (x)v0.所以f(x)在(x, 1),仲(2a), +)上

8、單調(diào)遞增，在(1, ln( 2a)上單調(diào) 遞減7分(2)(i )設a>0,則由(1)知，f(x)在(x, 1)上單調(diào)遞減，在(1,+x)上單調(diào)aa遞增.又 f(1) = e, f(2) = a, 取 b 滿足 bv 0 且 bv l門2，則 f(b) >2(b 2)+ a(b1)2 = a b2 3b > 0,所以f(x)有兩個零點.9分(ii )設a= 0,則f(x)二(x 2)&，所以f(x)只有一個零點.e(iii )設av 0,若a> 2,則由(1)知，f(x)在(1,+x)上單調(diào)遞增.又當x< 1 e時f(x) v0,故f(x)不存在兩個零點；若

9、av 2,則由知，f(x)在(1, ln( 2a) 上單調(diào)遞減，在(ln( 2a),+x)上單調(diào)遞增.又當x< 1時，f(x)v0,故f(x)不存 在兩個零點.綜上，a的取值范圍為(0,+x).14分4. (2017 鹽城模擬)已知函數(shù) f(x)= aln x ax 3(a R).(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若函數(shù)y= f(x)的圖象在點(2, f(2)處的切線的傾斜角為45°對于任意的t 1,2函數(shù)g(x) = x3 + x2f (x)+ m 在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求 m的取值 范圍；求證： 普 X 罟 X 呼 X-XnA 2, n N+).【導學號

10、：62172117】 234n na(1 x)解(1)f' (x) = (x>0).當a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1,減區(qū)間為1 ,+x)；當a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為1 ,+x)，減區(qū)間為(0,1； 當a= 0時，f(x)不是單調(diào)函數(shù).(2)由 f' (2) = q = 1 得 a=-2,f (x)二2x 2x1 <0,2<0,3>0,8分+ g )時tn2, n貝U有 0<ln n<n 1,In n n 1/.0<g(x) = x3+ m + 2 x2 2x,2g' (x)= 3x + (m+ 4)x2.g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且 g' (0) = 2, g' t<0,g(3>0.g由題意知：對于任意的t 1,2, g' (t)<0恒成立，所以有：gI gf<m< 9.(3)證明：令 a= 1,此時 f(x)= In x+x 3,所以