立體幾何二輪復(fù)習(xí)建議

1、立體幾何二輪復(fù)習(xí)建議一、高考地位與考查要求：立體幾何主要承載著對(duì)高中數(shù)學(xué)基本能力之一空間想象能力的考查，因而成為每年數(shù)學(xué)高考的必考內(nèi)容經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2008年全國(guó)各地高考的19套試題中（每套試題含文理卷各1份，江蘇文理合卷），立體幾何的小題有32道，解答題有19道；浙江卷以一大兩小考查由此可見(jiàn)立體幾何在高考中占有相當(dāng)重要的地位從0408浙江卷來(lái)分析小題考點(diǎn)分析：每年兩小題，考察位置關(guān)系（點(diǎn)、線、面），距離（點(diǎn)到線、點(diǎn)到面、球面），角度（異面角、線面角、二面角），射影等。立體幾何小題大部分不能建立坐標(biāo)系，需一定的空間想像能力，從而難度就高于大題，06第14題為難題，需很強(qiáng)的空間想像能力。08（10）遷

2、移能力，要關(guān)注立體幾何與解析幾何交匯的開(kāi)放性問(wèn)題。其他省份也基本如此。大題考點(diǎn)分析：考察特定幾何體中的線面平行、線線垂直、點(diǎn)到面距離、線面角度，沒(méi)有考過(guò)異面角、僅04、08考過(guò)二面角，均能建立坐標(biāo)系，難度低于小題，其中05年的略有變化。其他省份也是以中低檔題為主。分析09年對(duì)立體幾何的考查，填空題可能會(huì)以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，空間幾何體的結(jié)構(gòu)、線面位置關(guān)系的判斷、表面積與體積的計(jì)算等知識(shí)是重點(diǎn)考查內(nèi)容，特別是三視圖為新課程增加的內(nèi)容，考查的可能性較大；解答題一般會(huì)考查綜合能力。考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系（平行或垂直），注意非標(biāo)準(zhǔn)圖形的識(shí)別、三視圖的運(yùn)用、圖形的翻折、求體積時(shí)的割補(bǔ)思想。特別強(qiáng)調(diào)的是要

3、把運(yùn)動(dòng)的思想引進(jìn)立體幾何?？疾榛瘹w、割補(bǔ)、展開(kāi)、類比、構(gòu)造、折疊等立幾中的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)于空間幾何體，要通過(guò)概念與圖形結(jié)合來(lái)理解（如正三棱錐、正四面體、所有棱長(zhǎng)都相等的四面體的區(qū)別；還有正棱柱、直棱柱的區(qū)別）。在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解決直線、平面問(wèn)題的位置關(guān)系、角度、長(zhǎng)度等問(wèn)題越來(lái)越受青睞，比用傳統(tǒng)幾何的方法簡(jiǎn)便快捷?？臻g向量數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算仍是高考命題的重點(diǎn)。從09考試說(shuō)明分析可以預(yù)測(cè)，在09年高考中，此部分更傾向于向量方法進(jìn)行解答，即更看重空間向量的綜合運(yùn)用。二、基本題型與基本策略：基本題型一：空間幾何體及其表面積與體積的計(jì)

4、算（填空題）例1已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)是3，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積是 說(shuō)明：本題主要考查正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間幾何體側(cè)面積的計(jì)算方法，屬容易題例2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的體積為 主視圖俯視圖左視圖說(shuō)明：三視圖是新課程的新增內(nèi)容，近兩年其它課改地區(qū)的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)相關(guān)試題，通常將之與表面積、體積的計(jì)算結(jié)合在一起進(jìn)行考查，應(yīng)給予重視基本策略：涉及到柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的側(cè)面積和體積的計(jì)算問(wèn)題，要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征和公式來(lái)計(jì)算，另外要重視空間問(wèn)題平面化的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用；三視圖為新增內(nèi)容，考

5、查不無(wú)可能，關(guān)鍵要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，會(huì)“識(shí)圖”、“復(fù)圖”基本題型二：空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷（填空題）例3設(shè)、為互不重合的平面，m、n為互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：若m，n，則mn；若m，n，m/，n/，則/；若，m，n，mn，則n；若m，m/n，則n/其中所有正確命題的序號(hào)是 說(shuō)明：本類題為高考?？碱}型，其本質(zhì)實(shí)為多項(xiàng)選擇題主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟悉有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選多選例4、為兩個(gè)互相垂直的平面，a、b為一對(duì)異面直線，下列條件中：a/，b；a，b/；a，b；a/，b/且a與的距離等于b與的距離其中是ab的充分條件的有 說(shuō)

6、明：與例3一樣，本題主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，特別是考查證明線線垂直的常用方法基本策略：要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用4條公理、3條推論和9條定理來(lái)判斷有關(guān)空間位置關(guān)系的命題真假，能對(duì)一些真命題進(jìn)行證明或?qū)倜}舉出反例培養(yǎng)學(xué)生善于利用身邊的工具與情境（如紙筆、桌面、墻角等）構(gòu)造具體模型，將抽象問(wèn)題具體化處理，提高他們的空間想象能力基本題型三：空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系的證明（解答題）A1ABCPMNQB1C1例5如圖，已知在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA1、BB1、AB、B1C1的中點(diǎn)（1）求證：面PCC1面MNQ；（2）求證：PC1面MNQ說(shuō)明：本

7、類題主要以空間幾何體為載體，考查空間中線面位置關(guān)系（平行與垂直）的判定與性質(zhì)，是每年高考不可避免的考查內(nèi)容此類題既可考查幾何體的概念和性質(zhì)，又能考查空間的線面關(guān)系，還有可能結(jié)合一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算，可以比較全面地考查學(xué)生的能力例6如圖，四邊形ABCD為矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACEBCADEFM（1）求證：AEBE；（2）求三棱錐DAEC的體積；（3）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN平面DAE說(shuō)明：江蘇卷08年的考題與例5相似，僅僅簡(jiǎn)單考查了位置關(guān)系的證明，綜合性不強(qiáng)09年立體幾何考題可能會(huì)增加適當(dāng)?shù)挠?jì)算量，如本題中體積的

8、計(jì)算等；或是添設(shè)“探究性”、“存在性”的小問(wèn)，如本題中第3小問(wèn)，應(yīng)予以重視BCA主視圖左視圖俯視圖C1A1CACAC1A1BB1例7已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中左視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，主視圖是矩形且AA13，俯視圖中C、C1分別是所在邊的中點(diǎn)，設(shè)D為AA1的中點(diǎn)（1）作出該幾何體的直觀圖并求其體積；（2）求證：平面BB1C1C平面BDC1；（3）BC邊上是否存在點(diǎn)P，使AP/平面BDC1？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論說(shuō)明：本題綜合考查了作圖、計(jì)算、證明、探究等能力，這種類型的試題也應(yīng)引起重視三視圖內(nèi)容也很可能在大題中采用本題的方式進(jìn)行考查，關(guān)鍵要求學(xué)生先能夠準(zhǔn)確“復(fù)圖

9、”，再進(jìn)行其他常規(guī)解答基本策略：證明或探究空間中線線、線面與面面平行與垂直的位置關(guān)系，一要熟練掌握所有判定與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見(jiàn)證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行；二要掌握解題時(shí)由已知想性質(zhì)、由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合來(lái)尋找證明的思路；三要嚴(yán)格要求學(xué)生注意表述規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論此外，要特別注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，會(huì)分析一些非常規(guī)放置的空間幾何體（如例6、例7中側(cè)面水平放置的棱錐、棱柱等），會(huì)畫(huà)空間圖形的三視圖與直觀圖，且會(huì)把三視圖、直觀圖還原成空間圖形基本題型四：運(yùn)用空間向量證明與計(jì)算例8如圖，在四

10、棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，且PDABa，E是PB的中點(diǎn)PABCDE（1）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使得EF平面PBC；（2）求二面角F-PC-E的余弦值大小說(shuō)明：本題主要考查對(duì)空間幾何體合理建立空間直角坐標(biāo)系的能力，運(yùn)用空間向量探究空間中垂直的位置關(guān)系、計(jì)算二面角大小的常見(jiàn)問(wèn)題向量法是一種獨(dú)特的方法，因?yàn)樗坏莻鹘y(tǒng)幾何方法的有力補(bǔ)充，而且還可以解決一些較難的立幾問(wèn)題，如二面角的求解等例9如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1BEAFDC（1）求二面角ADFB的大?。唬?）在線段AC上找一點(diǎn)P，使PF與AD所成的角為600，試確定

11、點(diǎn)P的位置說(shuō)明：本類題主要考查通過(guò)向量解決空間中的夾角問(wèn)題（包括線線角、線面角與二面角），是向量作為一門(mén)工具解決立幾問(wèn)題的典型體現(xiàn)基本策略：空間向量的基礎(chǔ)知識(shí)要引導(dǎo)學(xué)生類比于必修4中平面向量的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整理與記憶；要注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間幾何體合理建系的意識(shí)，并能準(zhǔn)確用向量來(lái)刻畫(huà)直線和平面的“方向”，即方向向量與法向量；要求學(xué)生理解用向量判定空間位置關(guān)系、求解夾角與距離的原理，并掌握一般求解步驟其中，線線角、線面角與二面角是本類題型中的重點(diǎn)考查對(duì)象，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練此外，在計(jì)算平面的法向量、探究點(diǎn)的位置等問(wèn)題中，要引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用“待定系數(shù)法”合理設(shè)出坐標(biāo)，尋找滿足條件的方程（組）來(lái)解決問(wèn)題的方法三、

12、二輪專題與課時(shí)建議：專題內(nèi)容說(shuō)明第一課時(shí)空間幾何體及其表面積與體積多面體與旋轉(zhuǎn)體、三視圖、直觀圖、表面積和體積以小題訓(xùn)練為主第二課時(shí)第三課時(shí)空間中點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系（1）（2）點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，線線、線面、面面平行與垂直的定義、判定和性質(zhì)，并能論證和探究有關(guān)問(wèn)題以大題訓(xùn)練為主（強(qiáng)調(diào)規(guī)范解答過(guò)程）第四課時(shí)第五課時(shí)空間向量與立體幾何空間向量的概念及運(yùn)算、應(yīng)用（判定位置關(guān)系、計(jì)算夾角與距離）以大題訓(xùn)練為主考點(diǎn)9：立體幾何（04、05、06、07各兩題）04（10）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為，則=(A) (

13、B) (C)(D)04（16）已知平面和平面交于直線，P是空間一點(diǎn)，PA，垂足為A，PB，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點(diǎn)A在內(nèi)的射影與點(diǎn)B在內(nèi)的射影重合，則點(diǎn)P到的距離為 .05（6）設(shè)、 為兩個(gè)不同的平面，l、m為兩條不同的直線，且l，m，有如下的兩個(gè)命題：若，則lm；若lm，則那么(A) 是真命題，是假命題 (B) 是假命題，是真命題(C) 都是真命題 (D) 都是假命題05（12）設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DEAB于E(如圖)現(xiàn)將ADE沿DE折起，使二面角ADEB為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_06（9）

14、如圖，O是半徑為l的球心，點(diǎn)A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧與的中點(diǎn)，則點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離是（ ）(A) (B) (C) (D)06（14）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，棱AB平面，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是 . 07(6）若兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（）過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面07（16）已知點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在內(nèi)，且若對(duì)于內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，都有，則二面角的大小是考點(diǎn)分析：每年兩小題，考察位置關(guān)系（點(diǎn)、線、面），距離（點(diǎn)到線、點(diǎn)

15、到面、球面），角度（異面角、線面角、二面角），射影等。立體幾何小題大部分不能建立坐標(biāo)系，需一定的空間想像能力，從而難度就高于大題，06第14題為難題，需很強(qiáng)的空間想像能力。其他省份也基本如此。不同題型選：06安徽（9）、表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為ABCDA1B1C1D1第16題圖A1 A B C D 06安徽（16）、多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是： 3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)

16、論正確的為_(kāi)。（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）06湖南（9）. 棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上, 若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖1,則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 （ ）A B C D 06江西（11）、如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）A. S1<S2B. S1>S2C. S1=S2D. S1，S2的大小關(guān)系不能確定06江西（15）、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角

17、三角形，ÐACB90°，AC6，BCCC1，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CPPA1的最小值是_07全國(guó)1（16）一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)。解一個(gè)等腰直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，EDF=90°，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為AB=2，則該三角形的斜邊EF上的中線DG=， 斜邊EF的長(zhǎng)為2。07江西（8）四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛(ài)好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示，盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為

18、，則它們的大小關(guān)系正確的是（） 07安徽(15)在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是 （寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；每個(gè)面都是直角三角形的四面體.解析：在正方體ABCDA1B1C1D1上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是矩形如ACC1A1；. 有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體，如AA1BD；每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如ACB1D1；每個(gè)面都是直角三角形的四面體，如AA1DC，所以

19、填。07江西（7）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（）點(diǎn)是的垂心垂直平面的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線和所成角為解析：因?yàn)槿忮FA是正三棱錐，故頂點(diǎn)A在底面的射映是底面中心，A正確；面面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正確；根據(jù)對(duì)稱性知C正確。選D07湖南（8）棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（ D ）ABCD考點(diǎn)2：立體幾何（04、05、06、07）04（19）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).N為線段DF的中點(diǎn)。（）求證AM平面BDE；（

20、）求二面角ADFB的大??；（）求點(diǎn)B到平面CMN的距離.05（18）如圖，在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCkPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP底面ABC ()求證：OD平面PAB；()當(dāng)k時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大小； () 當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？06（17）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，底面，且，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).() 求證：； () 求與平面所成的角。（第19題）07（19）（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點(diǎn)（I）求證：；（II）求與平面所成的角ABCDEFOP第19題圖H考點(diǎn)分析：考察特定

21、幾何體中的線面平行、線線垂直、點(diǎn)到面距離、線面角度，沒(méi)有考過(guò)異面角、僅04考過(guò)二面角，均能建立坐標(biāo)系，難度低于小題，其中05年的略有變化。其他省份也是以中低檔題為主。不同題型選：06安徽（19）、如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。（）證明；（）求面與面所成二面角的大小。06全國(guó)1（19）.如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上，C在上，。（）證明；（）若，求與平面ABC所成角的余弦值。06天津（19）、如圖，在五面體中，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，面是等邊三角形，棱（1）證明/平面；（2）設(shè)，證明平面07江西（2

22、0）右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為已知，（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求二面角的大小；（3）求此幾何體的體積07湖南（18）如圖2，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖3AEBCFDG圖2圖3（I）證明：平面平面；（II）當(dāng)，時(shí)，求直線和平面所成的角考點(diǎn)8：立體幾何04（10）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為，則=(A) (B) (C) (D)04（15）已知平面， =，P是空間一點(diǎn)，且P到、的距離分別是1、2，則點(diǎn)P到的距離

23、為 .05（7）設(shè)為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，且，有如下的兩個(gè)命題：若，則lm；若lm，則那么 （D）(A) 是真命題，是假命題 (B) 是假命題，是真命題(C) 都是真命題 (D) 都是假命題05(12)設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DEAB于E(如圖)現(xiàn)將ADE沿DE折起，使二面角ADEB為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_90°_06（8）如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)都2，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（ ） (A)2 (B) (C) (D)06（14）如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，平面過(guò)棱AB，且CD，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積是. 07（7）若是兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（ ）A過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行B過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直C過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交D過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都