高三專題復(fù)習(xí)數(shù)列的題型與方法

1、數(shù)列的綜合應(yīng)用一、 知識簡表：數(shù)列的綜合運(yùn)用綜合板塊數(shù)學(xué)思想思維方法數(shù)列與不等式函數(shù)思想方程思想化歸思想分類討論數(shù)形結(jié)合整體處理1、利用分析綜合法，溝通條件和結(jié)論的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；2、觀察歸納猜想證明數(shù)列與解析幾何數(shù)列與函數(shù)數(shù)列與應(yīng)用題二、 復(fù)習(xí)導(dǎo)引1、 數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、平面解幾、平面向量及三角函數(shù)有機(jī)結(jié)合，互相滲透，已成為近年高考命題的熱點(diǎn)，成為高考題的一道亮麗風(fēng)景線。在數(shù)列的綜合運(yùn)用中，考查分析問題和解決問題的能力，也為命題人及備考師生所共識，所關(guān)注。2、 解答數(shù)列綜合問題，重于疏通問題情景，一步一個腳印前進(jìn)。要知道，運(yùn)用函數(shù)與方程思想、分類討論與化歸思想、數(shù)形結(jié)合與整體處理思想

2、切入問題，是解題過程經(jīng)常展現(xiàn)的思維方法。3、 深化對觀察歸納猜想證明這一重要思維方式的理解和演練。4、 關(guān)注探索性題型、綜合性題型、應(yīng)用性題型和綜合求通項(xiàng)公式題型在數(shù)列中的考查。從“注重?cái)?shù)學(xué)思維方法，強(qiáng)化運(yùn)算能力，重點(diǎn)知識重點(diǎn)訓(xùn)練”的角度做好充分準(zhǔn)備。對數(shù)列與解幾綜合題型更應(yīng)充分重視。三、題例分析 問題1：等差、等比數(shù)列的綜合問題“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果 例1：已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列

3、；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。分析：由于b和c中的項(xiàng)都和a中的項(xiàng)有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2當(dāng)n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時，S=a=1也適合上式綜

4、上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用演變1已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)解 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 , anan

5、1=5 (n2). 當(dāng)a1=3時,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數(shù)列a13;當(dāng)a1=2時, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.問題2：函數(shù)與數(shù)列的綜合題數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)集，且是自變量從小到大變化時函數(shù)值的序列。注意深刻理解函數(shù)性質(zhì)對數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點(diǎn).例2：已知函數(shù)f(x)= (x>0) (1)設(shè)a1=1, =f(an)(nN*),求an;(3)設(shè)Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意nN*,有bn<成立？若存在，求出m的值

6、；若不存在，說明理由 思路分析 (1)問由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列,從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧；(2)問運(yùn)用了函數(shù)的思想 解 (1)，是公差為4的等差數(shù)列，a1=1, =+4(n1)=4n3,an>0,an= (2)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn<,得m>,設(shè)g(n)= ,g(n)= 在nN*上是減函數(shù)，g(n)的最大值是g(1)=5,m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對任意nN*有bn<成立點(diǎn)評本題融合了函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題 著重考查學(xué)生的邏

7、輯分析能力 (1)問以數(shù)列為橋梁求an,不易突破 演變2：設(shè)，定義，其中nN*.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若，其中nN*，試比較9與大小，并說明理由.（1）2，數(shù)列an上首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，（2）兩式相減得： 當(dāng)n=1時，9；當(dāng)n=2時，9；當(dāng)n3時，22n=(1+1)n2=()2>(2n+1)2,9>.點(diǎn)撥與提示：（1）找出數(shù)列an的遞推關(guān)第，進(jìn)而判斷數(shù)列的類型；（2）根據(jù)特征，找出求和的匹配方法。問題3：數(shù)列與解析幾何。數(shù)列與解析幾何綜合題，求解時要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解.例3在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，

8、且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=點(diǎn)評：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大。（1）、（2）兩問運(yùn)用幾何知識算出. 演變3如圖，曲線上的點(diǎn)與x軸的正半軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)構(gòu)成一系列正三角形設(shè)正三角形的邊長為,nN(記為),.P1P2P3Q1Q2O(1)求的值; (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)求證:當(dāng)時, .【解析】（1）由條件可得,代入曲線得;(2) 點(diǎn)代入曲線并整理得,于是當(dāng)時,即又當(dāng)

9、,故所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列, ;(3) 由（2）得，當(dāng)時，欲證，只需證，即證，設(shè)，當(dāng)時，f（n）遞增.而當(dāng)時,有成立.所以只需驗(yàn)證n=2時不等式成立.事實(shí)上,.綜上,原不等式成立.問題4、數(shù)列與不等式數(shù)列與不等式相聯(lián)系的綜合題也是?？碱}型，要注意把數(shù)列的逆推性與不等式問題的思考方法結(jié)合起來，聯(lián)系分析，尋求解題思路.例4在數(shù)列中，（）試比較與的大?。?（）證明：當(dāng)時，.解：（）由題設(shè)知，對任意，都有 ，（）證法1：由已知得，又.當(dāng)時， 設(shè) 則 -，得證法2：由已知得，（1） 當(dāng)時，由，知不等式成立。（2） 假設(shè)當(dāng)不等式成立，即，那么要證 ，只需證即證 ，則只需證因?yàn)槌闪ⅲ猿闪?這

10、就是說，當(dāng)時，不等式仍然成立.根據(jù)（1）和（2），對任意，且，都有演變4：已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l， (I)寫出，的值; ()試比較與的大小，并說明理由； ()設(shè)數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當(dāng)n2時,Sn(2n1)解(1)，因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗?因?yàn)樗耘c同號，因?yàn)?，即?）當(dāng)時，所以，所以問題5：數(shù)列與應(yīng)用題。例5從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加。()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一

11、年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元.寫出an，bn的表達(dá)式()至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?解析：第1年投入800萬元，第2年投入800×（1-）萬元，第n年投入800×（1）n1萬元所以總投入an800800（1）800×（1）n140001（）n同理：第1年收入400萬元，第2年收入400×（1）萬元，第n年收入400×（1）n1萬元bn400400×（1）400×（1）n11600×（）n1(2)bnan0，1600（）n14000×1（）n0化簡得，5×（）n2&#

12、215;（）n70設(shè)x（）n，5x27x20x，x1（舍)即（）n，n5.演變5：某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達(dá)30%。從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。（1）設(shè)全縣面積為1，2001年底綠化面積為經(jīng)過年綠化總面積為求證（2）至少需要多少年（年取整數(shù)，）的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若則有即兩邊同時取對數(shù)可得故，故使得上式成立的最小為5，

13、故最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.專題小結(jié)1、“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2、歸納猜想證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想學(xué)習(xí)這部分知識，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義3、解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分

14、析、解決問題4、數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解【練習(xí)】1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：1 解 （I），解得：所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列, 所以：得： （其中n為正整數(shù)）（II）所以： 2設(shè)點(diǎn)(，0)，和拋物線：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到：x11，點(diǎn)P2(x2，2)在拋物線C1：yx2a1xb1上，點(diǎn)A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點(diǎn)的最短距離，點(diǎn)在拋物線：yx2anxbn上，點(diǎn)(，0)到的距離是到 上點(diǎn)的最短距離 (

15、)求x2及C1的方程 ()證明是等差數(shù)列2解：()由題意,得A(1,0),C1：y=x2-7x+b1.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是C1上任意一點(diǎn),則|A1P|=令f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,則由題意得,即又P2(x2,0)在C1上,2=x22 -7x2+b1解得x2=3,b1=14.故C1方程為y=x2-7x+14.()設(shè)P(x,y)是C1上任意一點(diǎn),則|AnP|=令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,則,由題意得, 即=0,又,(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n1), 即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0, (*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明xn

16、=2n-1. 當(dāng)n=1時,x1=1,等式成立. 假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,即xk=2k-1.則當(dāng)n=k+1時,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*) 又ak=-2-4k-,.即當(dāng)n=k+1,時等式成立. 由知,等式對nN+成立,xn是等差數(shù)列.3. 已知f(x)=(x-1)2，g(x)=4(x-1)，數(shù)列an滿足a1=2，(an+1-an)g(an)+f(an)=0。(1)用an表示an+1；（2）求證：an-1是等比數(shù)列；（3）若bn=3f(an)-g(an+1)，求bn的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。3.解：（1）(an+1an)g(an)+f(an)=0，f(an)（an1）

17、2，g(an)4（an1），（an1）（4an13an1）0, 又a1=2，。（2），an-1是以a1-1=1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（3）由（2）可知：an-1，an1。從而bn= 3f(an)g(an+1)因?yàn)閥=為減函數(shù)，所以bn中的最大項(xiàng)為b1 =0, 又bn，當(dāng)n為整數(shù)時，所以只須考慮接近于。當(dāng)n=3時，與相差，當(dāng)n=4時，與相差而，所以bn中最小項(xiàng)為.4. 已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，()用數(shù)學(xué)歸納法證明；()證明 （）證明：當(dāng) 因?yàn)閍1=1，所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 （1）當(dāng)n=1時，b1=，不等式成立， （2）假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即那么 所以，當(dāng)n=k+1時，不等式也成立