高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識匯總版

1、高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識匯總（最新版）高中數(shù)學(xué)知識歸納匯總目錄第一部分 集合4第二部分 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)5第三部分 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形12第四部分 立體幾何14第五部分 直線與圓16第六部分 圓錐曲線19第七部分 平面向量21第八部分 數(shù)列22第九部分 不等式24第十部分 復(fù)數(shù)25第十一部分 概率26第十二部分 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例27第十三部分 算法初步29第十四部分 常用邏輯用語與推理證明30第十五部分 推理與證明32第十六部分 理科選修部分33第一部分 集合1N，Z，Q，R分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集；2交集，并集，符號區(qū)分；3（1）含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n,非空子集數(shù)為2

2、n1；真子集數(shù)為2n1；非空真子集的數(shù)為2n-2；（2） 注意：討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。（3）4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1定義域：抽象函數(shù)；已知 定義域，求 定義域， 與 值域相同。（具體可以參考本節(jié)第4點(diǎn)復(fù)合函數(shù)定義域求法）。具體函數(shù)。分母不為0，偶次根號下不為負(fù)數(shù)， 中a不為0， ， 中的x為正數(shù)。2值域：一元二次方程配方法 ；換元法；分離參數(shù)法 ；3解析式：配方法 ；換元法；待定系數(shù)和；消去法。4復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法： 若f(x)的定義域?yàn)閍，b,則復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出； 若fg(x)的定義域?yàn)?/p>

3、a,b,求 f(x)的定義域，相當(dāng)于xa,b時(shí)，求g(x)的值域。（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)；分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。注意：外函數(shù)的定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。5函數(shù)的奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；是奇函數(shù)；是偶函數(shù) ；奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則； 在關(guān)于原點(diǎn)對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；6函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性的定義：在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)有；在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)有；單調(diào)性的判定 定義法：一般要將式子化為幾個(gè)因式作積或作商的形式

4、，以利于判斷符號； 導(dǎo)數(shù)法（見導(dǎo)數(shù)部分）； 復(fù)合函數(shù)法； 圖像法。注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。7函數(shù)的周期性(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意，若有 （其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個(gè)周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期 ； ； ； 與周期有關(guān)的結(jié)論或 的周期為；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱周期為2；的圖象關(guān)于直線軸對稱周期為2；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，直線軸對稱周期為4；8基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)： （ ；指數(shù)函數(shù)：；對數(shù)函數(shù):；正弦函數(shù):；余弦函數(shù)： ；（6）正切函數(shù)：；一元二次函數(shù)：；其它常用函

5、數(shù)： 正比例函數(shù)：；反比例函數(shù)：；特別的 函數(shù)；9二次函數(shù)：解析式：一般式：；頂點(diǎn)式：，為頂點(diǎn)；零點(diǎn)式： 。二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：開口方向；對稱軸；端點(diǎn)值；與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；判別式；兩根符號。二次函數(shù)問題解決方法：數(shù)形結(jié)合；分類討論。10函數(shù)圖象： 圖象作法 ：描點(diǎn)法 （特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖）圖象變換法圖象變換： 平移變換：，左“+”右“-”； 上“+”下“-”； 伸縮變換：， （縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的 倍；， （橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的倍； 對稱變換：； ； 翻轉(zhuǎn)變換：右不動(dòng)，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；上不動(dòng)，下向上翻（|在下面無圖象）；11函數(shù)圖象（曲線）對稱性的

6、證明(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在圖像上；（2）證明函數(shù)與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)在的圖象上，反之亦然； （注意上述兩點(diǎn)的區(qū)別?。┳ⅲ呵€C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2ax,2by)=0;曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2ax, y)=0;曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=x+a)的對稱曲線C2的方程為f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對稱；

7、特別地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；函數(shù)y=f(xa)與y=f(bx)的圖像關(guān)于直線x=對稱；12函數(shù)零點(diǎn)的求法：直接法（求的根）；圖象法；.13導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作；常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ； 。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：（理科）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：）所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？）所求的是“在”還是“過”該點(diǎn)的切線？利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性： 是增函數(shù)； 為減函數(shù)； 為常數(shù)； 利用導(dǎo)數(shù)求極值：求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；列表得極值。利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：求的極值；求區(qū)間端點(diǎn)值（如果有）；得最值。14（理科）定積分 定積分的定

8、義：定積分的性質(zhì)： （常數(shù)）； （其中。微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：定積分的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積：； 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：；求變力做功：。第三部分 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形1角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧長公式：；扇形面積公式：。2三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點(diǎn)為，設(shè)則：3三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；4誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”；5對稱軸：；對稱中心：； 對稱軸：；對稱中心：； 6同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；7. 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是的遞增區(qū)間是的遞減區(qū)間是8兩角和與差的正弦、

9、余弦、正切公式： 。二9. 倍角公式：；。10正、余弦定理：正弦定理： （是外接圓直徑）注：；。余弦定理：等三個(gè)；注：等三個(gè)。11。幾個(gè)公式:三角形面積公式：；內(nèi)切圓半徑r=；外接圓直徑2R=11已知時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定： AbaCh其中h=bsinA,A為銳角時(shí)：a<h時(shí)，無解；a=h時(shí)，一解（直角）；h<a<b時(shí)，兩解（一銳角，一鈍角）；ab時(shí)，一解（一銳角）。A為直角或鈍角時(shí)：ab時(shí)，無解；a>b時(shí)，一解（銳角）。第四部分 立體幾何1三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為。2表（側(cè)）面積與體積公式：柱體：表面積：S=S側(cè)+2S底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V=

10、S底h 錐體：表面積：S=S側(cè)+S底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V=S底h：臺體：表面積：S=S側(cè)+S上底S下底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V= （S+）h；球體：表面積：S=；體積：V= 。3位置關(guān)系的證明（主要方法）：直線與直線平行：公理4；線面平行的性質(zhì)定理；面面平行的性質(zhì)定理。直線與平面平行：線面平行的判定定理；面面平行線面平行。平面與平面平行：面面平行的判定定理及推論；垂直于同一直線的兩平面平行。直線與平面垂直：直線與平面垂直的判定定理；面面垂直的性質(zhì)定理。平面與平面垂直：定義-兩平面所成二面角為直角；面面垂直的判定定理。注：理科還可用向量法。4.求角：（步驟-。找或作角；。求角）異面直線所

11、成角的求法： 平移法：平移直線，構(gòu)造三角形； 補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角。直線與平面所成的角：直接法（利用線面角定義）；先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin。注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。5結(jié)論： 長方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)地三條棱長分別為a，b，c，則對角線長為，全面積為2ab+2bc+2ca；長方體體對角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為則：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2A 正方體的棱長為a，則對角線長為，全面積為6，體

12、積為 長方體或正方體的外接球直徑2R等于長方體或正方體的對角線長；(4) 正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為，則正四面體的： 高：；對棱間距離：； 內(nèi)切球半徑：；外接球半徑：；第五部分 直線與圓1直線方程點(diǎn)斜式： ；斜截式： ；截距式： ；兩點(diǎn)式： ；一般式：，（A，B不全為0）。（直線的方向向量：（，法向量（2求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。直線方程 平行的充要條件 垂直的充要條件 備注 有斜率 且 不可寫成 （驗(yàn)證） 分式3兩條直線的位置關(guān)系：4直線系：直線方程 平行直線系 垂直直線系 相交直線系 5幾個(gè)公式設(shè)A（x1,y1）、B(

13、x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（）；點(diǎn)P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離：；兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是；6圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程： ； 。一般方程： （注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C0且B=0且D2+E24AF>0；7圓的方程的求法：待定系數(shù)法；幾何法；圓系法。8圓系： ； 注：當(dāng)時(shí)表示兩圓交線。 。9點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要掌握幾何法）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（表示點(diǎn)到圓心的距離）點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓外。直線與圓的位置關(guān)系：（表示圓心到直線的距離）相切；相交；（直線與圓相交所得的弦長）相離。

14、圓與圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）相離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含。10與圓有關(guān)的結(jié)論：過圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。第六部分 圓錐曲線（此部分重點(diǎn)內(nèi)容為三種圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)，下面所列可能是你會疏忽的一些內(nèi)容）1定義：橢圓：；雙曲線：；拋物線：2結(jié)論 焦半徑：橢圓：（e為離心率）； （左“+”右“-”）

15、；拋物線：（）弦長公式：；注：（）拋物線焦點(diǎn)弦長：x1+x2+p（）通徑（最短弦）：橢圓、雙曲線：；拋物線：2p。 過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為： （同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線）；(4) 雙曲線中的結(jié)論：雙曲線（a>0,b>0）的漸近線：； 共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，0）；雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線互相垂直；3直線與圓錐曲線問題解法：直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。注意以下問題：聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎？判別式驗(yàn)證了嗎？設(shè)而不求（代點(diǎn)相減法或叫點(diǎn)差法）：-處理弦中點(diǎn)問題步驟如下：設(shè)點(diǎn)

16、A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解決問題。4求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）；待定系數(shù)法；（5）參數(shù)法；（6）交軌法。第七部分 平面向量設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則： ab(b0)a=b （x1y2x2y1=0； ab(a、b0)a·b=0x1x2+y1y2=0 .a·b=|a|b|cos<a,b>=x2+y1y2； 注：|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影； a·b的幾

17、何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。cos<a,b>=；（4）三點(diǎn)共線的充要條件P，A，B三點(diǎn)共線；附：（理科）P，A，B，C四點(diǎn)共面。第八部分 數(shù)列1定義：等差數(shù)列 ；等比數(shù)列 ；2等差、等比數(shù)列性質(zhì) 等差數(shù)列 等比數(shù)列通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 性質(zhì) an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq m+n=p+q時(shí)aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP,3數(shù)列通項(xiàng)的求法：定義法（利用AP,GP的定義）；（2）累加法（；S1 (n=1)SnSn-1 (n2)an=（3）

18、公式法：累乘法（型）；變形構(gòu)造法（、等類型）；4前項(xiàng)和的求法：（1）倒序相加法；（2）錯(cuò)位相減法。（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組求和法5等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：（數(shù)列思想） ；（函數(shù)思想）利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。第九部分 不等式1均值不等式：注意：一正二定三相等；變形，。2不等式的性質(zhì)：；（6）。4不等式等證明（主要）方法：比較法：作差或作比；綜合法；分析法。第十部分 復(fù)數(shù)1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；z=a+bi是虛數(shù)b0(a,bR)；z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b0(a,bR)z0（z0）z2<0；a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR)；2

19、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，則：（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i； z1.z2 = (a+bi)·(c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)i； z1÷z2 (z20) （方法：分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)）;3共軛的性質(zhì)： ； ； ； 。4模的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；第十一部分 概率1事件的關(guān)系：（1）事件A與事件B互斥：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A和B叫做互斥事件；2對立事件：兩個(gè)互斥事件A、B必有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件叫做對立事件2概率公式

20、：（1） 互斥事件（有一個(gè)發(fā)生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；（2）對立事件概率公式：（3） 古典概型：；（4） 幾何概型： =；第十二部分 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例1抽樣方法簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N，通過逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣本，且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。注：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為；常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法；隨機(jī)數(shù)法。系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體均衡的分成幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一個(gè)部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。注：步驟：編號；分段；在第一段采用簡單隨機(jī)抽樣方法確定其

21、時(shí)個(gè)體編號；按預(yù)先制定的規(guī)則抽取樣本。分層抽樣：當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時(shí)，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。注：每個(gè)部分所抽取的樣本個(gè)體數(shù)=該部分個(gè)體數(shù)2總體特征數(shù)的估計(jì)：樣本平均數(shù)；樣本方差 ；樣本標(biāo)準(zhǔn)差= ；3相關(guān)系數(shù)（判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性）：注：>0時(shí)，變量正相關(guān)； <0時(shí)，變量負(fù)相關(guān)； 越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)； 接近于0時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。 （3）判斷兩個(gè)變量線性相關(guān)性還可以通過畫出散點(diǎn)圖進(jìn)行分析4獨(dú)立性檢驗(yàn)（分類變量關(guān)系）：隨機(jī)變量越大，說明兩個(gè)分類變

22、量，關(guān)系越強(qiáng)，反之，越弱。第十三部分 算法初步1程序框圖：圖形符號： 終端框（起止況）； 輸入、輸出框； 連接點(diǎn)。 處理框（執(zhí)行框）； 判斷框； 流程線 ；程序框圖分類:順序結(jié)構(gòu)： 條件結(jié)構(gòu)： 循環(huán)結(jié)構(gòu)： r=0? 否 求n除以i的余數(shù) 輸入n 是 n不是質(zhì)素 n是質(zhì)數(shù) i=i+1 i=2 in或r=0?否 是第十四部分 常用邏輯用語與推理證明1 四種命題：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q；逆否命題：若q則p注：原命題與逆否命題等價(jià)；逆命題與否命題等價(jià)。2充要條件的判斷：（1）定義法-正、反方向推理；（2）利用集合間的包含關(guān)系：例如：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條

23、件；若A=B，則A是B的充要條件；3邏輯連接詞：且(and) ：命題形式 pq； p q pq pq p或（or）：命題形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命題形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真4全稱量詞與存在量詞 全稱量詞-“所有的”、“任意一個(gè)”等，用表示； 全稱命題p：； 全稱命題p的否定p：。 存在量詞-“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用表示； 特稱命題p：； 特稱命題p的否定p：；第十五部分 推理與證明數(shù)學(xué)歸納法（僅限理科）一般的證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：證明當(dāng)取第一個(gè)值是命題成立；假設(shè)當(dāng)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。那么由就可以判定命題對從開始所有的正整數(shù)都成立。這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。注：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行； 的取值視題目而定，可能是1，也可能是2等。第十六部分 理科選修部分1 排列、組合和二項(xiàng)式定理排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(mn,m、nN*),當(dāng)m=n時(shí)為全排列=n(n-1)(n-2)=