第1章函數(shù)極限與連續(xù)2初等習(xí)題

1、第 1 章 函數(shù)、極限與連續(xù)12 初等函數(shù) 習(xí)題解1求下列函數(shù)的反函數(shù)： y = 1- x ；1+ x【解】從 y = 1- x 解出 x ，得 x = 1- y ，對(duì)換變量 x, y 得 y = 1- x ，1+ x1+ y1+ x即得 y = 1- x 的反函數(shù)就是自身 y = 1- x 。1+ x1+ x2x y =；1+ 2xy2xy=2x【解】從 y =解出 x ，得，即得 x = log，1+ 2x1- y2 1- yx2 1- x對(duì)換變量 x, y 得 y = log，2xx即得 y =的反函數(shù)就是自身 y = log。1+ 2x2 1- x y = 1-1+ 4x。1+ 1+

2、4x【解】從 y = 1-1+ 4x1- y解出 x ，得 1+ 4x = 1- y ，即得 x = 1 ()2 -1 =- y，1+ y4 1+ y(1+ y)21+ 1+ 4x-x對(duì)換變量 x, y 得 y =，(1+ x)2即得 y = 1-1+ 4x-x的反函數(shù)是 y =。(1+ x)21+ 1+ 4x2下列函數(shù)可以看成由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的？ y = sin 3x ；【解】以簡(jiǎn)單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量3x ，即作中間變量u = 3x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = sin u ，于是，函數(shù) y = sin 3x 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = sin u ， u = 3x

3、復(fù)合而成的。2 y = esin x ；【解】以簡(jiǎn)單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量sin2 x ，即作中間變量u = sin2 x ,使得替換后的1第 1 章 函數(shù)、極限與連續(xù)12 初等函數(shù) 習(xí)題解函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = eu ；這時(shí)，中間變量u = sin2 x = (sin x)2 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量sin x ，即作第二中間變量v = sin x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)u = v2 ，2于是，函數(shù) y = esin x 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = eu ， u = v2 ， v = sin x 復(fù)合而成的。 y = ln(ln(ln x) ；【解】以簡(jiǎn)

4、單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量ln(ln x) ，即作中間變量u = ln(ln x) ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = ln u ；這時(shí)，中間變量 u = ln(ln x) 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量 v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量ln x ，即作第二中間變量v = ln x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)u = ln v ，于是，函數(shù) y = ln(ln(ln x) 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = ln u ， u = ln v ， v = ln x 復(fù)合而成的。 y =lgx ；【解】以簡(jiǎn)單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量lgx ，即作中間變量u = lgx ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y =u

5、；這時(shí)，中間變量u = lgx 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量x ，即作第二中間變量v =x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)u = lg v ，于是，函數(shù) y =lgx 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y =u ， u = lg v ， v =x 復(fù)合而成的。 y = (1+ ln2 x)3 ；【解】以簡(jiǎn)單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量1+ ln2 x ，即作中間變量u =1+ln2 x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = u3 ；這時(shí)，中間變量 u =1+ln2 x 仍含復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量 v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量ln x ，即作第二中間變量v = ln x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)

6、單函數(shù)u =1+ v2 ，2第 1 章 函數(shù)、極限與連續(xù)12 初等函數(shù) 習(xí)題解于是，函數(shù) y = (1+ ln2 x)3 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = u3 ，u =1+ v2 ，v = ln x 復(fù)合而成的。 y = 3 arctan cos e2 x ；【解】以簡(jiǎn)單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量arctan cos e2x ，即作中間變量u = arctan cos e2x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = 3 u ；這時(shí)，中間變量u = arctan cos e2x 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量cos e2x ，即作第二中間變量v = cos e2x ,使得替換后的函

7、數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)u = arctan v ；這時(shí)，第二中間變量 v = cos e2x 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量 w 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量e2x ，即作第三中間變量 w = e2x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)v = cos w ；這時(shí)，第三中間變量 w = e2x 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量t 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量2x ，即作第四中間變量t = 2x ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) w = et ；于是， 函數(shù) y = 3 arctan cos e2x 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = 3 u ， u = arctan v ，v = cos w ， w = et , t = 2x 復(fù)合而成的。x+1

8、 y = loga sin 2；【解】以簡(jiǎn)單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量sin 2x+1 ，即作中間變量u = sin 2x+1 ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = loga u ；這時(shí)，中間變量 u = sin 2x+1 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量 v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量2x+1 ，即作第二中間變量v = 2x+1 ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)u = sin v ，這時(shí)，第二中間變量 v = 2x+1 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量 w 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量x +1，即作第三中間變量 w = x +1,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)v = 2w ，x+1w于是，函數(shù) y = loga sin 2

9、可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = loga u ， u = sin v ， v = 2 ，w = x +1復(fù)合而成的。3第 1 章 函數(shù)、極限與連續(xù)12 初等函數(shù) 習(xí)題解 y = arcsin lg(x -1) ；【解】以簡(jiǎn)單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量 lg(x -1) ，即作中間變量u =lg(x -1) ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = arcsin u ；這時(shí)，中間變量u =lg(x -1) 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量lg(x -1) ，即作第二中間變量v = lg(x -1) ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)u =v ，這時(shí)，第二中間變量v = lg(x -1) 仍

10、為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量 w 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量 x -1，即作第三中間變量 w = x -1,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)v = lg w ，于是，函數(shù) y = arcsin lg(x -1) 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = arcsin u ， u =v ，v = lg w ， w = x -1復(fù)合而成的。 y = cos(ex -1)2 ；【解】以簡(jiǎn)單變量u 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量(ex -1)2 ，即作中間變量u = (ex -1)2 ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = cos u ；這時(shí)，中間變量 u = (ex -1)2 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量 v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量ex -1，即

11、作第二中間變量v = ex -1,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)u = v2 ，于是，函數(shù) y = cos(ex -1)2 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = cos u ，u = v2 ，v = ex -1復(fù)合而成的。 y = cos2 ln(x2 - 2x +1) 。替 換 內(nèi) 層 的 復(fù) 雜 變 量 cosln(x2 - 2x +1) ， 即 作 中 間 變 量u【 解 】 以 簡(jiǎn) 單 變 量u = cosln(x2 - 2x +1) ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù) y = u2 ；這時(shí)，中間變量u = cosln(x2 - 2x +1) 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量v 替換內(nèi)層的復(fù)雜變量ln(x2

12、 - 2x +1) ，即作第二中間變量v = ln(x2 - 2x +1) ,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)u = cos v ，這時(shí)，第二中間變量v = ln(x2 - 2x +1) 仍為復(fù)合函數(shù)，再以簡(jiǎn)單變量 w 替換內(nèi)層的4第 1 章 函數(shù)、極限與連續(xù)12 初等函數(shù) 習(xí)題解復(fù)雜變量 x2 - 2x +1，即作第三中間變量 w = x2 - 2x +1,使得替換后的函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)v = ln w ，于是， 函數(shù) y = cos2 ln(x2 - 2x +1) 可以看成由簡(jiǎn)單函數(shù) y = u2 ， u = cos v ，v = ln w ， w = x2 - 2x +1復(fù)合而成的。3設(shè) f

13、(x) 的定義域是0,1 ，求下列各函數(shù)的定義域： f (x2 ) ；【解】由于 f (x) 要求0 £ x £ 1，f (x2 ) 要求0 £ x2 £ 1，亦即要求-1 £ x £ 1，可知得知函數(shù) f (x2 ) 的定義域是-1,1。 f (ln x) ?！窘狻坑捎?f (x) 要求0 £ x £ 1，可知 f (ln x) 要求0 £ ln x £ 1，亦即要求1 £ x £ e ，得知函數(shù) f (ln x) 的定義域是1, e。1x1x24設(shè) f，求 f (x) 。

14、11x1x2= (x + 1 )2 - 2 ，【解法一】由于 fx以 x 替換 x + 1 ，即得x【解法二】令 x + 1 = u ，f (x) = x2 - 2 。x11等號(hào)兩端平方，得 x2 + 2 += u2 ，亦即 x2 += u2 - 2 ，x2于是得 f (u) = u2 - 2 ，即得 f (x) = x2 - 2 。x25下列函數(shù)中，是復(fù)合函數(shù)的是（ ）。（A）y = x - sin x ；（B）y = 3x2ex ；（C）y = cosx ；（D）y =sin x - 2 ?！窘狻繎?yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義進(jìn)行：即因變量與自變量的是內(nèi)外層次，由代入法，而非四則運(yùn)算；5第 1 章

15、函數(shù)、極限與連續(xù)12 初等函數(shù) 習(xí)題解外層函數(shù) y = f (u) 的定義域 Df 與內(nèi)層函數(shù) u = j ( x) 的值域 Rj 的交集非空Df Ç Rj ¹ Æ ，（C）：（A）函數(shù) y = x - sin x 并非由代入法，而是由u = x 與v = sin x 的四則運(yùn)算（差）的，非復(fù)合函數(shù)；（B）函數(shù) y = 3x2ex 并非由代入法，而是由u = 3x2 與v = ex 的四則運(yùn)算（積）構(gòu)成的，非復(fù)合函數(shù)；（C）函數(shù) y = cosx 由代入法，它是由u =x 代入 y = cos的，而且，外層函數(shù) y = cos的定義域 Df = (-¥,

16、 +¥) ,內(nèi)層函數(shù)u =x 的值域 Rj = 0, +¥) ，可見Df Ç Rj = Rj ¹ Æ ，可知函數(shù) y = cosx 是復(fù)合函數(shù)；（D）函數(shù) y =sin x - 2 由代入法，它是由u = sin x - 2 代入 y =的，而且，外層函數(shù) y =的定義域 Df = 0, +¥) ,內(nèi)層函數(shù)u = sin x - 2 的值域 Rj = -3, -1 ，Rj =0, +¥)-3, -1 = Æ ，可知函數(shù) y =sin x - 2 不是復(fù)合函數(shù)?？梢?Df6下列函數(shù)中，哪些是初等函數(shù)？哪些不是初等函數(shù)

17、？ y = x2 -sin 3x ；【解】函數(shù) y = x2 -sin 3x 是由u = x2 與v = sin 3x 的一次四則運(yùn)算（差）的，只用一個(gè)式表示，因此是初等函數(shù)。 y =x；【解】函數(shù) y =x2 是由u = x2 代入 y =的，而且，外層函數(shù) y =x的定義域 D = 0, +¥) ,內(nèi)層函數(shù)u = x2 的值域 Rj = 0, +¥) ，可見 D Ç R = D ¹ Æ ，可知函fjff數(shù) y =x是復(fù)合函數(shù)，它可以只用一個(gè)式表示，從而是初等函數(shù)。x > 0ìx,= ï0,注意： y =也可以用多個(gè)

18、式表示： y =x = 0 ，但它不是只有這一xxíï-x,x < 0î6第 1 章 函數(shù)、極限與連續(xù)12 初等函數(shù) 習(xí)題解，也可以只用一個(gè)式 y =x2 表示。x個(gè)表示 y = sgn x ；【解】 函數(shù) y = sgn x 稱 為 符 號(hào) 函 數(shù) ， 它 的 具 體 含 義 須 用 三 個(gè)式 表 示 ：ì-1,x < 0x = 0 ，因此，符號(hào)函數(shù) y = sgn x 不是初等函數(shù)。x > 0y = sgn x = ï0,íï1,î y = xx ；【解】?jī)缰负瘮?shù) y = x= exln x 是由