重積分曲線積分曲面積分

1、重積分、曲線積分、曲面積分一、曲線積分第一型曲線積分(對弧長)定義：設(shè)為平面上可求長度的曲線段，為定義在上的函數(shù)。對曲線作分割，它把分成個可求長度的小曲線段 的弧長記為 分割的細度為 在上任取一點 若極限 存在，則稱此極限值為在上的第一型曲線積分（對弧長的積分），記作。 若為空間可求長曲線段，為定義在上的函數(shù)，則可類似定義在空間曲線上的第一型曲線積分，并且記為。性質(zhì)： 1. 若存在，為常數(shù)，則也存在，且 2. 若曲線段由曲線首尾相接而成，且都存在，則也存在，且 3. 若與都存在，且在上 則 4. 若存在，則也存在，且。5. 若存在，的弧長為，則存在常數(shù)，使得 =。計算設(shè)有光滑曲線 函數(shù)為定義在

2、上的連續(xù)函數(shù)，則 。若曲線由方程表示，且在上連續(xù)可導(dǎo)，則 例1. 設(shè)是從到一段，試計算第一型曲線積分解 例2. 計算 其中為球面被平面所截得的圓周。解 由對稱性知所以 第二型曲線積分（對坐標）有向曲線：帶有方向的曲線稱為有向曲線，其正方向是指從起點到終點的方向。簡單閉曲線的正方向是指逆時鐘方向。定義： 設(shè)函數(shù)與定義在平面有向可求長度曲線:上，對的任一分割，它把分成個小曲線段 其中。記各小曲線段的弧長為，分割的細度 又設(shè)的分點的坐標為，并記 在每個小曲線段上任取一點，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)沿有向曲線上的第二型曲線積分（對坐標），記為 或。上述積分還可寫作或。為方便，上述積分可簡寫成。若是閉

3、曲線，上述積分可寫成。若為空間有向可求長度曲線，為定義在上的函數(shù)，則類似地可定義沿空間有向曲線上的第二型曲線積分，記為可簡寫成。注：第一型曲線積分與曲線的方向無關(guān)，第二型曲線積分與曲線的方向有關(guān)。性質(zhì)：1. 2. 若存在，則也存在，且 其中為常數(shù)。3. 若有向曲線是由有向曲線首尾相接而成，且存在，則也存在，且 計算：設(shè)平面曲線 其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且點與的坐標分別為與。又設(shè)與為上的連續(xù)函數(shù)，則例1. 計算 其中是由沿拋物線到的有向曲線。解 為 所以 例2. 計算第二型曲線積分 ， 其中是螺旋線：從到上的一段。解 直接使用公式得 應(yīng)用 求變力作功 力沿有向曲線對質(zhì)點所作的功為 。例3 求

4、在力的作用下，質(zhì)點由沿螺旋線：到所作的功。 解 由于，所以直接使用公式可得 習(xí)題1. 計算 其中為單位圓周。2. 計算，其中是與相交的圓周。3. 計算 其中為圓周，依逆時鐘方向。4. 計算，其中：從到的直線段。5. 設(shè)質(zhì)點受力作用，力的反方向指向原點，大小與質(zhì)點離原點的距離成正比，若質(zhì)點由沿橢圓移動到，求力所作的功。答案：1. 4， 2. 2， 3. 0， 4. 13， 5. 為比例系數(shù)。 二、二重積分 定義：設(shè)為平面上的有界閉區(qū)域，為定義在上的函數(shù)。用任意的曲線把分成個小區(qū)域 以表示小區(qū)域的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成的一個分割, 以表示小區(qū)域的直徑，稱為分割的細度。在每個上任取一點，作和式，稱它為

5、函數(shù)在上屬于分割的一個積分和。如果 存在，則稱在上可積，此極限值就稱為在上的積分，記為，即 。定理：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積。性質(zhì)：1. 若在區(qū)域上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且 2. 若在上都可積，則在上也可積，且 3. 若在和上都可積，且與無公共內(nèi)點，則在上也可積，且 4. 若在上都可積，且， 則 5. 若在區(qū)域上可積，則函數(shù)在區(qū)域上也可積，且 6. 若在區(qū)域上可積，且 則 這里是積分區(qū)域的面積。 7（中值定理）若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則存在，使得 幾何意義：若，則表示以為底，以為曲頂?shù)那斨w的體積，特別地，表示的面積。計算： 1. 若在矩形區(qū)域上可積，則 。 2. 若在型區(qū)域上連續(xù)，

6、其中在上連續(xù)，則 。 若在型區(qū)域上連續(xù)，其中在上連續(xù)，則 3. （極坐標變換）在極坐標變換 下，平面上的有界區(qū)域與平面上的區(qū)域相對應(yīng)，則 注：當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或者被積函數(shù)的形式為時，我們選用極坐標變換進行積分比較方便。例1. 設(shè)是由直線及圍成的區(qū)域，試計算：的值。解 由分部積分法可得：注：本題用先對后對的累次積分是計算不出來的。選用合適的積分次序?qū)δ承╊愋偷闹胤e分計算是至關(guān)重要的。例2：在下列積分中改變累次積分的順序：。解：例3：計算，其中為圓域：。解 利用極坐標變換，有 注： 本題若不用極坐標變換計算，而用直角坐標系下化為累次積分計算，就會遇到計算的問題，但無法計算。應(yīng)用：求

7、曲頂柱體的體積例4：求球面被圓柱面所割下部分的體積。解：由所求立體的對稱性，我們只要求出在第一卦限內(nèi)的部分體積后乘以4，即得所求立體的體積。在第一卦限內(nèi)立體是個曲頂柱體，其底為平面內(nèi)由和所確定的區(qū)域，曲頂?shù)姆匠虨?所以 其中，用極坐標變換后得 習(xí)題：2. 計算，其中是由所圍成。3. 改變累次積分的次序：4. 計算其中5. 求由和所圍成的立體的體積。參考答案：1.，2.3. 4. 格林公式（Green公式）1格林公式 若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 這里為區(qū)域的邊界曲線，并取正方向。（上述公式稱為格林公式）。（區(qū)域邊界曲線的正方向規(guī)定為：當(dāng)人沿邊界正向行走時，區(qū)域總在它的左邊）

8、 若令則得到一個計算平面區(qū)域的面積的公式： 2曲線積分與路徑的無關(guān)性 設(shè)是單連通閉區(qū)域，若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四條等價：（i）沿內(nèi)任一按段光滑封閉曲線，有 (ii) 對中任一按段光滑曲線，曲線積分與路徑無關(guān)，只與的起點及終點有關(guān)；（iii）在內(nèi)處處成立（iv）是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在內(nèi)有。 例1 計算，其中, 曲線是半徑為的圓在第一象限部分. 解 設(shè)坐標原點為O，連接，則圍成四分之一圓域，其邊界曲線（正向）為，應(yīng)用格林公式有 由于 所以例2 計算，其中為不通過原點的簡單光滑閉曲線，為逆時鐘方向。解 記，則。（1） 當(dāng)不包含原點時，由格林公式得其中是包含的閉區(qū)域。（2）

9、當(dāng)包含原點時，在點處不連續(xù)，不滿足格林公式使用條件。為此，作一個以原點為心半徑充分小的圓則為順時鐘方向，與所圍閉區(qū)域為，則。于是 習(xí)題1. 應(yīng)用格林公式計算曲線積分： 其中是以，為頂點的三角形，方向取正向。2. 計算 其中為常數(shù)，為由到經(jīng)過圓上半部分的路線。答案：1. 2. 。三、三重積分 定義： 設(shè)為定義在三維空間可求體積的有界區(qū)域上的函數(shù)，用若干光滑曲面所組成的曲面網(wǎng)來分割，它把分成個小區(qū)域。記的體積為在每個小塊上任取一個點，作積分和 若 存在，則稱在上可積，此極限值稱為函數(shù)在上的三重積分。記為 或，其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)域。 當(dāng)時，表示的體積。性質(zhì)：三重積分的性質(zhì)與二

10、重積分的性質(zhì)相同，例如：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積。計算：1. 若函數(shù)在長方體上的三重積分存在，則 。2. “穿針法”：設(shè)空間區(qū)域在平面上的投影為， ， 則 。3. “截面法”： 若空間閉區(qū)域 其中是豎坐標為的平面截閉區(qū)域所得到的一個平面閉區(qū)域，則有 。 注：當(dāng)積分區(qū)域為旋轉(zhuǎn)體，被積函數(shù)不含（或不含,不含）時，用截面法計算比較方便。4. 柱面坐標變換：作柱面坐標變換 為在柱面坐標變換下的原像，則 。注：當(dāng)積分區(qū)域是旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)軸為z軸）時，或者被積函數(shù)的形式為時，我們選用柱面坐標變換進行積分比較方便 5. 球坐標變換：作球坐標變換 為在球坐標變換下的原像，則。 （解釋下的幾何意義）。注：當(dāng)積

11、分區(qū)域是球或球的一部分，或者被積函數(shù)的形式為時，我們選用球坐標變換進行積分比較方便。例1 計算，其中為由平面與所圍成的區(qū)域。解 在平面上的投影區(qū)域 是型區(qū)域，這里。用穿針法有例2 求其中是橢球體。解 由于 ， 由截面法得其中表示橢圓面： 或 它的面積為 于是 同理可得 ， 。所以 。例3 計算 其中是由曲面與為界面的區(qū)域。 解 在平面上的投影區(qū)域為，按柱坐標變換，區(qū)域可表示為 所以 例4 求由圓錐體和球體所確定的立體體積，其中和為常數(shù)。解 在球坐標變換下，球面方程可表示成，錐面方程可表示成。因此所以 例5 求 其中為由與所圍成的區(qū)域。解 作廣義球坐標變換 雅克比行列式, 在上述廣義球坐標變換下

12、，的原像為 于是 四、 曲面積分第一型曲面積分（對面積） 定義 設(shè)是空間可求面積的曲面，為定義在上的函數(shù)。對曲面作分割，它把分成個小曲面，以記小曲面的面積，分割的細度 在上任取一點，若極限 存在，則稱此極限為在上的第一型曲面積分（對面積），記為。如果是封閉曲面，也可記為 當(dāng)時，曲面積分就是曲面的面積。性質(zhì)： 類似于第一型曲線積分。計算： 設(shè)有光滑曲面 為上的連續(xù)函數(shù)，則 。例1 設(shè)半徑為的球面的球心在定球面，問當(dāng)取何值時，球面在定球面內(nèi)部的那部分面積最大？解 由于的中心在已知球面上那一點與結(jié)論無關(guān)，故可設(shè)球面方程為： 兩球面的交線在面上的投影為：投影曲線所圍平面區(qū)域為：球面在定球面內(nèi)部的那部分

13、方程： 這部分的面積為： 再令： 得唯一駐點 又 所以當(dāng)時，球面在定球面內(nèi)部的那部分面積最大。第二型曲面積分（對坐標） 曲面的側(cè)：設(shè)為曲面上的一點，曲面在處的法線方向有兩個方向：當(dāng)取定其中一個為正方向時，則另一個指向就是負方向。設(shè)為上任一點，為上任一經(jīng)過點，且不超過邊界的閉曲線。又設(shè)為動點，它在處與有相同的法線方向，且有如下特性:當(dāng)從出發(fā)沿連續(xù)移動，這時作為曲面上的點，它的法線方向也連續(xù)地變動。最后當(dāng)沿回到時，若的法線方向仍與的法線方向一致，則稱這個曲面是雙側(cè)曲面。 通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面，當(dāng)其法線正方向與軸正方向的夾角成銳角的一側(cè)（上側(cè)）為正側(cè)時，則另一側(cè)（下側(cè)）為負側(cè)。當(dāng)為封閉曲面

14、時，通常規(guī)定曲面的外側(cè)為正側(cè)，內(nèi)側(cè)為負側(cè)。定義：設(shè)為定義在雙側(cè)曲面上的函數(shù)，在所指定的一側(cè)作分割，它把分成 個小曲面，分割的細度，以分別表示在三個坐標面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號由的方向來確定。若的法線正向與軸正向成銳角時，在平面的投影區(qū)域的面積為正，反之，若法線正向與軸正向成鈍角時，在平面的投影區(qū)域的面積為負。在各個小曲面上任取一點，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)在曲面所指定的一側(cè)上的第二型曲面積分（對坐標），記為或。性質(zhì)：與第二型曲線積分類似1. 2. 若存在，則有 3. 若曲面是由兩兩無公共內(nèi)點的曲面塊所組成，且存在，則有 計算： 設(shè)是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)（即的法

15、線方向與軸成銳角），則 。例2 計算，其中是球面在部分并取球面外側(cè)。 解 曲面在第一、第五卦限部分的方程分別為 它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限部分。依題意，積分是沿的上側(cè)和的下側(cè)進行，所以 高斯公式（Gauss公式） 設(shè)空間區(qū)域是由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成，若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 其中取外側(cè)。上述公式稱為高斯公式。例3 計算，其中為由 六個平面所圍成的立方體表面并取外側(cè)為正向。 解 應(yīng)用高斯公式，所求曲面積分等于 例4 計算曲面積分 ， 其中是曲面的上側(cè)。 解 取為平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知而 因此，原式=習(xí)題：1. 計算

16、 其中為平面所圍成的四面體。2. 計算其中由錐面與平面所圍成的閉區(qū)域。3. 計算，其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域。4. 計算，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域。5. 計算，其中是上半球面6. 計算，其中是單位球面的外側(cè)。7. 計算 其中為下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù)。參考答案：1. ，2. ，3. ，4. ，5. ，6. ，7. 斯托克斯公式（Stokes公式）1.斯托克斯公式雙側(cè)曲面的側(cè)與其邊界曲線的方向的規(guī)定：右手法則定理22.4 設(shè)光滑曲面的邊界是按塊光滑的連續(xù)曲線若函數(shù)在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=（2）其中的側(cè)與的方向按右手法則確定如果曲面不能以的形式給出，則可用一些光滑曲線把分割為若于小塊，使每一小塊能用這種形式來表示因而這時（2）式也能成立公式(2)稱為斯托克斯公式，也可寫成如下形式：=.例2 計算，其中為平面與各坐標面的交線，取逆時針方向為正向解 應(yīng)用斯托克斯公式=單連通