直線與圓的方程綜合題典型題1

1、直線與圓的方程綜合題、典型題、高考題主講：曹老師 2012年4月301、已知，直線：和圓：（1）求直線斜率的取值范圍；（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓??？為什么？解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因為，所以，當且僅當時等號成立所以，斜率的取值范圍是 （2）不能由（1）知的方程為，其中圓的圓心為，半徑圓心到直線的距離 由，得，即從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段弧2、已知圓C：，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由。解析：圓C化成標準方程為假設(shè)存在以AB

2、為直徑的圓M，圓心M的坐標為（a，b）由于CMl，kCM×kl= 1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直線l的方程為yb=xa，即xy+ba=0CM=以AB為直徑的圓M過原點，把代入得，當此時直線l的方程為xy4=0；當此時直線l的方程為xy+1=0故這樣的直線l是存在的，方程為xy4=0 或xy+1=0評析：此題用,聯(lián)立方程組，根與系數(shù)關(guān)系代入得到關(guān)于b的方程比較簡單 3、已知點A(2，1)和B(2，3)，圓C：x2y2 = m2，當圓C與線段AB沒有公共點時，求m的取值范圍. 解：過點A、B的直線方程為在l：xy1 = 0, 作OP垂直AB于點P，連結(jié)OB.由圖象得：|

3、m|OP或|m|OB時，線段AB與圓x2y2 = m2無交點. （I）當|m|OP時，由點到直線的距離公式得：，即. （II）當OB時, ,即 . 當和時，圓x2y2 = m2與線段AB無交點.4、已知動圓與軸相切，且過點.求動圓圓心的軌跡方程；設(shè)、為曲線上兩點，求點橫坐標的取值范圍. 解： 設(shè)為軌跡上任一點，則 （4分） 化簡得： 為求。 （6分） 設(shè)， （8分） 或 為求 （12分）5、將圓按向量平移得到圓，直線與圓相交于、兩點，若在圓上存在點，使求直線的方程.解：由已知圓的方程為，按平移得到.即.又，且，. 設(shè)， 的中點為D.由，則，又.到的距離等于.即，.直線的方程為：或.6、已知平面

4、直角坐標系中O是坐標原點，圓是的外接圓，過點（2，6）的直線被圓所截得的弦長為（1）求圓的方程及直線的方程；（2）設(shè)圓的方程，過圓上任意一點 作圓的兩條切線，切點為，求的最大值.解：因為，所以為以為斜邊的直角三角形，所以圓：（2）1）斜率不存在時，：被圓截得弦長為，所以：適合 2）斜率存在時，設(shè)： 即因為被圓截得弦長為，所以圓心到直線距離為2所以 綜上，：或（3）設(shè)，則在中，由圓的幾何性質(zhì)得， 所以，由此可得 則的最大值為.7、已知圓，直線過定點。（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于丙點，線段的中點為，又與的交點為，判斷是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由。解：（1）若直

5、線的斜率不存在，即直線是，符合題意。 2分 若直線斜率存在，設(shè)直線為，即。由題意知，圓心以已知直線的距離等于半徑2，即：， 解之得 5分所求直線方程是， 6分（2）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為由得 8分又直線與垂直，由得 11分 13分 為定值。 故是定值，且為6。 15分8、已知過點,且與:關(guān)于直線對稱.()求的方程；()設(shè)為上的一個動點,求的最小值；()過點作兩條相異直線分別與相交于,且直線和直線的傾斜角互補,為坐標原點,試判斷直線和是否平行?請說明理由. 解:()設(shè)圓心,則,解得(3分)則圓的方程為,將點的坐標代入得,故圓的方程為(5分)()設(shè),則,且=,

6、(7分)所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)(10分)()由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè), 由,得 (11分) 因為點的橫坐標一定是該方程的解,故可得 同理,所以= 所以,直線和一定平行(15分)9、NCMQPOAxy···lml第17題已知過點的動直線與圓：相交于、兩點，是中點，與直線：相交于.（）求證：當與垂直時，必過圓心；（）當時，求直線的方程；（）探索是否與直線的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由.NCMQPOAxy···lml第17題解析：（）與垂直，且，故直線方程為，即2分圓

7、心坐標（0，3）滿足直線方程，當與垂直時，必過圓心 4分（）當直線與軸垂直時, 易知符合題意6分當直線與軸不垂直時, 設(shè)直線的方程為，即，8分則由，得, 直線：. 故直線的方程為或10分（）, 12分 當與軸垂直時，易得，則,又,14分當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線的方程為，則由，得（）,則= 綜上所述，與直線的斜率無關(guān)，且.16分10、已知圓O的方程為且與圓O相切。（1） 求直線的方程；（2） 設(shè)圓O與x軸交與P,Q兩點，M是圓O上異于P,Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為，直線PM交直線于點，直線QM交直線于點。求證：以為直徑的圓C總過定點，并求出定點坐標。解析：（1）直線過點，且與圓：相切

8、，設(shè)直線的方程為，即，2分則圓心到直線的距離為，解得，直線的方程為，即 4分（2）對于圓方程,令，得,即又直線過點且與軸垂直，直線方程為，設(shè)，則直線方程為解方程組,得同理可得, 10分以為直徑的圓的方程為， 又，整理得， 12分若圓經(jīng)過定點，只需令，從而有，解得，圓總經(jīng)過定點坐標為 14分11、已知以點為圓心的圓經(jīng)過點和，線段的垂直平分線交圓于點和，且.(1)求直線的方程；求圓的方程；設(shè)點在圓上，試問使的面積等于8的點共有幾個？證明你的結(jié)論.解：直線的斜率 ，中點坐標為 ， 直線方程為 （4分） 設(shè)圓心，則由在上得： 又直徑,又 （7分）由解得或圓心 或 圓的方程為 或 （9分） ， 當面積為

9、時 ，點到直線的距離為 。 又圓心到直線的距離為，圓的半徑 且 圓上共有兩個點使 的面積為 . （14分）12、在平面直角坐標系xOy中，平行于x軸且過點A的入射光線l1被直線l：反射，反射光線l2交y軸于B點圓C過點A且與l1、l2相切（1）求l2所在的直線的方程和圓C的方程；xyOABl2l1l（2）設(shè)P、Q分別是直線l和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標解析（）直線設(shè) 的傾斜角為，2分反射光線所在的直線方程為 即4分已知圓C與圓心C在過點D且與垂直的直線上， 6分又圓心C在過點A且與垂直的直線上，由得，圓C的半徑r=3故所求圓C的方程為 10分（）設(shè)點關(guān)于的對稱點，則 1

10、2分得固定點Q可發(fā)現(xiàn)，當共線時，最小，故的最小值為為 14分，得最小值 16分13、設(shè)圓的方程為，直線的方程為（1）求關(guān)于對稱的圓的方程；（2）當變化且時，求證：的圓心在一條定直線上，并求所表示的一系列圓的公切線方程解：（1）圓C1的圓心為C1（2，3m+2），設(shè)C1關(guān)于直線l對稱點為C2（a，b）則解得：圓C2的方程為（2）由消去m得a2b+1=0即圓C2的圓心在定直線x2y+1=0上。設(shè)直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，則即直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對所有的m值都成立，所以有：解之得：所以所表示的一系列圓的公切線方程為：14、已知過點A（0，1），且方向向量

11、為，相交于M、N兩點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：；（3）若O為坐標原點，且.解：（1）2分由5分9分11分1214分15、如圖，在平面直角坐標系中，設(shè)的外接圓圓心為E（1）若E與直線CD相切，求實數(shù)a的值；（第16題） ABCDExyO（2）設(shè)點在圓上，使的面積等于12的點有且只有三個，試問這樣的E是否存在，若存在，求出E的標準方程；若不存在，說明理由.解：（1）直線方程為，圓心，半徑.由題意得，解得.6分（2），當面積為時，點到直線的距離為，又圓心E到直線CD距離為(定值)，要使的面積等于12的點有且只有三個，只須圓E半徑，解得，此時，E的標準方程為14分16、已知：和定點，由外一

12、點向引切線，切點為，且滿足(1) 求實數(shù)間滿足的等量關(guān)系；(2) 求線段長的最小值；(3) 若以為圓心所作的與有公共點，試求半徑取最小值時的方程解：（1）連為切點，由勾股定理有又由已知，故.即：.化簡得實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：. （3分） （2）由，得. =.故當時，即線段PQ長的最小值為 （7分）（3）設(shè)P 的半徑為，P與O有公共點，O的半徑為1，即且.而，故當時，此時, ，.得半徑取最小值時P的方程為 （12分）P0l解法2：P與O有公共點，P半徑最小時為與O外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心P為過原點與l垂直的直線l 與l的交點P0.r =

13、1 = 1.又l：x2y = 0,解方程組，得.即P0( ,).所求圓方程為. （12分）17、已知以點為圓心的圓與軸交于點，與軸交于點、，其中為原點。（1） 求證：的面積為定值；（）設(shè)直線與圓交于點，若，求圓的方程。.解 （1）， 設(shè)圓的方程是 令，得；令，得 ，即：的面積為定值 （2）垂直平分線段 ，直線的方程是 ，解得： 當時，圓心的坐標為， 此時到直線的距離，圓與直線相交于兩點當時，圓心的坐標為，此時到直線的距離圓與直線不相交，不符合題意舍去圓的方程為18、已知圓，點，直線.求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一

14、常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標.解：設(shè)所求直線方程為，即，直線與圓相切，得，所求直線方程為 -5分方法1：假設(shè)存在這樣的點，當為圓與軸左交點時，；當為圓與軸右交點時，依題意，解得，（舍去），或。 -8分下面證明 點對于圓上任一點，都有為一常數(shù)。設(shè)，則， ，從而為常數(shù)。 -15分方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，將代入得，即對恒成立， -8分，解得或（舍去），所以存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù)。 -15分19、已知圓通過不同的三點，且圓C在點P處的切線的斜率為1.（1）試求圓的方程；（2）若點A、B是圓C上不同的兩點，且滿足，試求直線AB的斜率；若原點O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求

15、直線AB在軸上的截距的范圍。x解析.（1）設(shè)圓方程為，CQPOy·第 18 題R則圓心，且PC的斜率為-12分所以6分解得，所以圓方程為8分（2），所以AB斜率為112分設(shè)直線AB方程為，代入圓C方程得設(shè)，則原點O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，即14分整理得，1620、如圖，在矩形中，以為圓心1為半徑的圓與交于（圓弧為圓在矩形內(nèi)的部分）（）在圓弧上確定點的位置，使過的切線平分矩形ABCD的面積；（）若動圓與滿足題（）的切線及邊都相切，試確定的位置，使圓為矩形內(nèi)部面積最大的圓.解（）以A點為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系設(shè)，圓弧的方程切線l的方程：（可以推導(dǎo)：設(shè)直線的斜率為，

16、由直線與圓弧相切知：，所以，從而有直線的方程為，化簡即得）設(shè)與交于可求F（），G（），l平分矩形ABCD面積， 又 解、得：（）由題（）可知：切線l的方程：，當滿足題意的圓面積最大時必與邊相切，設(shè)圓與直線、分別切于，則（為圓的半徑），由點坐標為注意：直線與圓應(yīng)注意常見問題的處理方法，例如圓的切線、弦長等，同時應(yīng)注重結(jié)合圖形加以分析，尋找解題思路。21、已知圓的方程為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，切點為（1）若，試求點的坐標；（2）若點的坐標為，過作直線與圓交于兩點，當時，求直線的方程；（3）求證：經(jīng)過三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.解：（1）設(shè)，由題可知，所以，解之得：故

17、所求點的坐標為或4分（2）設(shè)直線的方程為：，易知存在，由題知圓心到直線的距離為，所以，6分解得，或，故所求直線的方程為：或8分（3）設(shè)，的中點，因為是圓的切線所以經(jīng)過三點的圓是以為圓心，以為半徑的圓，故其方程為：10分化簡得：，此式是關(guān)于的恒等式，故解得或所以經(jīng)過三點的圓必過定點或.14分22、已知圓：，設(shè)點是直線：上的兩點，它們的橫坐標分別是，點在線段上，過點作圓的切線，切點為（1）若，求直線的方程；（2）經(jīng)過三點的圓的圓心是，求線段長的最小值解：（1）設(shè)解得或（舍去）由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k所以直線PA的方程為，即直線PA與圓M相切，解得或直線PA的方程是或（2）設(shè)與圓M相切

18、于點A，經(jīng)過三點的圓的圓心D是線段MP的中點的坐標是設(shè)當，即時，當，即時，當，即時則23、（2009年江蘇卷）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：和圓C2：.（）若直線l過點A(4, 0)，且被圓C1截得的弦長為，求直線l的方程；（）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標. 解：（）由于直線x4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在, 設(shè)直線l的方程為, 圓心C1到直線l的距離為d , 因為直線l被圓C1截得的弦長為, 所以 , , k0或 所求

19、直線l的方程為y0或7x24y280（）設(shè)點P(a, b) 直線l1：；l2： 因為圓C1、圓C2的半徑相等，且分別被直線l1、l2截得的弦長相等，所以圓心C1到直線l1的距離、圓心C2到直線l2的距離相等. , (a3)k(1b)(5b)k(4a) 或 (a3)k(1b)(5b)k(4a) k的取值有無窮多個 或 解得 或 或24. （2008年江蘇卷）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f (x)x22xb（xR）的圖像與兩個坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三點的圓記為C. （）求實數(shù)b的取值范圍； （）求圓C的方程；（）問圓C是否經(jīng)過定點（其坐標與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.解一：（）若b0，則f (x)x22x 與坐標軸只有兩個交點（0, 0）和（2 ,0）, 矛盾！ b0 , 二次函數(shù)的圖象與y軸有一個非原點的交點(0 ,b）, 故它與x軸必有兩個交點，方程x22xb0有兩個不相等的實數(shù)根，0， 44b0 , b1且b0 b的取值范圍是（, 0）(0 ,1）. （）由方程x22xb0得 ,函數(shù)的圖