完整版現(xiàn)代控制理論東大習(xí)題0922

1、第二章知識(shí)點(diǎn)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立：物理機(jī)理直接建立；高階微分方程轉(zhuǎn)化；傳遞函數(shù)建立組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：并聯(lián)；串聯(lián)；反饋線性變換：變換矩陣的計(jì)算離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2.0建立下圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，其中 皿儂為小車質(zhì)量，匕*2為相應(yīng)的彈簧系數(shù)，S,S2為相應(yīng)小車的位移，u為外力。（這 里忽略摩擦阻尼）7/7/S/7/7/1）確定輸入變量和輸出變量輸入變量：u 輸出變量：位移*,S22）將小車彈簧系統(tǒng)分為2個(gè)子系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律（u f ma） 分別寫出微分方程。首先對小車mi進(jìn)行分析，得到如下微分方程u k1 (s1s2)mid2sl同理，對小車m2進(jìn)行分析，可有k1(s

2、1 s2) k2 s2d2s2dt23)根據(jù)上述2個(gè)子系統(tǒng)微分方程的階次選擇狀態(tài)變量選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為Xi si,X2&,X3 s2,X4將子系統(tǒng)的微分方程寫成一階微分方程組的形式，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X21 一u ki(s1 mis2)上 XimikiX3 mi1-u miX4Lki(*Xik1k2X3m2m2m2Xi系統(tǒng)的輸出方程為yiV2最后寫成矩陣形式，狀態(tài)空間表達(dá)式可寫為0100旦0 旦 0 x1mim1x20001x3ki0k1k20 x410 0 00 0 10X1X2x301m1 u00m2m2X42.1有電路圖如圖P2.1所示，設(shè)輸入為5,輸出為U2,試自選狀態(tài)變量并

3、列寫出其狀態(tài)變量表達(dá)式解：系統(tǒng)如圖R1212.H H QR2U1U C1 U 2U C2ii圖 P2.1確定了輸入輸出變量，根據(jù)電路定律列寫微分方程設(shè)C1兩端電壓為Uc1, C2兩端的電壓為Uc2,則dUc2 一Uc1 C2, R2 Uc2 U1dtdU1 Uc1 c dUc2C1C2dt R dt根據(jù)微分方程的階次選擇狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量為X1 Uc1 , x2Uc2 ,由式(1)和(2)得:狀態(tài)空間表達(dá)式為:即:x&x&du。dt3dtR2Ri_ _ _ UciRi R2Cii-Uc2R2c11 Ui R2ciUciR2c 21Uc2R2 c21-UiR2c 2R2Ri vx

4、i RR2cliX2R2cl i1UiR2cl1R2c2U2Uix1XiR2c2X2-uiR2c2RR2 clR Rzg1R2c2R2g1R2c2xiX2R2g1R2c2UiXii 0X2Ui2.2建立圖P2.2所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，其中,Mi量，K為彈簧系數(shù)，Bi,B2為阻尼，f(t)為外力，設(shè),M2為重物質(zhì)y2分別為Mi ,M2的位移量。Bi圖 P2.2解：確定輸入量和輸出量令輸入f(t)為輸入量，Mi , M2的位移量yi , y2為輸出量, 根據(jù)牛頓定律列寫微分方程分別對重物Mi, M2進(jìn)行受力分析后，得到如下微分方程M1d2yidt2Kyid(y2 yi)dtM2>f(t)

5、Bid(y2 yi)dtdy2dt根據(jù)上述2個(gè)子系統(tǒng)微分方程的階次選擇狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量入上面兩個(gè)式子，輸出方程為:dy1xiyi , X2y2 , x31，經(jīng)整理得狀態(tài)方程為：& X3x2 x49 KBiBX3XiX3X4M i M iM icBiB B2X4X3 ()X4M2 M2 M2y iXiy 2x 2以。連同u f代 dt1uM2寫成矩陣形式為:x 為 網(wǎng) 雙00100001X1K0旦旦X2M1M1M1X300旦（且馬 M2 M2X4M200 u1M2為V11000x2V20100X3X42.4如圖P2.3所示的水梢系統(tǒng)。設(shè)水梢1的橫截面積為C1 ,水位為Xi ;水梢2的

6、橫截面積為C2,水位為X2；設(shè)R、R2、R3為各水管的阻抗時(shí), 推導(dǎo)以水位七、X2作為狀態(tài)變量的系統(tǒng)微分方程式。但是，輸入 u是單位時(shí)間的流入量，,、y2為輸出，是單位時(shí)間由水梢的流出量。C1X1C2X2R1R3R2y1y2圖P2.3水梢系統(tǒng)解：確定了單位時(shí)間的流入量u為輸入，單位時(shí)間由水梢的流出量乂、y2為輸出量，在水梢1,考慮時(shí)間增量t內(nèi)水量的進(jìn)出。單位時(shí)間的流入量是 輸入u和有兩個(gè)水梢的水位差決定的水量（X2 X1）/R3 ,流出量是y1 x"R。（類似電壓，電阻，電流的意義）設(shè)水位的增量為則水量的增量是J %,則單位時(shí)間內(nèi)的水量增量為Cl2StX1 (X2 X1) uRR3同

7、樣，得到水梢2單位時(shí)間內(nèi)的水位增量有如下關(guān)系。c2 x2X2 (X1R2R3設(shè)t 0,則XI /t)南,(X2 /t)%,因此可有下列微分方1X2 uC1X2X1C2 R3C2R2C2R3)X2輸出方程為1V】X1R11V2 - X2R2設(shè) xx1 x> TyiTV2,將上述微分方程組寫成矩陣形式如下C1R11Ci ng1gR1 1C2R3C2R2C2R30x 1 r21Ry0化對角（約當(dāng)）標(biāo)準(zhǔn)型的步驟求取系統(tǒng)矩陣 A的n個(gè)特征根i,L ,0和對應(yīng)的特征向量Pl,L ,Pn令 P （Pl,L ,Pn）1做變換A P 1AP On2.14試將下列狀態(tài)方程化為對角標(biāo)準(zhǔn)形1）解：求特征值1 A

8、 5求特征向量居 01X10u&56 X21(6) 5 (5)(1) 0611, 25a、對于11：（對應(yīng)11的特征向量滿足（1lA）V10）,故有11V110vn155v1205151v21051v220構(gòu)造P,(令P (PR)求P 1541414141B1P 1AP541414141414得到對角形的狀態(tài)方程為1414X12)&0312X1X2X3U1U2求特征值3122,1)(2)(3) 0求特征向量110V110V111312V120V1211275V130V131b、對于 22有：210V110V112322V120V1241274V130V131c、對于 23有：3

9、10V110V111332V120V121273V130V133（凡P2,R）求 p（令P1。構(gòu)造P9235252232求A,1AP1B9235252232372所求。372152720 u00327“1622.15試將下列狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形& 忌&解：求特征值：I Ax131U1412X227102U2X353113412_ 212(1)(3)01131,求特征向量a、對于 1 有：（1I A）v10312Vli112v12112V130v1100v1220v131b、對于 3有:由(1lA)v20,有112v210v211132v220v221

10、110v230v231由(1lA)v3v2 ，有v31V32V33V31V32V33構(gòu)造P ,（令P（巴巴上3）求A, Bo1AP1B10000103011101 ,3122所求的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為2.16已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為4u求其對應(yīng)的傳遞函數(shù)。C(sIA) 1BsI A1(sI A) 1(s 5)(s 1) 3 3（線性代數(shù)知識(shí)，設(shè)A=a1.a2a12a22a1na2nan1an2annA1AAnA2n1detA1detAA1A：AiAn2AnA2nG(s) C(sI A)11B所對應(yīng)的行列式detA中元素aij的代數(shù)余子式矩陣為AAn(s 2)(s 4)4s2 36s 91s2 6s

11、82.8已知系統(tǒng)的微分方程1)y 4y5y3u ；2)2y3y u3)2y 3y5y5u7u試列寫出它們的狀態(tài)空間表達(dá)式。1）此題微分方程右邊不含有輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用有高階微分方程轉(zhuǎn)化狀態(tài)空間表達(dá)式的公式直接寫出,010MO0XXu0010anan 1La11y 1, L , 0, 0, L 0x令y Xi , & X2,典X3 ,則有x1 X2X X3X35為 4x2 x3 3uy X狀態(tài)空間表達(dá)式為：&010Xi0&001X20uX3541X33Xiy 1 0 0 X2X32) 已知系統(tǒng)的微分方程(2y 3y u u ),利用由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法。首先對微分方程取零初始條件下的拉氏變換，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)后，再 由傳遞函數(shù)求取狀態(tài)空間表達(dá)式。本題利用直接法。對微分方程取拉氏變換得2s3y(s) 3sy(s) s2u(s) u(s)1 21y(s)s2 12s 3u(s) 2s3 3s 3 3s s2見教材中的公式(2.3.47a) 和(2.3.47b)&01 L 0 為%00 Ox2M MO 1 M&anan 1 LaiXn0M u01bnbn 1 Lb1X2MXn從而X1X2X3010X1001x23x30-032XiX1X2X33）采用拉氏變換法求取狀態(tài)