相似三角形動(dòng)點(diǎn)問題分類討論問題培優(yōu)及答案

1、1.如圖，已知一個(gè)三角形紙片，邊的長(zhǎng)為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在中，設(shè)的長(zhǎng)為，上的高為（1）請(qǐng)你用含的代數(shù)式表示（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設(shè)點(diǎn)落在平面的點(diǎn)為，與四邊形重疊部分的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，最大，最大值為多少？【答案】解：（1）（2）的邊上的高為，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)或邊上時(shí)，=（0）當(dāng)落在四邊形外時(shí)，如下圖，設(shè)的邊上的高為，則所MNCBEFAA1綜上所述：當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，最大，2如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若

2、存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】解：（1）該拋物線過點(diǎn)，可設(shè)該拋物線的解析式為將，代入，得解得此拋物線的解析式為（2）存在如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，又，當(dāng)時(shí)，即解得（舍去），當(dāng)時(shí)，即解得，（均不合題意，舍去）當(dāng)時(shí)，類似地可求出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述，符合條件的點(diǎn)為或或3如圖，已知直線與直線相交于點(diǎn)分別交軸于兩點(diǎn)矩形的頂點(diǎn)分別在直線上，頂點(diǎn)都在軸上，且點(diǎn)與點(diǎn)重合（1）求的面積；（2）求矩形的邊與的長(zhǎng)；（3）若矩形從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸的反方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的取值范圍A

3、DBEOCFxyy（G）【答案】（1）解：由得點(diǎn)坐標(biāo)為由得點(diǎn)坐標(biāo)為由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為 （2）解：點(diǎn)在上且 點(diǎn)坐標(biāo)為又點(diǎn)在上且點(diǎn)坐標(biāo)為 （3）解法一：當(dāng)時(shí)，如圖1，矩形與重疊部分為五邊形（時(shí)，為四邊形）過作于，則ADBEORFxyyM（圖3）GCADBEOCFxyyG（圖1）RMADBEOCFxyyG（圖2）RM即即當(dāng)時(shí)，如圖2，為梯形面積，G（8t,0）GR=,當(dāng)時(shí)，如圖3,為三角形面積，4如圖，矩形中，厘米，厘米（）動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別沿，運(yùn)動(dòng)，速度是厘米秒過作直線垂直于，分別交，于當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（1）若厘米，秒，則_厘米；（2）若厘米，求時(shí)間，使，并求出它們

4、的相似比；（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；DQCPNBMADQCPNBMA（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】解： （1），（2），使，相似比為（3），即，當(dāng)梯形與梯形的面積相等，即化簡(jiǎn)得，則，（4）時(shí)梯形與梯形的面積相等梯形的面積與梯形的面積相等即可，則，把代入，解之得，所以所以，存在，當(dāng)時(shí)梯形與梯形的面積、梯形的面積相等5如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的

5、速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR/BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，APRPRQ？【答案】 解：(1)BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時(shí),AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因?yàn)锽=600,所以BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QEAB,垂足為E,由QB=2y,得QE=2tsin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以SBPQ=BPQE=(6-t)t=t2+3t；(

6、3)因?yàn)镼RBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因?yàn)镃=600,所以QRC是等邊三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因?yàn)锽E=BQcos600=2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EPQR,EP=QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,又因?yàn)镻EQ=900,所以APR=PRQ=900.因?yàn)锳PRPRQ,所以QPR=A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以當(dāng)t=時(shí), APRPRQ6在直角梯形OABC中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求

7、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD5，OE2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F求直線DE的解析式；（3）點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由ABDE（第26題 圖1）FCOMNxy圖7-2ADOBC21MN圖7-1ADBMN12圖7-3ADOBC21MNO.7在圖15-1至圖15-3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，1=2=45（1）如圖15-1，若AO=OB，請(qǐng)寫出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；圖4ADOBC21MNEF（2）將圖15-1中的MN繞點(diǎn)

8、O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中AO=OB求證：AC=BD，ACBD；（3）將圖15-2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖15-3，求的值【答案】 解：（1）AO=BD，AOBD； （2）證明：如圖4，過點(diǎn)B作BECA交DO于E，ACO=BEO又AO=OB，AOC= BOE，AOCBOEAC=BE 又1=45， ACO=BEO=135DEB=452=45，BE=BD，EBD=90AC=BD 延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于F，AOBC1D2圖5MNE如圖4BEAC，AFD=90ACBD（3）如圖5，過點(diǎn)B作BECA交DO于E，BEO =ACO又BOE =AOC ， BOEAOC 又OB=kAO，由（2）的

9、方法易得 BE=BD 10如圖，已知過A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿MA作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)。（1）經(jīng)過多少時(shí)間，線段PQ的長(zhǎng)度為2？（2）寫出線段PQ長(zhǎng)度的平方y(tǒng)與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，是否可能出現(xiàn)PQMN？若有可能，求出此時(shí)間t；若不可能，請(qǐng)說明理由；（4）是否存在時(shí)間t，使P、Q、M構(gòu)成的三角形與MON相似？若存在，求出此時(shí)間t；若不可能，請(qǐng)說明理由； Y N A Q O P M X考點(diǎn)五：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題1在矩形ABCD中，AB=12c

10、m，AD=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0t6），那么當(dāng)t為何值時(shí)，APQ與ABD相似？說明理由2（2011烏魯木齊）如圖，在ABC中，B=90，AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t=2.5秒時(shí)，求CPQ的面積；求CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動(dòng)的過程中，當(dāng)CPQ為等腰三角

11、形時(shí)，寫出t的值；3（ 金華）如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQBC；（2）當(dāng)，求的值；（3）APQ能否與CQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由4如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（6，0），（6，8）動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NPBC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（1）用含x的代數(shù)式表示P的坐標(biāo)（直接寫出答案）；（2）設(shè)y=S四邊形OMPC，求y的最小值，并求此時(shí)x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由5、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，過作于（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使以為頂點(diǎn)的三角形也與相似？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，說明理由6（2012雞西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知RtAOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長(zhǎng)分別是方程x27x+12=0的兩根（OA