線性代數(shù)同濟版

1、線性代數(shù) 課 程 教 案學院、部 系、所 授課教師 課程名稱 線性代數(shù) 課程學時 45學時 實驗學時 教材名稱 年 月 日 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 3 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）：第一章 行列式§1 二階與三階行列式§2 全排列及其逆序數(shù)§3 階行列式的定義§4 對換本授課單元教學目標或要求：1. 會用對角線法則計算2階和3階行列式。2. 知道階行列式的定義。本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：基本內(nèi)容：行列式的定義1. 計算排列的逆序數(shù)的方法設(shè)是這個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小

2、到大為標準次序。先看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為；再看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為；最后看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為；則此排列的逆序數(shù)為。2. 階行列式其中為自然數(shù)的一個排列，為這個排列的逆序數(shù)，求和符號是對所有排列求和。階行列式中所含個數(shù)叫做的元素，位于第行第列的元素，叫做的元。3. 對角線法則：只對2階和3階行列式適用重點和難點：理解行列式的定義行列式的定義中應(yīng)注意兩點：(1) 和式中的任一項是取自中不同行、不同列的個元素的乘積。由排列知識可知，中這樣的乘積共有項。(2) 和式中的任一項都帶有符號，為排列的逆序數(shù)，即當是偶排列時，對應(yīng)的項取正號；當是奇排列時，對應(yīng)的項取負號。綜上所

3、述，階行列式恰是中所有不同行、不同列的個元素的乘積的代數(shù)和，其中一半帶正號，一半帶負號。例：寫出4階行列式中含有的項。解：和。例：試判斷和是否都是6階行列式中的項。解：下標的逆序數(shù)為，所以是6階行列式中的項。下標的逆序數(shù)為，所以不是6階行列式中的項。例：計算行列式解：本授課單元教學手段與方法：講授與練習相結(jié)合首先通過二（三）元線性方程組的解的表達式引出二（三）階行列式的定義。然后介紹有關(guān)全排列及其逆序數(shù)的知識，引出階行列式的定義。通過討論對換以及它與排列的奇偶性的關(guān)系，引導(dǎo)學生了解行列式的三種等價定義。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：§1 P.26 1(1)(3)§2 2(

4、5)(6)本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講（同濟第四版） 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）：第一章 行列式§5 行列式的性質(zhì)§6 行列式按行（列）展開§7 克拉默法則本授課單元教學目標或要求：1 知道階行列式的性質(zhì)。2 知道代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)。3 會利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計算簡單的階行列式。4 知道克拉默法則。本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：基本內(nèi)容：1. 行列式的性質(zhì)(1) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式

5、相等。(2) 互換行列式的兩行（列），行列式變號。(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子，則可提到行列式記號之外。(4) 行列式中如果有兩行（列）元素完全相同或成比例，則此行列式為零。(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均為兩項之和，則此行列式等于兩個行列式之和。(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變。2. 行列式的按行（列）展開(1) 把階行列式中元所在的第行和第列劃去后所成的階行列式稱為元的余子式，記作；記，則稱為元的代數(shù)余子式。(2) 階行列式等于它的任

6、一行（列）的各元素與對應(yīng)于它們的代數(shù)余子式的乘積的和。即可以按第行展開：；或可以按第列展開：.(3) 行列式中任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即，或 .3. 克拉默法則含有個未知元的個線性方程的方程組當全為零時，稱為齊次線性方程組；否則，稱為非齊次線性方程組。(1) 如果方程組的系數(shù)行列式，那么它有唯一解：，其中是把中第列元素用方程組的右端的自由項替代后所得到的階行列式。(2) 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，那么它的系數(shù)行列式。(3) 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式必定等于零。用克拉默法

7、則解線性方程組的兩個條件：(1) 方程個數(shù)等于未知元個數(shù)；(2) 系數(shù)行列式不等于零?？死▌t的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo).4. 一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主對角線上的元素的乘積。即特別地，對角行列式等于對角線元素的乘積，即.類似地，.(2) 設(shè)，則.(3) 范德蒙（Vandermonde）行列式計算行列式常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。重點和難點：行列式的計算，要注重學會利用行列式性質(zhì)及按行（列）展開等基本方法來簡化行列式的計算。例：課本P.12例7例9例

8、：課本P.21例13例：課本P.25例16本授課單元教學手段與方法：講授與練習相結(jié)合以從行列式的定義為切入口，引導(dǎo)學生探討行列式的各種性質(zhì)。通過大量的例題引導(dǎo)學生掌握如何利用行列式性質(zhì)及按行（列）展開等基本方法來簡化行列式的計算。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：思考題問：當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何？答：當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能否用克拉默法則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：§5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5)§6 P.2

9、6 5 (4)，7 (3) (6)§7 P.28 8(1)，9本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講（同濟第四版） 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）：第二章 矩陣及其運算 §1 矩陣 §2 矩陣運算 §3 逆矩陣 §4 矩陣分塊法本授課單元教學目標或要求： 掌握矩陣的定義,矩陣的加減法數(shù)乘轉(zhuǎn)置矩陣求逆矩陣的行列式分塊矩陣等運算,了解矩陣多項式運算本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：本章擬分3次課完成,第

10、一講: §1矩陣,§2矩陣的運算;第二講: §3逆矩陣;第三講: §4矩陣分塊法第一講: §1矩陣,§2矩陣的運算; 基本內(nèi)容:§1 矩陣:一 矩陣的定義,定義1 由M×N個數(shù)組成的行列的數(shù)表稱為行列矩陣,簡稱M×N矩陣,為表示它是一個整體,總是加一個括弧,并用大寫黑體字母表示它,記作這M×N個數(shù)稱為菊陣A的元素,簡稱為元,數(shù)位于矩陣A的第行列,稱為矩陣A的(I,J)元,以數(shù)為(I,J)元的矩陣可簡記為或,M×N矩陣A也記著.元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣行數(shù)和

11、列數(shù)都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣, 階矩陣A也記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣,又稱為行向量, 行矩陣也記作只有一列的矩陣稱為列矩陣,又稱為列向量.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等,稱它們是同型矩陣,如果A=,B=是同型矩陣,并且它們的對應(yīng)元素相等,即),那么就稱矩陣A與矩陣B相等,級作A=B元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作O,不同型的零矩陣是不同的.§2 矩陣的運算一 矩陣的加法定義2 設(shè)有兩個矩陣A=和B=,那么矩陣A與B的和記著A+B,規(guī)定為兩個矩陣是同型矩陣時才能進行加法運算.矩陣加法滿足下列運算規(guī)律(設(shè)A,B,C都是矩陣):() A+B=B+A;()(A+B)+C=A+(B+

12、C)A=的負矩陣記為 -A= A+(-A)=O規(guī)定矩陣的減法為A-B=A+(-B)二 矩陣的數(shù)乘定義3 數(shù)與矩陣A的乘積記作或,規(guī)定為矩陣數(shù)乘滿足下列運算規(guī)律(設(shè)A,B為矩陣,為數(shù)):(1) ;(2) (3) 重點,難點:矩陣乘矩陣:讓學生充分理解矩陣乘矩陣的定義,特別強調(diào)前面矩陣的列等于后面矩陣的行的原因.說明矩陣乘法常態(tài)下不滿足消去率,通過練習提高學生的計算準確率.三 矩陣乘矩陣定義4 設(shè)A=()是一個矩陣,B=()是一個矩陣,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣C=(),其中把此乘積記為 C=AB且有例4 求矩陣 A=與的乘積 解 C=AB=例5 求矩陣A=與B=的乘積AB與BA 解 AB

13、= BA=對于兩個階方陣A,B,若AB=BA,稱方陣A與B可交換從上面等式可以得出結(jié)論:若而也不能得出X=Y的結(jié)論矩陣的乘法雖不滿足交換律,滿足結(jié)合律和分配律(1) (AB)C=A(BC)(2) 為數(shù)(3) A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA 對于單位矩陣E,有 即: EA=AE=A特殊矩陣:1 單位矩陣; E=2 數(shù)量矩陣3 對角矩陣4 ;三角矩陣 或可以得到:表明純量矩陣跟任何矩陣可交換 定義矩陣的冪為其中為正整數(shù)例6 證明證 用數(shù)學歸納法,時顯然成立,設(shè)=時成立,即當時,有 = =等式得證. 四 矩陣的轉(zhuǎn)置 定義5 把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣

14、,記作 A=.則A的轉(zhuǎn)置也是一種運算,滿足(1) (2) (3) (4) (AB)證明(4) 設(shè),B=,記,有而的第行為,的第列為,因此有例7 已知 ,B=求解 因為 =所以若A是階方陣,如果滿足,即那么A稱為對稱矩陣. 例 設(shè)列矩陣X=滿足,E是階單位陣,證明是對稱矩陣,且 證 所以H是對稱矩陣. = =+ =+ =+=五 方陣的行列式 定義6 由階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素位置不變),稱為方陣A的行列式,記作或.滿足下列運算規(guī)律(A,B為階方陣,為數(shù))(1) (2) (3) ,且例9 行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下的矩陣稱為A的伴隨矩陣,試證證明 設(shè),記,則故 類似有本授

15、課單元教學手段與方法： 講授為主,練習為輔,主要讓學生充分理解矩陣運算的定義,原則,從而掌握矩陣運算,并通過練習提高學生運算的準確率.本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P53:3.4(1),(2);(3),(4)本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講（同濟第四版）注：1.每單元頁面大小可自行添減；2.一個授課單元為一個教案；3. “重點”、“難點”、“教學手段與方法”部分要盡量具體；4.授課類型指：理論課、討論課、實驗或?qū)嵙曊n、練習或習題課。 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)第二講: §3逆矩陣 基本內(nèi)容: §

16、3 逆矩陣定義7 對于階矩陣A,如果有一個階矩陣B,使則說矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣,簡稱逆陣.記為 如果A可逆,則A的逆陣是唯一的.因為:設(shè)B,C都是A的逆陣,則有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 定理1 若矩陣A可逆,則 證 A可逆,即有,使,故所以. 定理2 若,則矩陣A可逆,且其中為A的伴隨矩陣. 證 由例9可知所以有按照逆矩陣的定義知A可逆,且有當時稱A為奇異矩陣,否則稱A為非奇異矩陣,可逆矩陣就是非奇異矩陣.推論 若,則證 ,故,因而存在,有逆陣滿足下列運算:(1) 若A可逆,則也可逆,且.(2) 若A可逆,數(shù),則可逆,且(3) 若A,B為同階矩陣且可逆,

17、則AB也可逆,且證 ,由推論有: (4) 若A可逆,則也可逆,且證 ,由推論有: 當時,定義 ,為正整數(shù)這樣,當,為整數(shù),有重點,難點:逆矩陣的求法.定理2說明通過求伴隨矩陣的方式,讓學生掌握矩陣求逆,并告知學生下一章里還有更簡單的求逆方法.例10 求二階矩陣的逆陣.解 , 當時,有例11 求方陣的逆陣.解 ,知A可逆,的余子式得所以例12 設(shè) ,求矩陣X使其滿足 解 若存在,有即 = =例13 設(shè)P=求解 而 ,所以 = 定義 設(shè) 為的次多項式,A為階矩陣,記稱為矩陣A的次多項式.,可證矩陣A的兩個多項式和是可交換的,即有A的多項式可以象數(shù)的多項式一樣相乘或分解因式.例如容易證明(1) 如果

18、,則,從而(2) 如果 為對角陣,則,從而本授課單元教學手段與方法： 講授為主,練習為輔,通過逆矩陣的定義及定理2的證明讓學生充分掌握矩陣的求逆運算,并告知學生在下一章里還可用更簡練的方法計算逆矩陣本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講（同濟第四版） 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)第三講: §4矩陣分塊法基本內(nèi)容:§4 矩陣分塊法. 對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A,運算時常采用分塊法,使大矩陣的運算化成小矩陣的運算

19、將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣,每一個小矩陣稱為A的子塊.以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣. 例 將矩陣可以分塊為 (1) (2) (3) 分法(1)可記為其中 , ,分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則類似,滿足:(1) 設(shè)矩陣A與矩陣B的行數(shù)相同,列數(shù)相同,采用相同的分塊法,有 ,其中,與的行數(shù)相同,列數(shù)相同,那么(2) 設(shè),為數(shù),那么(3) 設(shè)A為矩陣,B為矩陣,分塊成,其中的列數(shù)分別等于的行數(shù),那么其中 重點,難點: 分塊矩陣的乘法運算,對于四階且子塊含有零矩陣,單位陣,對角陣的高階,一般做四塊分且盡量分出單位陣,零矩陣.例14 設(shè)求AB解 把A,B分塊成則 =而 =

20、+= =+所以 (4) 設(shè),則(5) 設(shè)A為階矩陣,若A的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且在對角線上的子塊都是方陣,即其中都是方陣,稱A為分塊對角矩陣.分塊對角矩陣的行列式有下列性質(zhì):若,則,并有例15 設(shè),求解 , 對矩陣進行按行分快或按列分塊:矩陣A有行,稱為矩陣的個行向量,若第行記作則矩陣A記為矩陣A有列,稱為矩陣A的個列向量,若第列記作則 對于矩陣與矩陣的乘積矩陣AB=C=,若把行分成塊,把B分成塊,有其中以對角陣左乘矩陣時把A按行分塊,有 =以對角陣右乘矩陣時把A按列分塊,有 =例16 設(shè),證明證 設(shè),把A的列向量表示為A=,則 =因為,所以, ,特別有而 得

21、 即 下面用分塊矩陣證明第一章中的克萊姆法則克萊姆法則 對于個變量, 個方程的線性方程組如果它的系數(shù)行列式,則它有唯一解 證 把方程組寫成向量方程這里為階矩陣,因,故存在.表明是方程組的解向量,也是唯一的解向量.由于,所以,即也就是 本授課單元教學手段與方法： 講授為主,練習為輔,通過對高階矩陣特別是可分出部分零矩陣或單位陣的四階矩陣的分塊讓學生掌握分塊矩陣的加法運算,數(shù)乘運算,矩陣乘矩陣的運算,以及求逆矩陣的運算,并列舉了幾個典型例子的運算.本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P55:26;P56:29.本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講（同濟第

22、四版） 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 1 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）：第三章 矩陣的初等變換與線性方程組§3.1 矩陣的初等變換本授課單元教學目標或要求： 熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形；知道矩陣等價的概念。本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：1.基本內(nèi)容 定義與記號初等行變換與行等價;初等列變換與列等價;初等變換,與等價.矩陣的行階梯形、行最簡形、標準形2.重點 矩陣的初等變換對矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換： (1) 交換矩陣的兩行(列); (2) 以一個非零的常數(shù)乘矩陣的某一行(列)

23、; (3) 把矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列).3.例題與解題方法 參見PPT本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）： 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組§3.2 初等矩陣本授課單元教學目標或要求： 知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系，掌握用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法.本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：1.基本內(nèi)容 初等矩陣(1) 定義 單位陣經(jīng)一次初等變換所得矩陣稱為初等矩陣.(2) 對矩陣作一次初等行(列)變換相當于用對應(yīng)的初等矩陣左

24、(右)乘.(3) 初等變換及其逆變換與初等矩陣及其逆陣的對應(yīng)可列表如下：初等變換初等矩陣逆變換逆矩陣(4) 方陣可逆存在可逆矩陣使(5) 若則可逆，且特別地，若則可逆，且2.重點、難點對矩陣作一系列初等行(列)變換，相當于用可逆矩陣左(右)乘，由此引出用初等變換求逆陣的方法；會用矩陣的初等行變換求矩陣的逆矩陣；會用矩陣的初等行變換求矩陣方程的解.3.例題與解題方法例1 設(shè)其中可逆，則等于(A) (B) (C) (D) 分析：把矩陣的1,4兩列對換,2,3兩列對換即得到矩陣,根據(jù)初等矩陣的性質(zhì),有或那么所以應(yīng)選(C).例2 設(shè)4階矩陣且矩陣滿足關(guān)系式試將所給關(guān)系式化簡,并求出矩陣.解：由所給的矩

25、陣關(guān)系得即故用初等變換法求由于故其他例題參見PPT本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 1.5 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）： 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組§3.3 矩陣的秩本授課單元教學目標或要求：1.理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣的秩的原理，掌握用初等變換求矩陣的秩的方法。知道矩陣的標準形與秩的關(guān)系。2.知道矩陣秩的基本性質(zhì)。本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：1.基本內(nèi)容矩陣的秩(1) 定義 矩陣的階子式，矩陣的秩。(2) 的行階梯形含個非零行的標準形(3) 矩陣秩的

26、性質(zhì) 若則 若可逆，則 特別地，當為列向量時，有 若則2.重點、難點矩陣秩的概念，矩陣秩的性質(zhì)，利用初等變換求秩，應(yīng)用矩陣的秩解決問題。3.例題與解題方法例1.設(shè)三階矩陣為試求秩分析 矩陣含有參數(shù)因此其秩一般隨的變化而變化，討論其秩主要從兩點著手分析：矩陣秩的行列式定義和初等變換不改變矩陣的秩。解: 方法一 直接從矩陣秩的行列式定義出發(fā)討論由于 故 當且時, 當時, 且 當時, 且,這時有二階子式因此方法二 利用初等變換求秩因此 當且時, 當時, 當時, 例2. 設(shè)為矩陣且的秩為3,求解: 方法一 用初等變換可見, 則必有即方法二 因為的秩為3,故其4階子式解得例3. 設(shè)為階矩陣的伴隨矩陣,證

27、明證明: 已知則可逆由知可逆,所以若則由又由矩陣秩的行列式定義有,矩陣至少有一個階子式不為零,那么矩陣中至少有一個元素非零,所以從而有若則的任一階子式為零,故,所以本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 1.5 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）： 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組§3.4 線性方程組的解本授課單元教學目標或要求：1.理解線性方程組無解,有唯一解或有無限多個解的充分必要條件(包括非齊次線性方程組有解的充分必要條件及齊次線性方程組有非零解的充要條件).2.熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法。3.知道矩陣方程有解的充要條件。

28、本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：1.基本內(nèi)容 (1) 線性方程組的解法 1 基本定理 元線性方程組 無解的充分必要條件是 有唯一解的充分必要條件是 有無限多解的充分必要條件是 2 求解線性方程組的步驟(見教材) (2) 重要定理 定理1 線性方程組有解的充分必要條件是 定理2 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 把定理1推廣到矩陣方程，得 定理3 矩陣方程有解的充要條件是2.重點、難點根據(jù)增廣矩陣的行最簡形熟練寫出線性方程組的通解；線性方程組的基本定理。3.例題與解題方法例1 求方程組的通解解：對增廣矩陣作初等行變換得原方程組化為取

29、自由未知量得特解為對應(yīng)原方程的齊次方程組為令得基礎(chǔ)解系為故原方程的通解為其中為任意常數(shù)例2. 設(shè)問方程組什么時候有解？什么時候無解？有解時，求出相應(yīng)的解。解 方法一 方程組的系數(shù)行列式當即時，方程組有唯一解，且唯一解為(按克萊姆法則)時，方程組為此時方程組無解。時，方程組為故方程組有無窮多解，其同解方程組為，通解為其中為任意常數(shù)方法二 直接化增廣矩陣為階梯形時，有可見方程組有唯一解時，方程組無解時，故方程組有無窮多解，通解為其中為任意常數(shù)本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性§1

30、向量組及其線性組合§2 向量組的線性相關(guān)性本授課單元教學目標或要求：一、了解維向量空間的概念二、掌握線性組合的概念，掌握一向量由一個向量組線性表示的充要條件三、掌握線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，能夠利用定義及一些有關(guān)判定定理證明或判定一組向量的線性關(guān)系本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：一、向量組及其線性組合（定義、定義、定義3、定理1、定理2、定理3）二、維向量的表示方法 三、向量空間四、向量、向量組與矩陣五、線性相關(guān)性的概念（定義4）六、線性相關(guān)性的判定(定理4、定理5） 向量 b 可由（不可由）a1，a2，an線性表示的主要結(jié)論：

31、（1）若b = k1a1+ k2a2 + +knan（ki為實數(shù)），則說 b 可由a1，a2，an線性表示命題：b 可由向量組a1，a2，an線性表示 Û 方程組AX = b 有解，其中A =（a1，a2，an ）Û 秩（A）= 秩（A，b ）推論1：b 可由a1，a2，an線性表示，且表達式是惟一的 Û 方程組AX = b 有惟一解 Û 秩（A）= 秩（A，b）= n Û a1，a2，an線性無關(guān)，a1，a2，an ，b線性相關(guān)推論2：b 可由a1，a2，an線性表示，且表達式是不惟一的 Û 秩（A）= 秩（A，b）< n（2

32、）若對于任何一組數(shù)k1，k2，kn都有 b ¹ k1a1+ k2a2 + + knan則說 b 不可由a1，a2，an線性表示命題：b 不可由a1，a2，an線性表示 Û 方程組AX = b 無解 Û 秩（A）¹ 秩（A，b），其中A =（a1，a2，an ）七、線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用重點（難點）：. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點）. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，兩個定理（難點）本授課單元教學手段與方法：講授、練習。本授課

33、單元思考題、討論題、作業(yè)：. P108： 2、3、4、5、6、7、8、11、12、20 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性§3 向量組的秩本授課單元教學目標或要求：一、掌握最大無關(guān)組與向量組的秩的概念二、掌握求向量組的秩的方法三、掌握求向量組的最大無關(guān)組的方法本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：一、最大線性無關(guān)向量組的概念（定義5）二、矩陣與向量組秩的關(guān)系三、向量組秩的重要結(jié)論：1m維向量組a1，a2，an線性無關(guān)的充分必要條件：向量組a1，a2，an線性無關(guān)

34、 Û 對于任何一組不全為零的數(shù)組k1，k2，kn都有k1a1+ k2a2 + + knan ¹ 0 Û 對于任一個ai（1in）都不能由其余向量線性表示 Û AX = 0只有零解 Û 秩（A）= n，其中A =（a1，a2，an ）2m維向量組a1，a2，an線性相關(guān)的充分必要條件：向量組a1，a2，an線性相關(guān) Û 存在一組不全為零的數(shù)組k1，k2，kn，使得k1a1+ k2a2 + + knan = 0 Û 至少存在一個ai（1in）使得ai可由其余向量線性表示 Û AX=0有非零解 Û 秩（A）&l

35、t; n，其中A =（a1，a2，an ）3線性相關(guān)向量組的幾個結(jié)論：（1） 設(shè)a1，a2線性相關(guān)，則a1，a2，a3必線性相關(guān)（反之不一定對）； （2） 含有零向量的向量組必線性相關(guān)（反之不一定對）；（3） 若向量個數(shù) > 向量維數(shù)，則向量組必線性相關(guān)4列向量組b1，b2，b t可由a1，a2，as線性表示則（1）若t > s，則b1，b2，b t線性相關(guān)；（2）若b1，b2，b t線性無關(guān)，則t s；重點（難點）： 最大線性無關(guān)向量組的概念：最大性、線性無關(guān)性 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩 關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：一個定理、三個推論 求向

36、量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個矩陣，然后進行初等行變換本授課單元教學手段與方法：講授、練習。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P109：13、14、15、16、17 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性 §4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)本授課單元教學目標或要求：一、理解基礎(chǔ)解系的概念。二、掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法。三、掌握非齊次線性方程組解的求法本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：一、齊次線性方程組解的性質(zhì)（性質(zhì)、性質(zhì)、定理7）

37、線性齊次方程組AX = 0（A是m ´ n矩陣）解的性質(zhì)：（1）設(shè)X1，X2是AX = 0的兩個解，則k1X1+ k2X2也是AX = 0的解，其中k1，k2為兩個任意數(shù)；（2）零解X = 0總是AX = 0的解；AX = 0有非零解 Û 秩（A）< n；AX = 0只有零解 Û 秩（A）= n = A的列數(shù)；若A是n階矩陣，則AX = 0有非零解Û | A | = 0，AX = 0只有零解 Û | A |0 ；二、基礎(chǔ)解系及其求法（1）基礎(chǔ)解系定義；掌握判斷一組向量a1，a2，ap是AX = 0的基礎(chǔ)解系的三點； （2）設(shè)秩（A）= r

38、，則 AX = 0的基礎(chǔ)解系中含有n - r個向量X1，X2，Xn-r； AX = 0的通解（一般解）是k1X1 + k2X2 +kn-rXn-r其中k1，k2，kn-r是任意常數(shù)； AX = 0的任何n- r個線性無關(guān)的解都是AX = 0的基礎(chǔ)解系三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)及求法線性非齊次方程組AX = b，（b ¹ 0）（1） AX = b 的導(dǎo)出組AX = 0兩者之間關(guān)系：若AX = b 有惟一解，則AX = 0只有零解（惟一解）；若AX = b 有無窮多組解，則AX = 0有非零解（無窮多組解）若AX = 0只有零解（有非零解），不能簡單地判斷AX = b 有惟一解（有無窮

39、多組解），而需要其它條件才能判斷（2） 設(shè)X1，X2是AX = b 的解，則X1- X2是導(dǎo)出組AX = 0的解；（3） 設(shè)秩（A）= 秩（A b）= r，則AX =b 的通解：x+ k1X1+ k2X2 + + kn-rXn-r，其中X1，X2，Xn-r是導(dǎo)出組AX = 0的基礎(chǔ)解系，x是AX = b 的一個特解（4） 設(shè)X1，X2是AX = b 的兩個解，則X1 + X2，l X1（l1）肯定不是AX = b 的解重點（難點）：1 線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；2 基礎(chǔ)解系的求法本授課單元教學手段與方法：講授、練習。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P110：22、28、29、33、35

40、線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課、習題課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性 §5 向量空間；第四章習題課本授課單元教學目標或要求：一、掌握向量空間（基和維數(shù)）的概念二、掌握子空間的概念三、掌握由向量組生成的向量空間 本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：一、向量空間的概念：向量的集合對加法及數(shù)乘兩種運算封閉；二、由向量組生成的向量空間三、向量在兩個基中的坐標之間的關(guān)系式(坐標變換公式).四、習題課重點（難點）：向量空間的概念：向量的集合對加法及數(shù)乘兩種運算封閉；由向量組生成的向量空間子空間的概

41、念向量空間的基和維數(shù)：求向量空間基和維數(shù)的方法本授課單元教學手段與方法：講授、練習本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P112：36、39、40 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學章節(jié)或主題）：第五章 相似矩陣及二次型 §1 向量的內(nèi)積、長度及正交性 §2 方陣的特征值與特征向量本授課單元教學目標或要求：一了解向量的內(nèi)積、長度及正交性的概念二掌握方陣的特征值與特征向量的概念、性質(zhì)及求法本授課單元教學內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法、例題等）：一內(nèi)積的定義及性質(zhì)二向量的長度及性質(zhì)三正交向量組的概念及求法基本概念：矩陣的

42、特征值，特征向量，特征矩陣，特征多項式四正交矩陣與正交變換五特征值與特征向量的概念六特征值和特征向量的性質(zhì)（1）設(shè)X1，X2都是A的屬于特征值 l0的特征向量，則k1X1+ k2X2也是屬于l0的特征向量（其中，k1，k2為任意常數(shù)，且k1X1+ k2X2 ¹ 0）若X1，X2是A的屬于兩個不同特征值l1，l2的特征向量，則X1+X2不是A的特征向量（2） l1l2ln =|A|（3）命題：n階矩陣A可逆 Û A滿秩 Û A非奇異 Û | A | ¹ 0 Û A無零特征值（4）設(shè)l是A的特征值，X是A的屬于l的特征向量，則 kl是kA的特征值，X是kA的屬于kl的特征向量； lm是Am的特征值（m為正整數(shù)），X是Am的屬于lm的特征向量； 若，則f（l）是矩陣多項式f（A）的特征值，X是f（A）屬于f（l）的特征向量（5）若l是可逆矩陣A的特征值，X是A的屬于l的特征向量，則 是A-1的特征值，X是A-1的屬于的特征向