例談法向量在立體幾何中的應用

1、例談法向量在立體幾何中的應用對立體幾何研究的一種重要思路是代數(shù)化，即用向量代數(shù)的方法來解決立體幾何中的邏輯推理問題。相對于傳統(tǒng)的求解立體幾何的方法幾何法，向量法在求解立體幾何問題時有著方便、快捷，不容易陷入思維障礙的優(yōu)點。其中，法向量在解題時又起著舉足輕重的作用。本文精選典型例題，對法向量在立體幾何中的應用進行歸納、整理，以揭示解題規(guī)律、方法，供讀者參考。1 利用法向量證線面、面面的平行與垂直已知直線的方向向量為, 平面的法向量為。（1）若證明線面平行，即證 ；（2）若證明線面垂直，即證；（3）若證明面面平行，即證； （4）若證明面面垂直，即證明。 例1 如圖1，ABC是一個正三角形，EC平面

2、ABC， zBDCE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點。 E求證：平面DEA平面ECA M D解：如圖，建立空間直角坐標系 O-xyz,不妨設 C B yCA=2，則CE=2，BD=1，C（0，0，0）， x A 圖1A（，1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1）， ， ， ，設面CEA與面DEA的法向量是、，則有 . 0 .0 . 0 . 0 不妨取、，平面DEA平面ECA.AA1DCBB1C1D1圖2練習1：如圖2，正方體棱長為 . 求證：平面AB1C平面； 點評：注意平面法向量的求法。練習1用向量法證明也許不如用幾何法簡潔，但它將邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計算，降低了對

3、空間想象能力要求的難度，是研究立體幾何的一種有力工具。2 利用法向量求角（1）求線面角如圖3，已知AB為平面a的一條斜線，為平面a的一個法 A向量，過A作平面a的垂線AO，連結(jié)OB則ÐABO為斜線AB和平面a所成的角，易知： sinÐABO O B特殊情況：當，則直線AB與平面垂直 。 圖3例2 已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角。解：如圖4，建立空間直角坐標系，EzxD1yAC1B1A1BDC （0，1，0），（1，0，1），（0，1）設平面ABC1D1的法向量為（x，y，1）,由 可解得（1，0，1）

4、 圖4 設直線AE與平面ABC1D1所成的角為，則，故直線AE與平面 ABC1D1所成的角為arcsin。練習2：（06浙江高考）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點，()求證：PBDM; ()求CD與平面ADMN所成的角 圖5點評：求直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為求直線的方向向量與平面的法向量夾角的余角。注意：線面角的范圍：0，而向量夾角的范圍：0，p。(2)求二面角 圖6 圖7在二面角中，分別是和的法向量，設二面角的大小為。如圖6，則coscos<>；如圖7，則cos(p)cos

5、<>。例3 在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點.求二面角NCMB的余弦值。解：取AC中點O，連結(jié)OS、OB.SA=SC，BA=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO面ABC，如圖8所示建立空間直角坐標系Oxyz.則O(0，0，0)， A（2，0，0），C（2，0，0），S（0，0，2），M（1，0） ，設=（x，y，1）為平面CMN的一個法向量， 圖8則 可取=(1， 1)， 又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量， cos(，)=易知二面角NCMB的平面角是

6、銳角，二面角NCMB的余弦值為練習3：（06年陜西高考）如圖9,=l , A, B,點A在直線l 上的射影為A1, 點B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求：二面角A1ABB1的大小。ABA1B1l圖9點評：用法向量的夾角求二面角時應注意：平面的法向量所取的方向不同，所求出來的角度也不同，因此，最后所求角是<>還是它的補角，應根據(jù)所求二面角的實際圖形來確定。3 利用法向量求點面距離AaBh如圖10，A是平面a外一點，AB是a的一條斜線，交平面于點B，而是平面a的法向量，那么向量在方向上的正射影長就是點A到平面的距離h， 則 圖10 例4 （06年福建高考）如

7、圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大??；（III）求點E到平面ACD的距離。解：（I）略（II）以O為原點，如圖11，建立空間直角坐標系，則 異面直線AB與CD所成角的大小為（III）設平面ACD的法向量為則 圖11 令得，又點E到平面ACD的距離 練習4：練習1再加上一問：求平面AB1C與平面的距離。AB CA1VB1C1 圖練習5：（06年山東高考）如圖12，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊所在的平面與底面ABC垂直，且ACB=90°，設.（1）求點A到平面VBC的距離；（2）求二面角的大小。 圖12另外，如圖13設AC是異面直線AB與CD的公垂線，則AB與CD間的距離，就是向量在公垂線方向向量上的射影長度，即 C D E A a B 圖13 點評：線面距離、面面距離的實質(zhì)就是求點面距離，求異面直線間的距離也可以轉(zhuǎn)化為求點面距離，因此掌握點面距離的求法也就可以解決立體幾何中的距離問題了。附：本文練習參考答案：1.略，2. ()略