第四章 線性方程組

1、2022-2-131第四章第四章 線線 性方程組性方程組將方程組得解與空間聯(lián)系起來；將方程組得解與空間聯(lián)系起來；進一步剖析方程組解集的結(jié)構(gòu)。進一步剖析方程組解集的結(jié)構(gòu)。2022-2-1324.1 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組對于線性方程組（未知量的個數(shù)與方程的對于線性方程組（未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等）個數(shù)相等）nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121112022-2-133 a.)如果其系數(shù)行列式不等于零，可由利用如果其系數(shù)行列式不等于零，可由利用克拉默法則來求解。此時只有唯一解?？死▌t來求解。此時只有唯一解。那么就

2、沒有必要去考慮解空間。那么就沒有必要去考慮解空間。 b.)否則，有如下兩種情況：否則，有如下兩種情況：2022-2-134（1）系數(shù)行列式等于零；）系數(shù)行列式等于零；（2）線性方程組的未知量個數(shù)與方程的個）線性方程組的未知量個數(shù)與方程的個 數(shù)不相等；數(shù)不相等；方程組有無窮多解。我們想要把這些解分方程組有無窮多解。我們想要把這些解分分類。分類。 下面討論一般的線性方程組的求解問題。下面討論一般的線性方程組的求解問題。首先討論奇次的線性方程組的情況首先討論奇次的線性方程組的情況2022-2-135 設(shè)有線性方程（它有如下三種表達方式）設(shè)有線性方程（它有如下三種表達方式） (4.1)00022112

3、2221211212111nnmmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa2022-2-136引引 進進 矩矩 陣陣則齊次線性方程組可以寫成則齊次線性方程組可以寫成 (4.2) 其中其中0代表代表m個分量都為零的列向量或列矩個分量都為零的列向量或列矩陣。陣。nmmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx210Ax2022-2-137 若把若把 看作由列向量組成的矩陣，設(shè)看作由列向量組成的矩陣，設(shè)則方程組則方程組 可寫成可寫成 （4.3） A),(21nA0Ax02211nnxxx2022-2-138 上面給出了齊次線性方程組的三種不同形上面給出了齊次線性方程組的三種不

4、同形式，它們表示同一個方程?？筛鶕?jù)需要進行式，它們表示同一個方程。可根據(jù)需要進行選擇使用。選擇使用。 2022-2-139 齊次線性方程組永遠有解，零解齊次線性方程組永遠有解，零解 就是它的一個解。就是它的一個解。 若若 為方程組的解，為方程組的解，則稱則稱 021nxxx1212111,nnxxx12111nx2022-2-1310為該方程組的為該方程組的解向量解向量。以解向量的形式表示。以解向量的形式表示線性方程組的解線性方程組的解 更方便。更方便。2022-2-1311一、一、 齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 如果如果 都是齊次線性方程組的解都是齊次線性方程組的

5、解向量，則向量，則 也是該方程組的解向量。也是該方程組的解向量。證證 因因 所以所以 為為 的解向量。的解向量。 證畢。證畢。21,210)(2121AAA210Ax2022-2-1312 性質(zhì)性質(zhì)2 如如 果果 是是 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 解解 向向 量，量， 則則 也是也是 該該 方方 程程 組組 的的 解解 向向 量，其量，其 中中 為為 任任 意意 常常 數(shù)數(shù) 。0Axkk證證 明明 ： 因因 滿滿 足足 方方 程程從從 而而 即即 也也 是是 解解 向向 量量 。證畢。證畢。0A0)(kAkAk2022-2-1313n疊加原理疊加原理 ： 設(shè)設(shè) 是齊次線性方

6、程組是齊次線性方程組 的解，則的解，則 也是該方程也是該方程組的解（其中組的解（其中 為任意常數(shù)）。為任意常數(shù)）。n記記 為為 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 全全 體體 解解 的的 集集 合。由合。由 性性 質(zhì)質(zhì) 1和和 2 知知 道道 可可 看看 成成 一一 個個 向向 量量 空空 間，稱間，稱 為為 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 解解 空空 間間。l,210Axllkkk2211lkkk,21SSS2022-2-1314二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系定定 義義 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 解解 空空 間間 的

7、的 一一 個基，稱個基，稱 為為 此此 方方 程程 組組 的的 一一 個個 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系。由由 此此 可可 知，知， 如如 果果 向向 量量 是是 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 一一 個個 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系，系， 則則 它它 一一 定定 要要 滿滿 足足 以以 下下 條條 件件(有哪些？有哪些？)0Axl,210Ax2022-2-13151) 是是 方方 程程 組組 的的 線線 性性 無無 關(guān)關(guān) 解解 向向 量。量。2) 方方 程程 組組 的的 任任 一一 個個 解解 均均 可可 由由 線線 性性 表表 示，即示，即 0Axl,21llkkkx2211l,212

8、022-2-1316三、齊三、齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 求求 解解 如如 果果 能能 夠夠 找找 到到 方方 程程 組組 的的 一一 個個 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系 ，則，則 它它 的的 任任 一一 個個 解解 都都 可可 以以 表表 示示 為為 其其 中中 為為 任任 意意 常常 數(shù)，數(shù)， 稱稱 為為 方方 程程 組組 的的 通通 解解。0Axl,21llkkk2211lkkk,21llkkkx22110Ax2022-2-1317 也就是說，要求解方程組，只要知道其基礎(chǔ)解也就是說，要求解方程組，只要知道其基礎(chǔ)解系，所有的解，連同其構(gòu)造，就一清二楚了。系，所有的解，連同其構(gòu)造

9、，就一清二楚了。那么如何求出基礎(chǔ)解系？那么如何求出基礎(chǔ)解系？2022-2-1318 設(shè)設(shè) 方方 程程 組組 的的 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 為為 矩矩 陣陣 的的 秩秩 ， 則則 。 不不 妨妨 假假 設(shè)設(shè) 矩矩 陣陣 前前 列列 線線 性性 無無 關(guān)。對矩陣關(guān)。對矩陣 進行初等行變換把它化為行最進行初等行變換把它化為行最簡形矩陣簡形矩陣 。 0AxnmmmnnaaaaaaaaaA212222111211ArAr)(rmrn,ArA2022-2-13190000000000100010001,1, 221, 111rnrrrnrnbbbbbbB2022-2-1320此此 時時 齊齊 次次 線線

10、性性 方方 程程 組組 與與 以以 為為 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 的的 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 （4.4）同同 解。解。 任任 給給 一組值，則一組值，則唯一確唯一確定定 的一組值，于是得到方程組的一組值，于是得到方程組(4.4)的一個解。的一個解。0AxBnrnrrrrrrnrnrrnrnrrxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx,2211, 22221212, 12121111nrrxxx,21rxxx,212022-2-1321令令 取下列取下列 組數(shù)：組數(shù)： 由方程組由方程組(4.4)依次可得依次可得從而得到方程組從而得到方程組(4.1)的的 個解向量。個解向量。

11、rnrrxxx,21rn100,010,00121nrrxxxrnrrnrnrrrbbbbbbbbbxxx, 2, 1222121211121,rn2022-2-1322 下證下證 構(gòu)成方程組構(gòu)成方程組(4.1)的一個基的一個基礎(chǔ)解系。（證明兩點）礎(chǔ)解系。（證明兩點）rn ,21100,010,001,2,1222122121111rnrrnrnrnrrbbbbbbbbb2022-2-13231) 因為因為 的后的后 個分量組成的向個分量組成的向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)，從而可知量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)，從而可知 線性無關(guān)線性無關(guān)。2) (要證要證線性表示線性表示)設(shè)設(shè) 為為方程組方程組(4.1)

12、的任意一組解，記為的任意一組解，記為 ，則，則rn,21rnrn ,21nnxxx,22112022-2-1324 考慮向量考慮向量由解向量的性質(zhì)由解向量的性質(zhì)1和和2知，知， 是是 的解。的解。（注意如果到（注意如果到 和和 相同，那就證明了線性表相同，那就證明了線性表示）示）n21rnnrr22110Ax2022-2-1325rnnrr2211nrrrnrnrrrrrnnrrrnnrrbbbbbbbbb21,2211, 2222211, 11221112022-2-1326 比比 較較 和和 知，它知，它 們們 的的 后后 個個 分分 量量 完完 全全 一一 樣，由樣，由 于于 它它 們們

13、 都都 滿滿 足足 方方 程程 組組（4.4)，從，從 而而 推推 知知 與與 的的 前前 個分個分 量量 也也 應應 該該 完完 全全 一一 樣樣（為什么？），從（為什么？），從 而而 。 這就證明了這就證明了 是是 解解 空空 間間 的的 一一 個個 基，即基，即 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系，因系，因 此此 有有rnrrn,21rnSdim2022-2-1327定定 理理 1 設(shè)設(shè) 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 的的 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 的秩的秩 ，則，則 方方 程程 組組 的的 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系 中中 含含 有有 個個 解解 向向 量，或量，或 者者 說說 它它 的的 解解 空空

14、 間間 的的 維維 數(shù)數(shù) 為為 。n0AxnrAr)(rnrn綜合上述分析，有如下定理：綜合上述分析，有如下定理：2022-2-1328說明（說明（3點）：點）：1 1） 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系 不不 是是 唯唯 一一 的，如的，如 果果 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 的的 秩秩 為為 ，則，則 它它 的的 任意任意 個個 線線 性性 無無 關(guān)關(guān) 的的 解解 向向 量量 均均 構(gòu)構(gòu) 成成 一一 個個 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系。系。 2 2）如）如 果果 ，方，方 程程 組組 只只 有有 零零 解，故解，故 不不 存存 在在 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系。系。 0A

15、xrrnnAr)(0Ax2022-2-1329說明（說明（3點）點） ：3) 3) 如如 果果 是是 方方 程程 組組 的的 一一 個個 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系，則系，則 此此 方方 程程 組組 的的 任任 一一 個個 解解 均均 可可 以以 表表 示示 為為 其其 中中 為為 任任 意意 常常 數(shù)，稱數(shù)，稱 為為 方方 程程 組組 的的 通通 解解。 上上 面面 的的 證證 明明 提提 供供 了了 一一 個個 求求 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系 的的 方方 法。法。rn ,210Axrnrnkkkx2211lkkk,210Ax2022-2-1330四、四、 用初等行變換求解齊次線性方程組用初等行變換

16、求解齊次線性方程組 只只 對對 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 進進 行行 初初 等等 行行 變變 換，換，不不 可可 以以 進進 行行 列列 初初 等等 變變 換換(why) 例例 1. 求求 解解 方方 程程 組組: 解解: 對對 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 進進 行行 初初 等等 變變 換換032030432143214321xxxxxxxxxxxx2022-2-1331 2100420011113211311111111312rrrrA0000210010114200210011112321322rrrrrr 0000210010112) 1(r 行最簡型行最簡型2022-2-1332可可 見見

17、系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 的的 秩秩 是是 2，方，方 程程 組組 的的 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系 中中 含含 4-2=2 個個 向向 量。原量。原 方方 程程 組組 與與 下下 列列 方方 程程 組組 同同 解解:取取 作作 為為 自自 由由 未未 知知 量量, 得得 一一 般般 解解 為為:02043421xxxxx42, xx434212xxxxx2022-2-1333取取 ，則，則 取取 ，則，則 分分 別別 得得 兩兩 個個 線線 性性 無無 關(guān)關(guān) 的的 特特 解解:0, 142xx0, 131xx1, 042xx2, 131xx2022-2-1334此此 即即 原原 方方 程程 組組

18、的的 一一 個個 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系.所所 以以 通通 解解 為為: ( 為為 任任 意意 實實 數(shù)數(shù))1201,0011212211kkx21, kk2022-2-1335 例例 2. 求求 解解 方方 程程 組組: 01117840246303542432143214321xxxxxxxxxxxx2022-2-1336解解: 對對 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 進進 行行 初初 等等 變變 換換 57001121354211178424633542A00005700112157001121570000007/51007/202100007/51001121 2022-2-1337 可可 見見

19、 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 的的 秩秩 是是 2, 方方 程程 組組 的的 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系中系中 含含 2 個個 向向 量量.原原 方方 程程 組組 與與 下下 列列 方方 程程 組組 同同 解解: 取取 作作 為為 自自 由由 未未 知知 量量, 得得 一一 般般 解解 為為:075072243421xxxxx42, xx4342175722xxxxx2022-2-1338取取 和和 即分即分 別別 得得 兩兩 個個 線線 性性 無無 關(guān)關(guān) 的的 特特 解解:此此 即即 原原 方方 程程 組組 的的 一一 個個 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系.所所 以以 通通 解解 為為: ( 為為 任任 意意

20、 實實 數(shù)數(shù))7, 042xx7502,0012212211kkx21, kk0, 142xx2022-2-1339 例例 3. 求求 解解 方方 程程 組組(4個方程，個方程，5個個未知數(shù)未知數(shù)): 036220230205421542154315432xxxxxxxxxxxxxxxx2022-2-1340解解: 對對 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 進進 行行 初初 等等 變變 換換即即36022230111210111110A3602223011111101210100000100000111002101 025432431xxxxxxx2022-2-1341寫寫 成成通通 解解 為為 為任意實

21、數(shù)為任意實數(shù) 43543443343243100 1 0 0 11121xxxxxxxxxxxxxxx212154321,0102200111kkkkxxxxx1k2k2022-2-1342 例例 4. 問問 取取 何何 值值 時，方時，方 程程 組組有有 非非 零零 解，并解，并 求求 其其 通通 解。解。 解解: 對對 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣陣 進進 行行 初初 等等 變變 換換0)3(14202)8(023)2(321321321xxxxxxxxx3142281232A3142232281 2022-2-1343 1) 1(20) 1(21310028121) 1(20) 1(213100

22、28121) 1(2) 1(21310) 1(22) 3)(1( 2022-2-1344當當 時，由時，由 得得 方方 程程 組組通通 解解 為為 為為 任任 意意 實數(shù)實數(shù) 10000402710000102013322102xxxxxkkx,1022022-2-1345當當 時，由時，由 得得 方方 程程 組組 通通 解解 為為 為為 任任 意意 實實 數(shù)。數(shù)。324048025100021102101 3332123211xxxxxxkk,121212022-2-1346例例 5. 設(shè)設(shè) 是是 一一 個個 三三 階階 非非 零零 矩矩 陣，它陣，它 的的 每每 一一 列列 是是 齊齊 次

23、次 線線 性性 方方 程程 組組的的 解，求解，求 的的 值值 和和 。 B0302022321321321xxxxxxxxxB2022-2-1347解解: 由由 于于 是是 一一 個個 三三 階階 非非 零零 矩矩 陣，所陣，所 以以 中中 至至 少少 有有 一一 列列 向向 量量 不不 是是 零零 向向 量，又量，又 因因 的的 每每 一一 列列 是是 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 解，由解，由 該該 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 有有 非非 零零 解解，從，從 而而 得得 .BBB05511312221A12022-2-1348當當 時，時， ，解，解 空空

24、 間間 的的 維數(shù)為：維數(shù)為：即即 方方 程程 組組 的的 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系 只只 有有 一一 個個 解解 向向 量，量，因因 而而 的的 三三 個個 列列 向向 量量 線線 性性 相相 關(guān)，關(guān)，得得 . 12)(ArS123dimSB0B2022-2-1349例例 6. 設(shè)設(shè) 是是 實數(shù)矩實數(shù)矩 陣，證陣，證 明明 證證 設(shè)設(shè) 為為 維維 列列 向向 量。下量。下 證證 方方 程程 組組 與與 同同 解（如是，則解空間維數(shù)相同）。解（如是，則解空間維數(shù)相同）。 若若 滿滿 足足 ，則，則 有有 ，即，即nmA)()(ArAArTxn0Ax0)(xAAT0Axx0)(AxAT0)(xAA

25、T2022-2-1350反過來，若反過來，若 滿滿 足足 ，則，則 有有 即即 從從 而而 .由由 于于 方方 程程 組組 與與 同同 解，因解，因 而而 它它 們們 的的 解解 空空 間間 的的 維維 數(shù)數(shù) 相相 同，即同，即進一步得進一步得 證畢。證畢。x0)(xAAT0)(xAAxTT0)()(AxAxT0Ax0Ax0)(xAAT)()(AArnArnT)()(AArArT2022-2-1351n作業(yè)作業(yè). Page 123, 1(1).2022-2-13524.2 非非 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 設(shè)設(shè) 有有 非非 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 (4.1)mn

26、nmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121112022-2-1353同樣，有另外兩種表示形式：引同樣，有另外兩種表示形式：引 進進 矩矩 陣陣 則則 線線 性性 方方 程程 組組 和和 可可 以以 分分 別別 寫寫 成成 (4.2)其其 中中 常常 數(shù)數(shù) 項項 不不 全全 為為 零。零。 nmmmnnaaaaaaaaaA212222111211 mnbbbbxxxx2121,bAxmbbb,212022-2-1354把把 看看 作作 由由 列列 向向 量量 構(gòu)構(gòu) 成成 的的 矩矩 陣，設(shè)陣，設(shè) 則則 方方 程程 組組 可可 寫寫 成成 （4.

27、3） A),(21nAbAx bxxxnn22112022-2-1355 稱稱 為為 方方 程程 組組 的的 系系 數(shù)數(shù) 矩矩 陣，陣， 稱稱 為為 方方 程程 組組 的的 增增 廣廣 矩矩 陣陣。 下下 列列 結(jié)結(jié) 論論 是是 等等 價價 的的 （1）方）方 程程 組組 有有 解；解； （2） 可可 由由 線線 性性 表表 示；示； （3） 和和 等等 價；價； （4） 與與 的的 秩秩 相相 等。（隨后證明）等。（隨后證明）A)|(bAB bAx n,21 bn,21bn,21),(21nA),(21bBn2022-2-1356定定 理理 2 非非 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組

28、 有有 解解 的的 充充 分分 必必 要要 條條 件件 是是 .證明：證明：必要性必要性. 有解意味著有解意味著 能被能被 的列向量組線性表的列向量組線性表示，從而示，從而 與它的增廣矩陣的列向量組等價，與它的增廣矩陣的列向量組等價，向量組的秩相等，故得結(jié)論。向量組的秩相等，故得結(jié)論。充分性充分性. ， 秩相等意味著他們的列向量組有秩相等意味著他們的列向量組有相同的極大無關(guān)組。相同的極大無關(guān)組。 能被能被 的列向量組線性表的列向量組線性表示，故得結(jié)論。示，故得結(jié)論。證畢。證畢。 bbAx )()(BrArAAABbA2022-2-1357在在 方方 程程 組組 中中 令令 則則 得得 到到 齊

29、齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 ，稱，稱 為為 對對 應應 的的 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組，或組，或 稱稱 為為 的的 導導 出出 組組。性性 質(zhì)質(zhì) 3 如如 果果 都都 是是 方方 程程 組組 的解的解,則則 是是 的的 解解 。證證 顯然。顯然。bAx 0b0AxbAx bAx 21,0Ax21bAx 2022-2-1358定定 理理 3（結(jié)（結(jié) 構(gòu)構(gòu) 定定 理）理） 設(shè)設(shè) 非非 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 有有 解，則解，則 其其 一一 般般 解（通解（通 解）為解）為 其其 中中 為為 此此 方方 程程 組組 的的 一一 個個 特特 解解， 為為 其

30、其 導導 出出 方程組方程組 的的 一一 般般 解解。證證 明明 設(shè)設(shè) 是是 方方 程程 組組 的的 任任 一一 解，解，由由 性性 質(zhì)質(zhì) 3 知知 是是 齊齊 次次 方方 程程 組組 的的 解，設(shè)解，設(shè) 則則 bAx *x*bAx xbAx*x0Ax *x*x0Ax2022-2-1359上述定理給出非齊次方程組求解的辦法。上述定理給出非齊次方程組求解的辦法。 設(shè)設(shè) 矩矩 陣陣 的的 秩秩 為為 ，為，為 求求 非非 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 通通 解，應解，應 先先 求求 它它 的的 一一 個個 特特 解解 ，再，再 求求 其其 導導 出出 組組 的的 一一 個個 基基

31、 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系 ，則，則 此此 非非 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 的的 通通 解解 為為xAr*0Axrn,21bAx2022-2-1360 其中其中 為為 任任 意意 常常 數(shù)。數(shù)。 *2211rnrnkkkxrnkkk,212022-2-1361 非非 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 解解 的的 情情 況：況： 1. 時，非時，非 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 無無 解；解； 2. 時，則時，則 方方 程程 組組 有有 解；解； （1） 時，方時，方 程程 組組 有有 唯唯 一一 解；解； （2） 時，方時，方 程程 組組 有有 無無 窮窮 多多 解

32、。解。（其其 中中 為為 方方 程程 組組 中中 未未 知知 量量 個個 數(shù)數(shù)）)()(BrArbAx bAx nBrAr)()(nBrAr)()(nbAx r(B)r(A)2022-2-1362例例 1. 求求 下下 列列 方方 程程 組組 的的 解解:解解: 對對 增增 廣廣 矩矩 陣陣 進進 行行 初初 等等 行行 變變 換換 2132130432143214321xxxxxxxxxxxxB2132111311101111B21210014200011110000021210001111 000002121002110112022-2-1363由由 于于 ，方，方 程程 組組 有有 解。

33、得解。得 同同 解解 方方 程程 組組 即即 令令 ，則，則 。原。原 方方 程程 組組 的的 一一 個個 特特 解解 為為: 2)()(BrAr2122143421xxxxx2122143421xxxxx042 xx2131 xx2022-2-1364對對 應應 的的 齊齊 次次 線線 性性 方方 程程 組組 為為 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 解解 系系 為為021021*4443224212xxxxxxxxx1201,0011212022-2-1365所所 以以 原原 方方 程程 組組 的的 通通 解解 (或或 一一 般般 解解) 為為: 為為 任任 意意 實實 數(shù)數(shù) 也也 可可 由由 直直 接接 寫寫

34、出出 通通 解解為為 任任 意意 實實 數(shù)數(shù)*2211kkx21, kk44432242121221xxxxxxxxx0210211201001121kkx21, kk2022-2-1366例例 2 求求 解解 方方 程程 組組解解: 對對 增增 廣廣 矩矩 陣陣 進進 行行 行行 變變 換換: 32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx322122351311321B104501045011321 2022-2-1367 可可 見見 , 故故 方方 程程 組組 無無 解解.2000010450113213)(,2)(BrAr2022-2-1368 例例3 設(shè)設(shè) 與與 都都 是是 階階 矩矩 陣陣, 試試 證證: 如如 果果 , 那那 么么 .證證 如如 果果 , 那那 么么 的的 列列 向向 量量 都都 是是 齊齊 次次 方方 程程 組組 的的 解解, 設(shè)設(shè) , 那那 么么 最最 多多 有有 個個 線線 性性 無無 關(guān)關(guān) 的的 解解, 所所 以以即即證畢。證畢。（直觀上，考慮