1.2多元函數(shù)的極值及其求法ppt課件

1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. . 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). . 第七節(jié)第七節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 一

2、、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 1多元函數(shù)極值的定義多元函數(shù)極值的定義 （以二元函數(shù)為例）（以二元函數(shù)為例） 可類似定義可類似定義 n 元函數(shù)元函數(shù) u=f (x1， x2， ，xn) 的極值的極值例例1 122(0,0)zxy函函數(shù)數(shù)在在處處有有極極小小值值例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz xyzo旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面錐面錐面雙曲拋物面馬鞍面）雙曲拋物面馬鞍面）定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，

3、且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的必要條件、多元函數(shù)取得極值的必要條件 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).注注1 1函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如，點(diǎn)函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如，點(diǎn)(0(0，0)0)是函數(shù)是函數(shù)z=xyz=xy的駐點(diǎn)，但函數(shù)在該點(diǎn)并無極值。的駐點(diǎn)，但函數(shù)在該點(diǎn)并無極值。 （2 2函數(shù)的極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)不存在的函數(shù)的極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn)

4、，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)仍可能為極值點(diǎn)。點(diǎn)仍可能為極值點(diǎn)。處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在。但但它它在在處處取取得得極極大大值值，在在）中中例例（)0 ,0()0 ,0(122yxz （3 3可能極值點(diǎn)：可能極值點(diǎn)： (i) (i)駐點(diǎn)駐點(diǎn)ii)ii)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)3極值的充分條件極值的充分條件 定理定理 （充分條件設(shè)函數(shù)（充分條件設(shè)函數(shù) z=f (x，y) 在在 點(diǎn)點(diǎn) (x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（3 3ACACB2 = 0B2 = 0時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，時(shí)可能有極值，也可能沒有極值， 需要另作討論需要另

5、作討論 （1ACB2 0時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)具有極值，且當(dāng)A 0時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2ACB2 0B2 = 126 0，又，又 A0A0，所以函數(shù)在，所以函數(shù)在1 1，0 0處有極小值處有極小值 f f1 1，0 0）= =5 5； 在點(diǎn)在點(diǎn)1 1，2 2處，處，ACACB2 = 12(B2 = 12(6)06)0，所，所以以f f1 1，2 2不是極值；不是極值； 例例2 2 求函數(shù)求函數(shù)f (xf (x，y)= x3y)= x3y3+3x2+3y2y3+3x2+3y29x9x的極值的極值 解：先解方程組解：先解方程組 .063),(,0963),(22yyyxfxxyxfyx求得駐點(diǎn)為

6、求得駐點(diǎn)為(1(1，0),(10),(1，2),(2),(3 3，0),(0),(3,2)3,2) 求出二階偏導(dǎo)數(shù)求出二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x，y) = 6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=6y+6 在點(diǎn)（在點(diǎn)（3 3，0 0處，處，ACACB2 =B2 =126012606)0，又又 A 0 A 0，所以函數(shù)在（，所以函數(shù)在（3 3，2 2處有極大值處有極大值f（3，2）=315 多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值 根據(jù)根據(jù): (1): (1)如果如果f (xf (x，y)y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上連續(xù)，那上連續(xù)，那么么f (xf (x，y) y) 在在D D上必定能取得最大值

7、和最小值。上必定能取得最大值和最小值。 一般方法一般方法: : 求求f (xf (x，y)y)在在D D內(nèi)的駐點(diǎn)，將內(nèi)的駐點(diǎn)，將f (xf (x，y)y)在在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小的邊界上的最大值和最小值相比較，其中最大的就是值相比較，其中最大的就是f (xf (x，y)y)在在D D上的最大值，上的最大值，最小的就是最小值。最小的就是最小值。 (2) (2)若函數(shù)在若函數(shù)在D D上連續(xù)、在上連續(xù)、在D D內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn)，這時(shí)如果函數(shù)在點(diǎn)，這時(shí)如果函數(shù)在D D的內(nèi)部取得最大值最小值），的內(nèi)部取得最大值最小值），那

8、末這個(gè)最大值最小值也是函數(shù)的極大值極小那末這個(gè)最大值最小值也是函數(shù)的極大值極小值）。值）。特殊的方法：特殊的方法： 在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)f (x，y)的最大值最小值的最大值最小值一定在一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在D內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，那末可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)那末可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f (x，y)在在D上的最大值最小值）。上的最大值最小值）。 其中其中f(xf(x，y)y)在在D D的邊界上的最值通?？苫癁橐坏倪吔缟系淖钪低ǔ？苫癁橐辉瘮?shù)的最值問題或化為條

9、件極值問題）。有時(shí)元函數(shù)的最值問題或化為條件極值問題）。有時(shí)計(jì)算往往較復(fù)雜。計(jì)算往往較復(fù)雜。 例例 2 2 求求二二元元函函數(shù)數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在在直直線線6 yx，x軸軸和和y軸軸所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的最最大大值值與與最最小小值值. 解解xyo6 yxD解解方方程程組組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(, 0,0,6Dxyxy 內(nèi)內(nèi)：0()2,1xxy 舍舍去去 ， 或或在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42

10、xxxfx, , 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yxD再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, (0,6)0f 6 , 0 x120,4xx 得得：06|6,xyx 二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法 實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量另有附實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量另有附件條件的極值問題，這類極值稱為條件極值。件條件的極值問題，這類極值稱為條件極值。 1引入引入無條件極值：若對(duì)于函數(shù)的自變量，除了要限制無條件極值：若對(duì)于函數(shù)的自變量，除了要限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外并無其他條件

11、在函數(shù)的定義域內(nèi)以外并無其他條件拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法:),(),(),(yxyxfyxF 求其對(duì)求其對(duì)x與與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程程2聯(lián)立起來：聯(lián)立起來： )8( . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 由這方程組解出由這方程組解出x x，y y及及，則其中，則其中x x，y y就是函數(shù)就是函數(shù) f (xf (x，y)y)在附加條件在附加條件(x,y)=0(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。 其中其中為某一常數(shù)。為某一常數(shù)。先構(gòu)造輔助函數(shù)先構(gòu)造輔助函數(shù)(1)( , )( ,

12、 )(2)0zf x yx y 求求目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)在在條條件件下下的的可可能能極極值值拉格朗日乘數(shù)法解題步驟拉格朗日乘數(shù)法解題步驟:),(),(),(yxyxfyxF （3）( , )( , )0,( , )( , )0,( , )0.xxyyfx yx yfx yx yx y （4 4解出解出x x，y y及及（2構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)1( , )( , )0zf x yx y （ ）找找出出目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)和和條條件件5()xy（ ）判判斷斷可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)，是是否否為為最最值值點(diǎn)點(diǎn) (1) 這種方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)情況這種方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)情況例如，要求函數(shù)

13、例如，要求函數(shù) u=f (x，y，z)在附加條件在附加條件( , , )0 x y z 下下的的極極值值3推廣推廣可以先構(gòu)造輔助函數(shù)可以先構(gòu)造輔助函數(shù)( , , )( , , )( , , )F x y zf x y zx y z )8( . 0),(, 0),(),(, 0),(),(, 0),(),(zyxzyxzyxfzyxzyxfzyxzyxfzzyyxx 求求滿滿足足：的的解解 (2)這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情況一個(gè)的情況 例如，要求函數(shù)例如，要求函數(shù) u=f (x，y，z，t)在附加條件在附加條件( , , , )0

14、,( , , , )0 (9)x y z tx y z t 下的極值，可以先構(gòu)造輔助函數(shù)下的極值，可以先構(gòu)造輔助函數(shù)),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxF 其中其中1，2均為常數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為均為常數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與零，然后與9中的兩個(gè)方程聯(lián)立起來求解，這樣中的兩個(gè)方程聯(lián)立起來求解，這樣得出的得出的x、y、z、t就是函數(shù)就是函數(shù)f(x，y，z，t)在附加條件在附加條件(9)下的可能極值點(diǎn)下的可能極值點(diǎn)的的最最大大體體積積。的的長長方方體體求求內(nèi)內(nèi)接接于于橢橢球球面面例例12222222 czbyax解：設(shè)解：設(shè)M(x，y，z)是所求長方

15、體在第一卦限的頂點(diǎn)是所求長方體在第一卦限的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，下下的的最最大大值值問問題題。1222222 czbyax構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)222222( , , )8 1 , xyzL x y zxyzabc 則問題化為求函數(shù)則問題化為求函數(shù)V = 8xyz 在條件在條件 ：求其對(duì)求其對(duì)x，y，z的一階偏導(dǎo)數(shù)并使之為零，再與條的一階偏導(dǎo)數(shù)并使之為零，再與條件方程聯(lián)立，有件方程聯(lián)立，有 1028028028222222222czbyaxczxybyxzaxyz 由其中的前由其中的前3 3個(gè)方程可推出個(gè)方程可推出222222czbyax （因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)?0，否則，否則xyz=0 xyz=0與題

16、意不合），得與題意不合），得 而依題意知體積最大的內(nèi)接長方體存在而依題意知體積最大的內(nèi)接長方體存在,3,3,3czbyax .938maxabcV 故內(nèi)接長方體最大體積為故內(nèi)接長方體最大體積為是唯一的可能極值點(diǎn)，是唯一的可能極值點(diǎn)，222222( , , )8 1 , L x y zxyzxyzabc 例例3 3 求求z= x3+y3z= x3+y3在在D D：x2+y21x2+y21上的最大值和最小上的最大值和最小值。值。 解：函數(shù)解：函數(shù)z= x3+y3z= x3+y3在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 x2+y21 x2+y21上一定可上一定可取得最大值和最小值取得最大值和最小值 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn)22

17、3=03=0zxxzyy 唯一駐點(diǎn)為唯一駐點(diǎn)為(0(0，0)0)。該點(diǎn)的函數(shù)值為該點(diǎn)的函數(shù)值為z(0z(0，0)=0 0)=0 在在D D的邊界上求的邊界上求z=x3+y3z=x3+y3的極的極值值. .引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù) 3322( , )(1)L x yxyxy 用用拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)求求解解，22( , ):1x yxy 區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部：22=1xy 條條件件：得得 ）（）（）（31202310232222yxyyLxxLyx 0,1;0,1xyyx 或或 22 yx計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值: 222222(,),(,)222222zz 所以所以 最大值為最大值為1 1，最小值為，最小值為1 1。例例3 3 求求z= x3+y3z= x3+y3在在D D：x2+y21x2+y21上的最大值和最小上的最大值和最小值。值。 (1)(2)yx()0 xy xy 又又 z(0 z(0，0)