2014人教A版高中數(shù)學(xué)必修四1.3《三角函數(shù)的導(dǎo)公式》示范教案

1、1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 本節(jié)主要是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二、三、四,并利用它們解決一些求解、化簡、證明問題.本小節(jié)介紹的五組誘導(dǎo)公式在內(nèi)容上既是公式一的延續(xù),又是后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ),它們與公式一組成的六組誘導(dǎo)公式,用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問題以及有關(guān)三角函數(shù)的化簡、證明等問題. 在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)中,化歸思想貫穿始末,這一典型的數(shù)學(xué)思想,無論在本節(jié)中的分析導(dǎo)入,還是利用誘導(dǎo)公式將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值,均清晰地得到體現(xiàn),在教學(xué)中注意數(shù)學(xué)思想滲透于知識(shí)的傳授之中,讓學(xué)生了解化歸思想,形成初步的化歸意識(shí),特別是在本課時(shí)的三個(gè)轉(zhuǎn)化問題引入后,為什么確定180

2、76;+角為第一研究對(duì)象,-角為第二研究對(duì)象,正是化歸思想的運(yùn)用. 公式二、公式三與公式四中涉及的角在本課的分析導(dǎo)入時(shí)為不大于90°的非負(fù)角,但是在推導(dǎo)中卻把拓廣為任意角,這一思維上的轉(zhuǎn)折使學(xué)生難以理解,甚至?xí)?dǎo)致對(duì)其必要性的懷疑,因此它成為本課時(shí)的難點(diǎn)所在. 課本例題實(shí)際上是誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用,難點(diǎn)在于需要把所求的角看成是一個(gè)整體的任意角.學(xué)生第一次接觸到此題型,思維上有困難,要多加引導(dǎo)分析,另外,誘導(dǎo)公式中角度制亦可轉(zhuǎn)化為弧度制,但必須注意同一個(gè)公式中只能采取一種制度,因此要加強(qiáng)角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化的練習(xí).三維目標(biāo) 1.通過學(xué)生的探究,明了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的來龍去脈,理解誘導(dǎo)公

3、式的推導(dǎo)過程;培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及運(yùn)算能力,滲透轉(zhuǎn)化及分類討論的思想. 2.通過誘導(dǎo)公式的具體運(yùn)用,熟練正確地運(yùn)用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題,體會(huì)數(shù)式變形在數(shù)學(xué)中的作用. 3.進(jìn)一步領(lǐng)悟把未知問題化歸為已知問題的數(shù)學(xué)思想,通過一題多解,一題多變,多題歸一,提高分析問題和解決問題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):五個(gè)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)和六組誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用,三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等. 教學(xué)難點(diǎn):六組誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用.課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課 思路1.利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值. 復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式一及其用途. 思路2.在前面的學(xué)習(xí)中,我們知道終邊相同的角的同

4、名三角函數(shù)值相等,即公式一,并且利用公式一可以把絕對(duì)值較大的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0°到360°(0到2)內(nèi)的角的三角函數(shù)值,求銳角三角函數(shù)值,我們可以通過查表求得,對(duì)于90°到360°(到2)范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)怎樣求解,能不能有像公式一那樣的公式把它們轉(zhuǎn)化到銳角范圍內(nèi)來求解,這一節(jié)就來探討這個(gè)問題.推進(jìn)新課新知探究提出問題 由公式一把任意角轉(zhuǎn)化為0°,360°)內(nèi)的角后,如何進(jìn)一步求出它的三角函數(shù)值? 活動(dòng):在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函數(shù)值學(xué)生記住了,對(duì)非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查數(shù)學(xué)用表或是

5、用計(jì)算器求得.教師可組織學(xué)生思考討論如下問題:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角能否與銳角相聯(lián)系?通過分析與的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生得出解決設(shè)問的一種思路:若能把求90°,360°)內(nèi)的角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求有關(guān)銳角的三角函數(shù)值,則問題將得到解決,適時(shí)提出,這一思想就是數(shù)學(xué)的化歸思想,教師可借此向?qū)W生介紹化歸思想.圖1討論結(jié)果:通過分析,歸納得出:如圖1.=提出問題銳角的終邊與180°+角的終邊位置關(guān)系如何?它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系如何?任意角與180°+呢? 活動(dòng):分為銳角和任意角

6、作圖分析:如圖2.圖2 引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓,并和學(xué)生一起討論探究角的關(guān)系.無論為銳角還是任意角,180°+的終邊都是的終邊的反向延長線,所以先選擇180°+為研究對(duì)象. 利用圖形還可以直觀地解決問題,角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P(x,y)和P(-x,-y).指導(dǎo)學(xué)生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義,導(dǎo)出公式二: sin(180°+)=-sin,cos(180°+)=-cos. 并指導(dǎo)學(xué)生寫出角為弧度時(shí)的關(guān)系式: sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan. 引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的特點(diǎn)

7、,明了各個(gè)公式的作用. 討論結(jié)果:銳角的終邊與180°+角的終邊互為反向延長線. 它們與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 任意角與180°+角的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.提出問題有了以上公式,我們下一步的研究對(duì)象是什么?-角的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何?活動(dòng):讓學(xué)生在單位圓中討論-與的位置關(guān)系,這時(shí)可通過復(fù)習(xí)正角和負(fù)角的定義,啟發(fā)學(xué)生思考:任意角和-的終邊的位置關(guān)系;它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系及其坐標(biāo).探索、概括、對(duì)照公式二的推導(dǎo)過程,由學(xué)生自己完成公式三的推導(dǎo),即:sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.教師點(diǎn)撥學(xué)生注意:無論是銳角還是任意

8、角,公式均成立.并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點(diǎn),得出公式三的用途:可將求負(fù)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求正角的三角函數(shù)值.討論結(jié)果:根據(jù)分析下一步的研究對(duì)象是-的正弦和余弦.-角的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù).提出問題下一步的研究對(duì)象是什么?-角的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何? 活動(dòng):討論-與的位置關(guān)系,這時(shí)可通過復(fù)習(xí)互補(bǔ)的定義,引導(dǎo)學(xué)生思考:任意角和-的終邊的位置關(guān)系;它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系及其坐標(biāo).探索、概括、對(duì)照公式二、三的推導(dǎo)過程,由學(xué)生自己完成公式四的推導(dǎo),即:sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-t

9、an.強(qiáng)調(diào)無論是銳角還是任意角,公式均成立.引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點(diǎn),得出公式四的用途:可將求-角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值.讓學(xué)生分析總結(jié)誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),概括說明,加強(qiáng)記憶.我們可以用下面一段話來概括公式一四:+k·2(kZ),-,±的三角函數(shù)值,等于的同名函數(shù)值,前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).進(jìn)一步簡記為:“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”.點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生注意公式中的是任意角.討論結(jié)果:根據(jù)分析下一步的研究對(duì)象是-的三角函數(shù);-角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是縱坐標(biāo)相等,橫坐標(biāo)互為相反數(shù).示例應(yīng)用思路1例1 利用公式求下列

10、三角函數(shù)值:(1)cos225°(2)sin;(3)sin();(4)cos(-2 040°). 活動(dòng):這是直接運(yùn)用公式的題目類型,讓學(xué)生熟悉公式,通過練習(xí)加深印象,逐步達(dá)到熟練、正確地應(yīng)用.讓學(xué)生觀察題目中的角的范圍,對(duì)照公式找出哪個(gè)公式適合解決這個(gè)問題.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;(2)sin=sin(4)=-sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5+)=-(-sin)=;(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360

11、76;-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=.點(diǎn)評(píng):利用公式一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進(jìn)行:上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.變式訓(xùn)練 利用公式求下列三角函數(shù)值:(1)cos(-510°15);(2)sin().解:(1)cos(-510°15)=cos510°15=cos(360°+150°15)=cos150°15=cos(180°-29°45)=-cos29°4

12、5=-0.868 2;(2)sin()=sin(-3×2)=sin=.例2 2007全國高考,1cos330°等于( )A. B. C. D.答案:C變式訓(xùn)練化簡:解:=.例3 化簡cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活動(dòng):這是要求學(xué)生靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形、求值與證明的題目.利用誘導(dǎo)公式將有關(guān)角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),再求值、合并、約分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)

13、-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°)-sin45°+cos120°=cos45°+cos(180°-60°)=-cos60°=-1.點(diǎn)評(píng):利用誘導(dǎo)公式化簡,是進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化,最終達(dá)到統(tǒng)一角或求值的目的.變式訓(xùn)練求證:.分析:利用誘導(dǎo)公式化簡較繁的一邊,使之等于另一邊.證明:左邊=tan=右邊.所以原式成立.規(guī)律總結(jié):證明恒等式,一般是化繁為簡,可以化簡一邊,也可以兩邊都化簡.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)13.解答:1.(1)-co

14、s;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos70°6.點(diǎn)評(píng)：利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).2.(1);(2);(3)0.642 8;(4).點(diǎn)評(píng)：先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),再求值.3.(1)-sin2cos;(2)sin4.點(diǎn)評(píng)：先利用誘導(dǎo)公式變形為角的三角函數(shù),再進(jìn)一步化簡.課堂小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了公式二、公式三、公式四三組公式,這三組公式在求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式及證明三角恒等式時(shí)是經(jīng)常用到的,為了記牢公式,我們總結(jié)了“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”的簡便記法,同學(xué)們要正確理解這句話的含義,不過更重要的還是應(yīng)用,我們要多加練習(xí),切實(shí)掌握由未知向已知轉(zhuǎn)化的化歸思想.

15、作業(yè)課本習(xí)題1.3 A組2、3、4.設(shè)計(jì)感想一、有關(guān)角的終邊的對(duì)稱性(1)角的終邊與角+的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(2)角的終邊與角-的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.(3)角的終邊與角-的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.二、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式應(yīng)注意的問題(1)+k·2(kZ),-,±的三角函數(shù)值等于的同名函數(shù)值,前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)的符號(hào);可簡單記憶為:“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限.”(2)公式中的是任意角.(3)利用誘導(dǎo)公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值.基本步驟是:任意負(fù)角的三角函數(shù)相應(yīng)的正角的三角函數(shù)0到2角的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)三角函數(shù).即負(fù)化正,大化小,化

16、為銳角再查表.(設(shè)計(jì)者：沈獻(xiàn)宏)第2課時(shí)導(dǎo)入新課上一節(jié)課我們研究了誘導(dǎo)公式二、三、四.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們回憶一下相應(yīng)的公式.提問多名學(xué)生上黑板默寫公式.在此基礎(chǔ)上,我們今天繼續(xù)探究別的誘導(dǎo)公式,揭示課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題 終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的角有何數(shù)量關(guān)系? 活動(dòng):我們借助單位圓探究終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的角的數(shù)量關(guān)系.教師充分讓學(xué)生探究,啟發(fā)學(xué)生借助單位圓,點(diǎn)撥學(xué)生從終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系,關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行引導(dǎo).圖3 討論結(jié)果:如圖3,設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,y),由于角-的終邊與角的終邊關(guān)于

17、直線y=x對(duì)稱,角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于直線y=x對(duì)稱,因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是(y,x),于是,我們有sin=y,cos=x,cos(-)=y,sin(-)=x.從而得到公式五:cos(-)=sin,sin(-)=cos. 提出問題 能否用已有公式得出+的正弦、余弦與的正弦、余弦之間的關(guān)系式? 活動(dòng):教師點(diǎn)撥學(xué)生將+轉(zhuǎn)化為-(-),從而利用公式四和公式五達(dá)到我們的目的.因?yàn)?可以轉(zhuǎn)化為-(-),所以求+角的正余弦問題就轉(zhuǎn)化為利用公式四接著轉(zhuǎn)化為利用公式五,這時(shí)可以讓學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)公式六.討論結(jié)果:公式六Sin(+)=cos,cos(+)=-sin. 提出問題 你能概括一下公式五、六嗎

18、? 活動(dòng):結(jié)合上一堂課研究公式一四的共同特征引導(dǎo)學(xué)生尋求公式五、六的共同特征,指導(dǎo)學(xué)生用類比的方法即可將公式五和公式六進(jìn)行概括.討論結(jié)果:±的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).進(jìn)一步可以簡記為:函數(shù)名改變,符號(hào)看象限.利用公式五或公式六,可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一六都叫做誘導(dǎo)公式.提出問題 學(xué)了六組誘導(dǎo)公式及上例的結(jié)果后,能否進(jìn)一步歸納概括誘導(dǎo)公式,怎樣概括?討論結(jié)果:誘導(dǎo)公式一四,函數(shù)名稱不改變,這些公式左邊的角分別是2k+(kZ),±,-(可看作0-).其中2k,0是橫坐標(biāo)軸上的角,因此,上述公式

19、可歸結(jié)為橫坐標(biāo)軸上的角±,函數(shù)名稱不改變.而公式五、六及上面的例1,這些公式左邊的角分別是±,-.其中,是縱坐標(biāo)軸上的角,因此這些公式可歸結(jié)為縱坐標(biāo)上的角±,函數(shù)名稱要改變.兩類誘導(dǎo)公式的符號(hào)的考查是一致的,故而所有的誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字來概括:縱變橫不變,符號(hào)看象限. 教師指點(diǎn)學(xué)習(xí)方法:如果我們孤立地記憶這么多誘導(dǎo)公式,那么我們的學(xué)習(xí)將十分苦累,且效率低下.學(xué)習(xí)過程中,能挖掘各個(gè)公式的本質(zhì)特征,尋求它們之間的共性,那么我們對(duì)數(shù)學(xué)公式的記憶就不再是負(fù)擔(dān)了.因此,要求大家多做這方面的工作,以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就不再是枯燥無味的了.示例應(yīng)用思路1例1 證明(1)sin(-)=

20、-cos;(2)cos(-)=-sin. 活動(dòng):直接應(yīng)用公式五、六或者通過轉(zhuǎn)化后利用公式五、六解決化簡、證明問題.證明:(1)sin(-)=sin+(-)=-sin(-)=-cos;(2)cos(-)=cos+(-)=-cos(-)=-sin.點(diǎn)評(píng):由公式五及六推得±的三角函數(shù)值與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系,從而進(jìn)一步可以推廣到(kZ)的情形.本例的結(jié)果可以直接作為誘導(dǎo)公式直接使用.例2 化簡 活動(dòng):仔細(xì)觀察題目中的角,哪些是可以利用公式二四的,哪些是可以利用公式五、六的.認(rèn)真應(yīng)用誘導(dǎo)公式,達(dá)到化簡的目的.解:原式=-tan.思路2例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求證:f

21、(sinx)=sin17x;(2)對(duì)于怎樣的整數(shù)n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx? 活動(dòng):對(duì)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用需要較多的思維空間,善于觀察題目特點(diǎn),要靈活變形.觀察本例條件與結(jié)論在結(jié)構(gòu)上類似,差別在于一個(gè)含余弦,一個(gè)含正弦,注意到正弦、余弦轉(zhuǎn)化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于觀察條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征,找出它們的共性與差異;要注意誘導(dǎo)公式可實(shí)現(xiàn)角的形式之間及互余函數(shù)名稱之間的轉(zhuǎn)移.證明:(1)f(sinx)=fcos(-x)=cos17(-x)=cos(8+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.

22、(2)f(cosx)=fsin(-x)=sinn(-x)=sin(-nx)=故所求的整數(shù)n=4k+1(kZ).點(diǎn)評(píng):正確合理地運(yùn)用公式是解決問題的關(guān)鍵所在.變式訓(xùn)練 已知cos(-)=m(m1),求sin(-)的值.解:-(-)=,-=+(-).sin(-)=sin+(-)=cos(-)=m.點(diǎn)評(píng):(1)當(dāng)兩個(gè)角的和或差是的整數(shù)倍時(shí),它們的三角函數(shù)值可通過誘導(dǎo)公式聯(lián)系起來.(2)化簡已知與所求,然后探求聯(lián)系,這是解決問題的重要思想方法.例2 已知sin是方程5x2-7x-6=0的根,且為第三象限角,求的值. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生先確定sin的值再化簡待求式,從而架起已知與未知的橋梁.解:5x2-

23、7x-6=0的兩根x=2或x=,-1x1,sin=.又為第三象限角,cos=.tan=.原式=tana=點(diǎn)評(píng):綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決綜合問題.變式訓(xùn)練 若函數(shù)f(n)=sin(nZ),則f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=_.解:=sin(+2)=sin,f(n)=f(n+12).從而有f(1)+f(2)+f(3)+f(12)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2f(1)+f(2)+f(3)=2+.例3 已知函數(shù)f(x)=asin(x+)+bcos(x+).其中a,b,都是非零實(shí)數(shù),又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值. 活動(dòng):尋求f(2 003)=-1與f(2 004)之間的聯(lián)系,這個(gè)聯(lián)系就是我們解答問題的關(guān)鍵和要害. 解:f(2 003)=asin(2 003+)+bcos(2 003+)=asin(2 002+)+bcos(2 002+)=asin(+)+bcos(+)=-asin-bcos=-(asin+bcos),f(2 003)=-1,asin+bcos=1.f(2 004)=asin(2 004+)+bcos(2 004+)=asin+bcos=1. 點(diǎn)評(píng):解決問題的實(shí)質(zhì)就是由未知向已知轉(zhuǎn)化的過程,在這個(gè)過程中一定要抓住關(guān)鍵和要害,