第四章 電路定理

1、第四章 電路定理電路定理是電路理論的重要組成部分，為我們求解電路問(wèn)題提供了另一種分析方法，這些方法具有比較靈活，變換形式多樣，目的性強(qiáng)的特點(diǎn)。因此相對(duì)來(lái)說(shuō)比第三章中的方程式法較難掌握一些，但應(yīng)用正確，將使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題的求解過(guò)程變得非常簡(jiǎn)單。應(yīng)用定理分析電路問(wèn)題必須做到理解其內(nèi)容，注意使用的范圍、條件，熟練掌握使用的方法和步驟。需要指出，在很多問(wèn)題中定理和方程法往往又是結(jié)合使用的。4-1 應(yīng)用疊加定理求圖示電路中電壓。解：首先畫出兩個(gè)電源單獨(dú)作用式的分電路入題解4-1圖（a）和（b）所示。對(duì)（a）圖應(yīng)用結(jié)點(diǎn)電壓法可得解得 對(duì)（b）圖，應(yīng)用電阻的分流公式有 所以 故由疊加定理得 4-2 應(yīng)用

2、疊加定理求圖示電路中電壓。解：畫出電源分別作用的分電路如題解（a）和（b）所示。 對(duì)（a）圖應(yīng)用結(jié)點(diǎn)電壓法有解得 對(duì)（b）圖，應(yīng)用電阻串并聯(lián)化簡(jiǎn)方法，可求得 所以，由疊加定理得原電路的為 4-3 應(yīng)用疊加定理求圖示電路中電壓。解：根據(jù)疊加定理，作出2電壓源和3電流源單獨(dú)作用時(shí)的分電路如題解圖（a）和（b）。受控源均保留在分電路中。（a）圖中 所以根據(jù)KVL有 由（b）圖，得 故原電路中的電壓 4-4 應(yīng)用疊加定理求圖示電路中電壓。解：按疊加定理，作出5和10電壓源單獨(dú)作用時(shí)的分電路如題解4-4圖（a）和（b）所示，受控電壓源均保留在分電路中。 應(yīng)用電源等效變換把圖（a）等效為圖（c），圖（b）

3、等效為圖（d）。由圖（c），得 從中解得 由圖（d）得 從中解得 故原電路的電壓 注：疊加定理僅適用于線性電路求解電壓和電流響應(yīng)，而不能用來(lái)計(jì)算功率。這是因?yàn)榫€性電路中的電壓和電流都與激勵(lì)(獨(dú)立源)呈線性關(guān)系，而功率與激勵(lì)不再是線性關(guān)系。題4-1至題4-4的求解過(guò)程告訴我們： 應(yīng)用疊加定理求解電路的基本思想是“化整為零”，即將多個(gè)獨(dú)立源作用的較復(fù)雜的電路分解為一個(gè)一個(gè)（或一組一組）獨(dú)立源作用的較簡(jiǎn)單的電路，在分電路中分別計(jì)算所求量，最后代數(shù)和相加求出結(jié)果。需要特別注意： （1）當(dāng)一個(gè)獨(dú)立源作用時(shí)，其它獨(dú)立源都應(yīng)等于零，即獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源開(kāi)路 （2）最后電壓、電流是代數(shù)量的疊加，若分電

4、路計(jì)算的響應(yīng)與原電路這一響應(yīng)的參考方向一致取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。 （3）電路中的受控源不要單獨(dú)作用，應(yīng)保留在各分電路中，受控源的數(shù)值隨每一分電路中控制量數(shù)值的變化而變化。 （4）疊加的方式是任意的，可以一次使一個(gè)獨(dú)立源作用，也可以一次讓多個(gè)獨(dú)立源同時(shí)作用（如42解），方式的選擇以有利于簡(jiǎn)化分析計(jì)算。 學(xué)習(xí)應(yīng)用疊加定理，還應(yīng)認(rèn)識(shí)到，疊加定理的重要性不僅在于可用疊加法分析電路本身，而且在于它為線性電路的定性分析和一些具體計(jì)算方法提供了理論依據(jù)。45 試求圖示梯形電路中各支路電流，結(jié)點(diǎn)電壓和。其中10V。解：由齊性定理可知，當(dāng)電路中只有一個(gè)獨(dú)立源時(shí)，其任意支路的響應(yīng)與該獨(dú)立源成正比。用齊性定理分析本題

5、的梯形電路特別有效。現(xiàn)設(shè)支路電流如圖所示，若給定 則可計(jì)算出各支路電壓電流分別為 即當(dāng)激勵(lì)時(shí)，各電壓、電流如以上計(jì)算數(shù)值，現(xiàn)給定 10 V，相當(dāng)于將以上激勵(lì)縮小了倍，即 故電路各支路的電流和結(jié)點(diǎn)電壓應(yīng)同時(shí)縮小倍，有 輸出電壓和激勵(lì)的比值為 注：本題的計(jì)算采用“倒退法”，即先從梯形電路最遠(yuǎn)離電源的一端開(kāi)始，對(duì)電壓或電流設(shè)一便于計(jì)算的值，倒退算至激勵(lì)處，最后再按齊性定理予以修正。46 圖示電路中，當(dāng)電流源和電壓源反向時(shí)（不變），電壓是原來(lái)的0.5倍；當(dāng)和反向時(shí)（不變），電壓是原來(lái)的0.3倍。問(wèn)：僅反向（，均不變），電壓應(yīng)為原來(lái)的幾倍？解：根據(jù)疊加定理，設(shè)響應(yīng)式中，為未知的比例常數(shù)，將已知條件代入上

6、式，得將式，相加，得顯然式等號(hào)右邊的式子恰等于式等號(hào)右邊的式子。因此得所求倍數(shù)。 注：本題實(shí)際給出了應(yīng)用疊加定理研究一個(gè)線性電路激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)方法。47 圖示電路中，當(dāng)開(kāi)關(guān)S在位置1時(shí)，毫安表的讀數(shù)為；當(dāng)開(kāi)關(guān)S合向位置2時(shí)，毫安表的讀數(shù)為。如果把開(kāi)關(guān)S合向位置3，毫安表的讀數(shù)為多少？解：設(shè)流過(guò)電流表的電流為I，根據(jù)疊加定理當(dāng)開(kāi)關(guān)S在位置1時(shí)，相當(dāng)于，當(dāng)開(kāi)關(guān)S在位置2時(shí)，相當(dāng)于，當(dāng)開(kāi)關(guān)S在位置3時(shí)，相當(dāng)于，把上述條件代入以上方程式中，可得關(guān)系式從中解出 所以當(dāng)S在位置3 時(shí)，有 48 求圖示電路的戴維寧和諾頓等效電路。解：求開(kāi)路電壓。設(shè)參考方向如圖所示，由KVL列方程解得 求等效內(nèi)阻。將原

7、圖中電壓源短路，電流源開(kāi)路，電路變?yōu)轭}解48（a）圖，應(yīng)用電阻串并聯(lián)等效，求得 =(2+2)/4=2 畫出戴維寧等效電路如圖（b）所示，應(yīng)用電源等效變換得諾頓等效電路如圖（c）所示。 其中 注意畫等效電路時(shí)不要將開(kāi)路電壓的極性畫錯(cuò)，本題設(shè)a端為 的“”極性端，求得的為負(fù)值，故（b）圖中的b端為開(kāi)路電壓的實(shí)際“”極性端。49 求圖示電路的戴維寧等效電路。解：本題電路為梯形電路，根據(jù)齊性定理，應(yīng)用“倒退法”求開(kāi)路電壓。設(shè)，各支路電流如圖示，計(jì)算得 故當(dāng)時(shí)，開(kāi)路電壓為 將電路中的電壓源短路，應(yīng)用電阻串并聯(lián)等效，求得等效內(nèi)阻為 畫出戴維寧等效電路如題解49圖所示。410 求圖中各電路在ab端口的戴維寧

8、等效電路或諾頓等效電路。解（a）：先求開(kāi)路電壓。應(yīng)用結(jié)點(diǎn)電壓法，結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖（a）所示。結(jié)點(diǎn)方程為 把以上方程加以整理有 應(yīng)用消去法，解得 故開(kāi)路電壓 再把電壓源短路應(yīng)用電阻串并聯(lián)等效求內(nèi)阻 畫出戴維寧等效電路如題解圖（a1）所示。解（b）：應(yīng)用電阻分壓求得開(kāi)路電壓為 把電壓源短路，可求得等效內(nèi)電阻為等效電路如題解圖（b1）所示。解（c）：這個(gè)問(wèn)題用諾頓定理求解比較方便。把a(bǔ)b端口短路，顯然短路電流等于電流源的電流，即 把電流源開(kāi)路求等效內(nèi)電阻。由于電路是一平衡電橋，可以把cd右側(cè)電阻電路斷去如題解圖（c1）所示，則 畫出諾頓等效電路如題解圖（c2）所示。解（d）：應(yīng)用替代定理，圖（d）可以等

9、效變換為題解圖（d1）所示的電路。則開(kāi)路電壓為 把圖（d1）中的電壓源短路，電流源開(kāi)路，等效電阻 畫出戴維寧等效電路如圖（d2）所示。411 圖（a）所示含源一端口的外特性曲線畫于圖（b）中，求其等效電源。解：根據(jù)戴維寧定理可知，圖示含源一端口電路可以等效為題解411圖所示的電源電路，其端口電壓和電流滿足關(guān)系式 圖（b）所示的含源一端口的外特性曲線方程為 比較以上兩個(gè)方程式，可得等效電源電路的參數(shù) ， 412 求圖示各電路的等效戴維寧電路或諾頓電路。解（a）：先求開(kāi)路電壓。應(yīng)用網(wǎng)孔電流法，設(shè)網(wǎng)孔電流，其繞行方向如圖（a）所示。列網(wǎng)孔電流方程為聯(lián)立求解以上方程，可得故開(kāi)路電壓為 將電壓源短接，電

10、流源開(kāi)路，得題解圖（a1）所示電路，應(yīng)用電阻串、并聯(lián)等效求得等效電阻 戴維寧等效電路如題解圖（a2）所示解（b）：根據(jù)KVL求開(kāi)路電壓為把3V電壓源短路，2A電流源斷開(kāi)，可以看出等效內(nèi)阻為戴維寧等效電路見(jiàn)題解圖（b1）。解（c）：設(shè)開(kāi)路電壓參考方向如圖（c）所示。顯然等于受控源所在支路得電壓，即 由于電路中有受控源，求等效電阻時(shí)不能用電阻串、并聯(lián)等效的方法，現(xiàn)采用求輸入電阻的外加電源法。將（c）圖中獨(dú)立電壓源短路，在ab端子間加電壓源如題圖（c1）所示。根據(jù)KVL列方程 從第二個(gè)方程中解出 把代入第一個(gè)方程中，可得故等效電阻為 畫出戴維寧等效電路如題解圖（c2）所示。解（d）：解法一：先求開(kāi)路

11、電壓。把圖（d）中受控電流源與電阻的并接支路等效變換為受控電壓源與電阻的串接支路如題解圖（d1）所示。由KVL得把代入上式中，解得故開(kāi)路電壓 求等效電阻可以采用如下兩種方法 （1）開(kāi)路、短路法 把圖（d1）中的端子短接如題解圖（d2）所示。由KVL得 即 把代入式中，有解得 則等效電阻 （2）外加電源法 把圖（d1）中電流源開(kāi)端，在端子間加電壓源如圖（d3）所示，由KVL得把代入上式中，有考慮到，則 所以 故等效電阻為 戴維寧等效電路如題解圖（d4）所示。解法二：在圖（d1）的端口處外加一個(gè)電壓源，圖題解圖（d5）所示。通過(guò)求出在端口的關(guān)系得出等效電路。應(yīng)用KVL列出中間網(wǎng)孔的電壓方程，應(yīng)用K

12、CL列出下部結(jié)點(diǎn)的電流方程有 把代入第一個(gè)方程中，并從兩方程中消去，可得 整理得關(guān)系為 這個(gè)關(guān)系式與圖（d4）的等效電路的端口電壓、電流的關(guān)系式是一致的，即可得原圖端口的， 這一解法是一步同時(shí)求出和，但在電路比較復(fù)雜時(shí)，由于這一解法要求解方程組，不如解法一方便。 注：戴維寧定理、諾頓定理是分析線性電路最常用的兩個(gè)定理。從48題至412題的求解過(guò)程可以歸納出應(yīng)用這兩個(gè)定理求等效電路的步驟為：（1）求一端口電路端口處的開(kāi)路電壓或短路電流；（2）求等效內(nèi)電阻；（3）畫出等效電路。 開(kāi)路電壓可這樣求?。合仍O(shè)端口處的參考方向，然后視具體電路形式，從已掌握的電阻串、并聯(lián)等效，分壓分流關(guān)系，電源等效互換，疊

13、加定理，回路電流法，結(jié)點(diǎn)電壓法等方法中，選取一個(gè)能簡(jiǎn)便地求得的方法計(jì)算。 求等效電阻的一般方法為：（1）開(kāi)路、短路法。即在求得后，將端口的兩端子短路，并設(shè)短路電流（的參考方向?yàn)閺牡摹啊睒O性端指向“”極性端），應(yīng)用所學(xué)的任何方法求出，則 。此法在求和時(shí)，一端口電路內(nèi)所有的獨(dú)立源均保留。（2）外加電源法。即令一端口電路內(nèi)所有的獨(dú)立源為零（獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源開(kāi)路），在兩端子間外加電源（電壓源、電流源均可），求得端子間電壓和電流的比值，則（與對(duì)兩端電路的參考方向關(guān)聯(lián)）。（3）若兩端電路是不含受控源的純電阻電路，則除上述方法外常用電阻串、并聯(lián)等效和互換等效求。413 求圖示兩個(gè)一端口的戴維寧或諾

14、頓等效電路，并解釋所得結(jié)果。解（a）：因?yàn)槎丝陂_(kāi)路，端口電流，故受控電流源的電流為零，可將其斷開(kāi)，從而得開(kāi)路電壓 把端口短路，電路變?yōu)轭}解413圖（a1）所示電路。由KVL可得 從中解出 這說(shuō)明該電路的等效電阻，故等效電路為題解圖（a2）所示的理想電壓源。顯然其諾頓等效電路是不存在的。解（b）：把端子短路。電路如題解圖（b1）所示。由圖可知電阻和電阻并聯(lián)，則電壓 電流為 把電壓源短路，應(yīng)用外加電源法求等效電阻，由題解圖（b2），可得 說(shuō)明該電路的等效電阻 故等效電路為一電流為的理想電流源，即該電路只有諾頓等效電路如題解圖（b3）所示，而不存在戴維寧等效模型。 注：本題兩個(gè)電路的計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，一

15、個(gè)一端口電路不一定同時(shí)存在戴維寧和諾頓等效電路。當(dāng)端口的開(kāi)路電壓，而等效電阻時(shí)，電路的等效模型為一理想電壓源，即只有戴維寧等效電路。當(dāng)端口的短路電流，而等效電導(dǎo)時(shí)，電路的等效模型為理想電流源，即只有諾頓等效電路。只有當(dāng)不等于和時(shí)，電路才同時(shí)存在戴維寧和諾頓等效電路。414 在圖示電路中，當(dāng)取和時(shí)，求的電壓、電流和消耗的功率（可列表表示各結(jié)果）。解：本題計(jì)算所在支路的電量，且的值是變化的，這種求解電路的局部量問(wèn)題選用戴維寧等效電路的方法最適宜。把所求支路以外的電路用戴維寧等效電路替代，再求所求量。 先把支路斷開(kāi)如題解414圖（a）所示。應(yīng)用電源等效互換得一端口電路的戴維寧等效電路的電壓源和電阻為

16、 接上支路，如題解圖（b）所示，則 把的各個(gè)值代入，計(jì)算得，的值如下表所示。02461018244290186864.84321.610.50.2501219.224303638.4424546.507292.1696907261.444222.511.625415 在圖示電路中，試問(wèn)：（1）為多大時(shí)，它吸收的功率最大？求此時(shí)最大功率。 （2）若欲使中電流為零，則a，b間應(yīng)并接什么元件，其參數(shù)為多少？畫出電路圖。解：（1）自a，b斷開(kāi)所在支路，應(yīng)用電阻串、并聯(lián)及電源等效互換將原圖變?yōu)轭}解圖（a），由題解圖（a）易求得開(kāi)路電壓 將（a）圖中電壓源短路，求等效電阻 最后得等效電路如題解圖（b）所示

17、，由最大功率傳輸定理可知，當(dāng)時(shí)，其上可獲得最大功率。此時(shí) （2）利用電源等效互換，圖（b）電路可以變化為圖（c），由KCL可知，在a，b間并接一個(gè)理想電流源，其值，方向由a指向b，這樣中的電流將為零。注：求解負(fù)載從有源一端口電路吸收最大功率這一類問(wèn)題，選用戴維寧定理或諾頓定理與最大功率傳輸定理結(jié)合的方法最為簡(jiǎn)便，因?yàn)樽畲蠊β蕚鬏敹ɡ砀嬖V我們：最大功率匹配的條件是負(fù)載電阻等于有源一端口電路的等效電阻，即，此時(shí)最大功率為。這里需要注意：（1） 這一條件應(yīng)用于可改變、固定的情況下，若固定、可變則另當(dāng)別論；（2）上消耗的功率不等于一端口電路內(nèi)部消耗的功率，因此獲最大功率時(shí)，并不等于獲取了一端口電路內(nèi)電

18、源發(fā)出功率的。416 圖示電路的負(fù)載電阻可變，試問(wèn)等于何值時(shí)可吸收最大功率？求此功率。解：首先求出以左部分的等效電路。斷開(kāi)，設(shè) 如題解416圖（a）所示，并把受控電流源等效為受控電壓源。由KVL可得 故開(kāi)路電壓 把端口短路，如題解圖（b）所示應(yīng)用網(wǎng)孔電流法求短路電流，網(wǎng)孔方程為 解得 故一端口電路的等效電阻 畫出戴維寧等效電路，接上待求支路，如題解圖（c）所示。由最大功率傳輸定理知時(shí)其上獲得最大功率。獲得的最大功率為417 圖示電路中（方框內(nèi)部）僅由電阻組成。對(duì)不同的輸入直流電壓及不同的，值進(jìn)行了兩次測(cè)量，得下列數(shù)據(jù)：時(shí)，；，時(shí)，求的值。解：設(shè)N網(wǎng)絡(luò)二個(gè)端口的電壓為，如圖所示。由題意可知：第一

19、次測(cè)量有 第二此測(cè)量有 根據(jù)特勒根定理2，應(yīng)滿足 代入數(shù)據(jù)，有 從中解得 注：特勒根定理是對(duì)任何具有線性、非線性、時(shí)不變、時(shí)變?cè)募傠娐范歼m用的基本定理，它有兩種形式。應(yīng)用特勒根定理時(shí)，支路的電壓、電流要取關(guān)聯(lián)參考方向。如417題求解時(shí)，由于和為非關(guān)聯(lián)參考方向，所以在列方程時(shí)前加負(fù)號(hào)。特勒根定理常用于求解多端口電路的電壓、電路問(wèn)題。應(yīng)用特勒根定理可以導(dǎo)得互易定理。418 在圖（a）中，已知，求圖（b）中（網(wǎng)絡(luò)N僅由電阻組成）。解法一：設(shè)網(wǎng)絡(luò)端口得電壓和電流如圖（a）和（b）所示。其中應(yīng)用特勒根定理2，有關(guān)系式 即 整理可得 解法二：把，和網(wǎng)絡(luò)歸為網(wǎng)絡(luò)中，圖（a）和（b）變?yōu)轭}解418圖（a

20、）和（b），網(wǎng)絡(luò)仍為純電阻網(wǎng)絡(luò)，為互易網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)互易定理，網(wǎng)絡(luò)端口電壓電流關(guān)系為 故 注：互易定理是指：對(duì)一個(gè)僅含線性電阻的二端口電路，當(dāng)激勵(lì)端口與響應(yīng)端口互換位置時(shí)，同一激勵(lì)源所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。應(yīng)用互易定理分析電路時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）互易前后應(yīng)保持網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及參數(shù)不變，僅理想電源搬移；（2）互易前后，網(wǎng)絡(luò)端口 ，支路的電壓和電流的參考方向應(yīng)保持一致，即要關(guān)聯(lián)都關(guān)聯(lián)，要非關(guān)聯(lián)都非關(guān)聯(lián)；（3）互易定理只適用于一個(gè)獨(dú)立源作用的線性電阻網(wǎng)路，且一般不能含有受控源。對(duì)一些僅含一個(gè)獨(dú)立源的互易電路，應(yīng)用互易定理，通過(guò)互換激勵(lì)與響應(yīng)位置，可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。419 圖中網(wǎng)絡(luò)僅由電阻組成。根據(jù)圖（a）和圖（b）的已知情況，求圖（c）中電流和。解：首先求電流。解法一：對(duì)圖（c）應(yīng)用疊加定理。兩個(gè)電源單獨(dú)作用的分電路為圖（a）和題解419圖（a1）。由圖（a）知題解419圖（a1）相當(dāng)于把圖（a）中的激勵(lì)和響應(yīng)互換，因此根據(jù)互易定理可得故圖（c）中的電流為解法二：對(duì)圖（a）和圖（c）應(yīng)用特勒根定理2，可得端口電壓和電流的關(guān)系式為 故有 解法三：把圖（c）中支路的電壓源斷