高三數(shù)學(xué)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想

1、1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 現(xiàn)實(shí)生活中的幾個(gè)問(wèn)題 吸煙是否與得肺癌有關(guān)系？ 性別是否與數(shù)學(xué)好壞有關(guān)？ 韓國(guó)人比中國(guó)人個(gè)子高？1、介紹兩個(gè)相關(guān)的概念、介紹兩個(gè)相關(guān)的概念 對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同不同“值值”表示個(gè)體所屬的表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)，像這樣的變量稱(chēng)為為分類(lèi)變量分類(lèi)變量，也稱(chēng)為，也稱(chēng)為屬性變量屬性變量或或定性變量定性變量，它們的取值一，它們的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類(lèi)別。定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類(lèi)別。（1）分類(lèi)變量： 定量變量的取值一定是實(shí)數(shù)

2、，它們的取值大小有定量變量的取值一定是實(shí)數(shù)，它們的取值大小有特定的含義，不同取值之間的運(yùn)算也有特定的含義。特定的含義，不同取值之間的運(yùn)算也有特定的含義。（2）定量變量： 例如身高、體重、考試成績(jī)等，張明的身高是例如身高、體重、考試成績(jī)等，張明的身高是180cm，李立的，李立的身高是身高是175cm，說(shuō)明張明比李立高，說(shuō)明張明比李立高180-175=5（cm）。）。2 2定量變量回歸分析（畫(huà)散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)r、定量變量回歸分析（畫(huà)散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)r、變量 相關(guān)指數(shù)R 、殘差分析）變量 相關(guān)指數(shù)R 、殘差分析）分類(lèi)變量分類(lèi)變量研究?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)關(guān)系：定量變量：體重、身高、溫度、考試成績(jī)等等。定量變

3、量：體重、身高、溫度、考試成績(jī)等等。變量 分類(lèi)變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、變量 分類(lèi)變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、 宗教信仰、國(guó)籍等等。宗教信仰、國(guó)籍等等。兩種變量：獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題。在日常生活中，我們常常關(guān)心在日常生活中，我們常常關(guān)心分類(lèi)變量的之間是否有關(guān)系分類(lèi)變量的之間是否有關(guān)系不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計(jì)總計(jì)9874919965 為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了了9965人，得到如下結(jié)果（單

4、位：人）：人，得到如下結(jié)果（單位：人）： 那么吸煙是否對(duì)患肺癌有影響？那么吸煙是否對(duì)患肺癌有影響？表表1-9 吸煙與患肺癌列聯(lián)表吸煙與患肺癌列聯(lián)表1、象這樣的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表叫、象這樣的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表叫列聯(lián)表列聯(lián)表. 在不吸煙者中，有在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；患有肺癌； 在吸煙者中，有在吸煙者中，有2.28%患有肺癌患有肺癌。因此，直觀上可以。因此，直觀上可以得到結(jié)論得到結(jié)論: 吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異。2、與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映、與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀

5、況。出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況。三維柱形圖二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000不吸煙吸煙00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸煙不吸煙吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例等高條形圖 上面我們通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印上面我們通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？你得到這個(gè)結(jié)論有多大的把握呢你得到這個(gè)結(jié)論有多大的把握呢?為此先假設(shè)為此先假設(shè)H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系，：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系，看看能夠推出什么

6、樣的結(jié)論?？纯茨軌蛲瞥鍪裁礃拥慕Y(jié)論。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計(jì)總計(jì)a+cb+da+b+c+d如果如果“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，(即即H0 成立成立)則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙者中相應(yīng)的比例應(yīng)差不多，即不吸煙者中相應(yīng)的比例應(yīng)差不多，即:acabcd()()a cdc ab0.adbc結(jié)論：結(jié)論：|ad-bc| 越小，說(shuō)明越小，說(shuō)明H0 成立的可能性越大成立的可能性越大.如下用字母表示數(shù)字得列聯(lián)表（表如下用字母表示數(shù)字得列聯(lián)表（表1-10） 為了統(tǒng)一評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量為

7、了統(tǒng)一評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量 因此因此:若若 H0成立，則成立，則K2應(yīng)很小。應(yīng)很小。利用公式（利用公式（1）計(jì)算得到）計(jì)算得到 K2 的觀測(cè)值為的觀測(cè)值為22(),()()()() 其中為樣本容量。n adbcKab cd ac bdnabcd（1）29965(7775 4942 2099)56.632.7817 2148 9874 91k如何看待這個(gè)值呢？如何看待這個(gè)值呢？ 即在即在H0成立的情況下，成立的情況下，K2的值大于的值大于6.635的的概率非常小，概率非常小， 近似于近似于0.01。而現(xiàn)在。而現(xiàn)在K2的值的值56.632遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于6.635, 故它是小概率事件故它是小

8、概率事件,所以所以我們認(rèn)為我們認(rèn)為H0 是不成立的是不成立的 .雖然這種判斷犯錯(cuò)雖然這種判斷犯錯(cuò)誤的可能性存在誤的可能性存在, 但但我們有我們有99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為H0 是不成立的是不成立的!(即吸煙與患肺癌有關(guān)系即吸煙與患肺癌有關(guān)系)2(6.635)0.01.P K （2）在在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究出如下的成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究出如下的概率概率上面這種利用隨機(jī)變量上面這種利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法的方法稱(chēng)為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。稱(chēng)為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義：獨(dú)立性檢

9、驗(yàn)的定義：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想： 類(lèi)似于數(shù)學(xué)上的反證法，要確認(rèn)類(lèi)似于數(shù)學(xué)上的反證法，要確認(rèn)“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，這一結(jié)論成立的可信程度， 首先，假設(shè)該結(jié)論不成立首先，假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類(lèi)變量?jī)蓚€(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系沒(méi)有關(guān)系”成立。成立。 其次，在假設(shè)下，計(jì)算構(gòu)造的隨機(jī)變量其次，在假設(shè)下，計(jì)算構(gòu)造的隨機(jī)變量K2，如果有觀如果有觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2k0，則我們，則我們有有1-P(K2k0)*100把把握說(shuō)明假設(shè)不合理（即兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系）。握說(shuō)明假設(shè)不合理（即兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系）。當(dāng)當(dāng)K2k

10、0，則我們，則我們沒(méi)有沒(méi)有1-P(K2k0)*100把握說(shuō)明假設(shè)不把握說(shuō)明假設(shè)不合理。合理。 設(shè)要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系” 1、通過(guò)三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷 兩個(gè)變量是否有關(guān)系。（1）在三維柱形圖中， 主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的 乘積ad與副對(duì)角線上的乘積bc相差越大，H1成 立的可能性就越大。（2）在二維條形圖中，(x1,y1)個(gè)體所占的比例 與(x2,y1) 個(gè)體所占的比例 ， 兩個(gè)比例相差越大，H1成立的可能性就越大。aabccd2、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：2x2列聯(lián)表y1y2總計(jì)

11、總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)總計(jì)a+cb+da+b+c+d具體作法是： 根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算隨機(jī)變量K2的值k，其值越大，說(shuō)明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大?？梢酝ㄟ^(guò)查閱下表（表1-12）來(lái)確定斷言“X與Y有關(guān)系”的可信程度。表1-1210.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445 k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.502()P Kk例如：（1）如果k10.828，就有99.9%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（2）如果k6.635，就有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（3）如果k2.

12、706，就有90%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（4）如果k=2.706，就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”。例1.禿頭與患心臟病 在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計(jì)總計(jì)禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計(jì)總計(jì)6657721437 相應(yīng)的三維柱形圖如圖所示，比較來(lái)說(shuō)，底面副對(duì)角線上兩個(gè)柱體高度的乘積要

13、大一些，因此可以在某種程度上認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”。禿頭不禿頭例1.禿頭與患心臟病 在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而 另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用 圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在 什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計(jì)總計(jì)禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計(jì)總計(jì)6657721437 根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到221437 (214 597 175 451)16.3736.635.389 1

14、048 665 772K所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂患心臟病有關(guān)”。 為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課程喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)總計(jì)男男3785122女女35143178總計(jì)總計(jì)72228300解：在假設(shè)“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間沒(méi)有關(guān)系”的前提下K2應(yīng)該很小，并且例2.性別與喜歡數(shù)學(xué)課 由表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2的觀測(cè)值k 4.513。在多大程度上可以認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系？為什么？2(3.841)0.05,P K 而我們所得到的K2的觀測(cè)值k 4.513超過(guò)3.841，這就意味著“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”這一結(jié)論錯(cuò)誤的可能性約為0.05，即有95%的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之