北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

1、北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總第一章 特殊平行四邊形一、平行四邊形1、定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2、性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。 （2）平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。 （3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分，兩條對(duì)角線把平行四邊形分成四個(gè)面積相等的三角形。 （4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形。3、判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 （2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 （3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 （4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。 （5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。4、面積：S平行四邊形=底高二、菱形1、定義：有

2、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2、性質(zhì)：（1）菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。 （2）菱形的四條邊都相等。 （3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；兩條對(duì)角線把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形（兩條）。3、判定：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 （2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 （3）四條邊都相等的四邊形是菱形。4、面積：S菱形=底高；S菱形=對(duì)角線乘積的一半三、矩形1、定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。2、性質(zhì)：（1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。 （2）矩形的四個(gè)角都是直角。 （3）矩形的對(duì)角線相等且互相

3、平分，兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)面積相等的等腰三角形。 （4）推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 （5）矩形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形（兩條）。3、判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。 （2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。 （3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。4、面積：S矩形=底高四、正方形1、定義：有一組鄰邊相等，且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。2、性質(zhì)：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性質(zhì)。 （2）正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。 （3）正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形。 （4）正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是

4、軸對(duì)稱圖形（四條）。3、判定：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。 （2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。 正方形=菱形+矩形 （3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。 （4）對(duì)角線相等的菱形是正方形。4、面積：S正方形=邊長(zhǎng)的平方；S正方形=對(duì)角線乘積的一半五、中點(diǎn)四邊形1、定義：以四邊形四條邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形2、中點(diǎn)四邊形：一般四邊形平行四邊形；平行四邊形平行四邊形；菱形矩形；矩形菱形；正方形正方形。第二章 一元二次方程一、定義：我們把形如的方程，稱為一元二次方程。其中，分別稱為二次項(xiàng)，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)。二、解一元二次方程的方法1、配方法：移項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)化為

5、1配方（方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）開(kāi)平方（有正負(fù)兩個(gè)結(jié)果）求解寫(xiě)根。2、公式法：化為一般形式（）找出，（記得帶上符號(hào)）代入根的判別式（）代入求根公式（）求解寫(xiě)根。3、因式分解法：當(dāng)一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)可用因式分解法。 （1）提公因式法： （2）公式法：平方差公式： 完全平方公式： （3）十字相乘法：三、一元二次方程根的判別式：對(duì)于一元二次方程 （1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 （2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。 （3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。四、一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（韋達(dá)定理） 如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么，五、應(yīng)用一元二次方程

6、（1、幾何面積問(wèn)題；2、銷售問(wèn)題） 審題尋找數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)（直接假設(shè)和間接假設(shè)）列一元二次方程解方程檢驗(yàn)作答。第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一、列表法和化樹(shù)狀圖法1、列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。2、畫(huà)樹(shù)狀圖法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)涉及3個(gè)或更多因素時(shí)，列表就不方便，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用畫(huà)樹(shù)狀圖法。二、頻率估計(jì)概率：一般的，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果事件A發(fā)成的頻率穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，那么事件A發(fā)生的概率第四章 圖形的相似一、成比例線段1、定義：四條線段中，如果與的比等于與的比，即，那么這四條線段叫做成

7、比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。2、性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：如果，那么； 如果，那么 （2）等比性質(zhì)：如果，那么 （3）合比性質(zhì)：如果，那么，二、平行線分線段成比例1、定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例2、推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例三、相似多邊形1、定義：各角分別相等，各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比2、性質(zhì)：相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方四、相似三角形1、定義：三角分別相等，三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形2、判定：（1）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 （2）兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三

8、角形相似 （3）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似3、性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 （2）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 （3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方五、黃金分割：點(diǎn)把線段分成兩條線段和 ，如果，那么稱線段 被點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比，即 六、位似圖形1、定義：一般的，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，且有=，那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)叫做位似中心2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比3、畫(huà)圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法： 確定位似中

9、心；確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；描出新圖形 （2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘于同一個(gè)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為第五章 投影與視圖一、投影：物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象，影子所在的平面叫做投影面1、中心投影：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。如物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子就是中心投影2、平行投影：由平行光線形成的投影叫做平行投影。如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子（簡(jiǎn)稱日影）就是平行投影。若平行光線與投影面垂直，則這種投影稱為正投影二、三視圖1、

10、視圖：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖2、三視圖概念：（1）主視圖：從正面得到的視圖叫做主視圖，反映物體的長(zhǎng)和高 （2）左視圖：從左面得到的視圖叫做左視圖，反映物體的長(zhǎng)和寬 （3）俯視圖：從上面得到的視圖叫做俯視圖，反映物體的高和寬3、三視圖特點(diǎn)：（1）主視圖和俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正 （2）主視圖和左視圖的高平齊 （3）左視圖和俯視圖的寬相等第六章 反比例函數(shù)一、定義：一般的，形如的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。其中是自變量，是函數(shù)。自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)二、表達(dá)式：1、； 2、； 3、三、圖象與性質(zhì)1、圖象：由兩條曲線組成（雙曲線）2、性質(zhì)：函數(shù)圖象所在象限增減性第一、

11、 三象限在同一象限內(nèi)，隨的增大而減小第二、 四象限在同一象限內(nèi)，隨的增大而增大越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)3、反比例 函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義 如圖，在反比例函數(shù)上任取一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積4、對(duì)稱性：（1）中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn) （2）軸對(duì)稱：對(duì)稱軸為直線和直線對(duì)邊鄰邊斜邊ACBb第七章 直角三角形的邊角關(guān)系一、銳角三角函數(shù) 在中，則的三角函數(shù)為定 義表達(dá)式取值范圍關(guān) 系正弦(A為銳角)余弦(A為銳角)正切(A為銳角)二、特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1三、解直角三角形1、直角三角形的邊角關(guān)系：（1）兩銳角關(guān)

12、系： （2）三邊關(guān)系：（勾股定理） （3）邊角關(guān)系：， ，2、解直角三角形的類型和解法已知條件圖形解法對(duì)邊鄰邊斜邊ACBb已知一直角邊和一個(gè)銳角已知斜邊和一個(gè)銳角已知兩直角邊已知斜邊和一條直角邊第八章 二次函數(shù)一、概念：一般的，若兩個(gè)變量，之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成的形式，則稱是的二次函數(shù)，其中，是自變量， 分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)1、圖像與性質(zhì)函數(shù)圖象性質(zhì)開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下開(kāi)口向上開(kāi)口向下對(duì)稱軸直線直線增減性當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，隨的增大而增大當(dāng)時(shí)，

13、隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而增大；時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小頂點(diǎn)最值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最大值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最小值拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最大值2、拋物線與的關(guān)系決定拋物線開(kāi)口方向，拋物線開(kāi)口向上；，拋物線開(kāi)口向下決定拋物線開(kāi)口大小越大，開(kāi)口越小決定拋物線對(duì)稱軸位置，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸為軸；，對(duì)稱軸在軸左側(cè)； 同號(hào)在左，對(duì)稱軸在軸右側(cè) 異號(hào)在右決定拋物線與軸的交點(diǎn)位置，拋物線過(guò)原點(diǎn)；，拋物線與軸交于正半軸；，拋物線與軸交于負(fù)半軸決定拋物線與軸的

14、交點(diǎn)時(shí)，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，與軸有一個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，與軸沒(méi)有交點(diǎn)決定頂點(diǎn)位置頂點(diǎn)坐標(biāo)為三、二次函數(shù)表達(dá)式的確定。確定二次函數(shù)表示的方法仍是待定系數(shù)法，有以下三種方法：1、一般式：若已知拋物線過(guò)三點(diǎn)，一般設(shè)函數(shù)表達(dá)式為2、頂點(diǎn)式：若已知拋物線的頂點(diǎn)是，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為3、交點(diǎn)式：若已知拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式四、二次函數(shù)的平移規(guī)律移動(dòng)方向平移前的表達(dá)式平移后的表達(dá)式簡(jiǎn)記向左平移個(gè)單位左加向右平移個(gè)單位右減向上平移個(gè)單位上加向下平移個(gè)單位下減注意平移之前函數(shù)表達(dá)式必須先化為頂點(diǎn)式五、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)；有一個(gè)交點(diǎn)；沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)圖象與軸有

15、交點(diǎn)時(shí)，令，解方程就可以求出與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的根拋物線與軸的交點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根一個(gè)交點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根沒(méi)有交點(diǎn)第九章 圓一、圓的有關(guān)概念和性質(zhì)1、圓的基本概念：（1）圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑（2）弦、直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做??；大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣?。?）等圓、等?。耗軌蛑睾系膱A叫做等圓；能夠重合的弧叫做等弧（5）圓心角：頂點(diǎn)在圓心，端點(diǎn)在圓上的角叫做圓心角（6）圓周角：定點(diǎn)和端點(diǎn)都在圓上的角叫做圓周角2、圓的性質(zhì) （1）圓是軸對(duì)稱圖形，任

16、意一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸；圓也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心（2）把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得到的圖形都與原圖形重合（3）過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓二、與圓有關(guān)的定理和推論文字語(yǔ)言圖形幾何語(yǔ)言圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等在同圓或等圓中，1、圓心角相等：2、弧相等：3、弦相等：以上條件知其中一個(gè)可得其二推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等圓周角定理定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的圓心角度數(shù)的一半 是所對(duì)的圓心角，是所對(duì)的圓周角，推論1：同弧或等弧所對(duì)

17、的圓周角相等和都是所對(duì)的圓周角推論2：直徑所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑是的直徑是所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓周角 是的直徑推論3：圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)四邊形是的內(nèi)接四邊形 垂徑定理定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是的直徑， 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是的直徑，于點(diǎn) ，三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1、點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系文字語(yǔ)言圖形幾何語(yǔ)言點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有:點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上點(diǎn)在園內(nèi)點(diǎn)在圓外直線與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為則有：相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和相交相切：

18、直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)直線和相切相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線和相離2、切線的性質(zhì)與判定（1）切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（2）切線性質(zhì)的推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心（3）切線判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線 如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（4）切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角3、三角形和圓定義外心、內(nèi)心性質(zhì)圖形三角形外接圓經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫