數學建模-差分方程

1、 差分方法不僅廣泛用于建立離散的數學模差分方法不僅廣泛用于建立離散的數學模型過程中，而且在連續(xù)模型化為離散模型型過程中，而且在連續(xù)模型化為離散模型的數值計算中也有著十分重要而廣泛的應的數值計算中也有著十分重要而廣泛的應用。如微分方程與偏微分方程的數值解法。用。如微分方程與偏微分方程的數值解法。今天僅就有關差分方程的知識作簡要介紹今天僅就有關差分方程的知識作簡要介紹,并介紹幾個實例并介紹幾個實例.1 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型2 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長4 4、差分方程模型、差分

2、方程模型1 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型問問 題題供大于求供大于求現現象象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降價格下降減少產量減少產量增加產量增加產量價格上漲價格上漲供不應求供不應求描述商品數量與價格的變化規(guī)律描述商品數量與價格的變化規(guī)律數量與價格在振蕩數量與價格在振蕩蛛蛛 網網 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格消費者的需求關系消費者的需求關系)(kkxfy 生產者的供應關系生產

3、者的供應關系減函數減函數增函數增函數供應函數供應函數需求函數需求函數f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設設x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網

4、網 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網模型的一致方程模型與蛛網模型的一致)(00 xxyykk 商品數量減少商品數量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的

5、敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度生產者對價格的敏感程度 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經濟穩(wěn)定經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經濟實力控制數量不變靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0 x0gf結果解釋結果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直供應曲線變?yōu)樨Q

6、直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產者根據當前時段和前一時生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。段的價格決定下一時段的產量。)(00 xxyykk生產者管理水平提高生產者管理水平提高設供應函數為設供應函數為需求函數不變需求函數不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數差分方程二階線性常系數差分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由

7、初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣2 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動背背景景 多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分分析析 體重變化由體內能量守恒破壞引起體重變化由體內能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量

8、）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數體重指數BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假設模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當于相當于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運動引起的體重減少

9、正比于體重，且與運動）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關；形式有關； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量，體重維持不變?，F欲減肥至體重維持不變。現欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（少，直至達到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標第二階段：每周吸

10、收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。）給出達到目標后維持體重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數確定某甲的代謝消耗系數即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數代謝消耗系數(因人而異因人而異

11、)1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運動情況的兩

12、階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm

13、, w(k)減至減至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運動運動 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或自行車10小時小時), 14周即可。周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃）第二階段增加運動的減肥計劃根據資料每小時每千克體重消耗的熱量根據資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步

14、跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動每周運動時間時間(小時小時)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(3）達到目標體重）達到目標體重75千克后維持不變的方案千克后維持不變的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數保持某常數C，使體重，使體重w不變不變wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運動不運動)(168007

15、5028. 08000千卡C 運動運動(內容同前內容同前)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點(與與r大小無關大小無關)離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時刻的數量時刻的數量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數量代的數量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點是平衡點kkyNrrx) 1( 1r

16、b記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點的平衡點brrx111*(1)的平衡點的平衡點 x*代數方程代數方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點的平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定平衡點

17、1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點的不穩(wěn)定平衡點補充知識補充知識一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點及穩(wěn)定性的平衡點及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點平衡點bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點為點為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/

18、bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數值計算結果數值計算結果bx11*b 3.57, 不存在任何收斂子序列不存在任何收斂子序列混沌現象混沌現象4倍周期收斂倍周期收斂)1 (1kkkxbxx的收斂、分岔及混沌現象的收斂、分岔及混沌現象b7.4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，

19、討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設與建模假設與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個年齡組，記個年齡組，記i=1,2, , n 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個體數量為對象以雌性個體數量為對象 第第i 年齡組年齡組1雌性個體在雌性個體在1時段內的時段內的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時段內的死亡率為時段內的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假設假設與與建模建模xi(k)時段時段k第第i 年齡組的種群數量年齡組的種群數量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量預測任意時段種群預測任意時段種群按年齡組的分布按年齡組的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)() 1(11kxbkxinii(設至少設至少1個個bi0)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數學知識穩(wěn)定狀態(tài)分析的數學知識nkk, 3 , 2,1 L矩陣存在矩陣存在正單特征根正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),