數(shù)列問題求解中的方程的觀念的應(yīng)用

1、數(shù)列問題求解中的方程的觀念的應(yīng)用作者：陜西洋縣青年北路教師第二小區(qū) 劉大鳴1 通項公式求解中方程思想的應(yīng)用。a11,a12,a13,a1nA22,a22,a23,a2nan1,an2,an3.ann 求數(shù)列，的通項公式.4 n 個正數(shù)排成下表所示的n行n列，其中第一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均相等，又a42=1/4,a43=3/8,a24=2,試探求數(shù)列求數(shù)列的通項公式aij.【學習體驗】 數(shù)列問題求解中注意遞推關(guān)系和一般數(shù)列切入點的認識，常由項數(shù)的任意性和題設(shè)條件構(gòu)建方程組轉(zhuǎn)化求解。1 由項數(shù)的任意性構(gòu)建方程組化歸等比型數(shù)列“累乘法”求解。相減整理有，2 可特殊賦

2、值構(gòu)建方程組求解；若注意等式左端為等比與等差數(shù)列對應(yīng)項的積構(gòu)成的和，用“錯位相減法”構(gòu)建方程組，3：本題實質(zhì)是求等差型數(shù)列的通項，為降低難度設(shè)計構(gòu)造了一個輔助數(shù)列為等比數(shù)列，方程的觀念再用累加法求通項.從遞推關(guān)系和題設(shè)入手，則是等比數(shù)列，故，類加法得，簡析：挖掘題設(shè)條件，將已知用第一行的數(shù)來表示，構(gòu)建方程組待定首項和公差及公比，從而探求通項.由題設(shè)有，1/4=a42=a12q3=(a11+d)q3,a43=a13q2=(a11+2d)q2=3/8,a24=a14q=(a11+3d)q=2,相除再代入易求a11=d=1,q=1/2,則通項公式 2應(yīng)用問題中方程思想的應(yīng)用。1(猴子分桃子問題) 一

3、大堆桃子是5個猴子的公共財產(chǎn)，它們要平均分配。第一猴子來了，它左等右等，別的猴子都不來，變動手把桃子均分成5堆，還剩1個，它覺得自己辛苦了，當之無愧地把這1個無法分配的桃子吃掉，又拿走了5堆中的一堆；第二個猴子來了，它不知道剛才發(fā)生的情況，又把桃子均分成5堆，還是多1個，它吃了這1個，拿走了其中的一堆；以后，每個猴子來了，都如此。請問原來至少有多少個桃子？2 一次競賽在n(n>1)輪中共發(fā)了m枚金牌，已知在第一輪中發(fā)了1枚后，又發(fā)了余下的 m-1枚的在第二輪中發(fā)了2枚后，又發(fā)了余下的，直至第n輪正好發(fā)了n枚金牌而沒有剩下金牌，則在這個競賽中共進行了幾輪比賽？一共發(fā)了多少枚金牌？1 簡析

4、：方程組的觀念構(gòu)建相鄰兩項滿足一階線性關(guān)系的模型,用等比數(shù)列求和或輔助數(shù)列為等比數(shù)列求解。設(shè)第n個猴子取走桃子后剩余桃子數(shù)為an,則第n+1個猴子來時把桃子分為5堆，還多1個，它取出應(yīng)得的1堆和多余的1個桃子，所剩的桃子數(shù)為an+1 注：這個問題是由物理學家狄拉克提出來的。79年著名物理學家李政道在和中國科技大學少年班的同學座談時向他們提出過這個題目，當時，誰也沒有當場做出回答.2：構(gòu)建每論所發(fā)金牌數(shù)滿足的關(guān)系，方程組的觀念構(gòu)建相鄰兩項滿足的一階線性遞推關(guān)系，化歸輔助數(shù)列為等比數(shù)列求解。 在第k輪比賽中共發(fā)了枚金牌，依題意有兩式相減整理由題設(shè)知 ，所以求和有 注：本題求解中方程的觀念起指導作用

5、，相鄰兩式相減探求遞推關(guān)系，構(gòu)建輔助數(shù)列求通項再解出所求通項都用方程的觀念溝通。3 用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部專塊的一半多一塊，第二層用去剩下的一半多一塊，依次類推，每層都用去了上層剩下的磚塊的一半多一塊，如果到第九層恰好磚塊用完，那么一共用了多少塊磚？3：研究遞推關(guān)系中，目標意識、方程的觀念解出和的表達式探究發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。設(shè)共有S筷磚，每次用磚數(shù)依次為：4 一列火車自A城駛往B城，沿途有n個車站（含起點A和終點B），車上有一解郵政車廂，每?？恳徽咀円断虑懊娓髡景l(fā)往該站的郵袋一個，同時又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個，試求第幾站的郵袋數(shù)最多？最多是多少？簡析：理解實際意義，每停靠一

6、站變要卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋一個，同時又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個探究其規(guī)律，化歸二次函數(shù)最值，分奇數(shù)和偶數(shù)解決。設(shè)列車從第K站出發(fā)時，郵車內(nèi)共有個郵袋。第一站不應(yīng)帶走本地發(fā)往下n-1站的郵袋，第二個車站除將上站帶來的n-1個郵袋留下1個外，還應(yīng)帶走發(fā)往以后各站的n-2個郵袋，第三個車站除將上兩站帶來的個郵袋留下兩個外（第一、二站來的郵袋各1個），還應(yīng)帶走發(fā)往以后各站的n-3個郵袋，如此類推，第k個車站除將前面站帶來的個郵袋留下k-1個外,還應(yīng)帶走發(fā)往以后各站的n-k個郵袋，【實戰(zhàn)演練】 2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是N，且f(1)=1滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，求f(

7、n).(n)3學校餐廳每天供應(yīng)1000名學生用餐，每星期一有兩樣菜A，B可供選擇（每人選一樣菜）調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A菜的下星期一會有20%改選B，而選B的，下星期一會有30%的改選A，若用An,Bn分別表示在第n個星期分別選A，B的人數(shù)，若A1=a,B1=b,(a,b為自然數(shù))，求An,Bn. 1 由一般數(shù)列的切入點構(gòu)建方程組，化歸等比型數(shù)列求通項，方程組的觀念累乘法求得2以抽象函數(shù)背景出現(xiàn)，創(chuàng)造使用對應(yīng)法則，由一般數(shù)列的切入點構(gòu)建方程組，化歸為“等差型數(shù)列”用“累加法求通項”.賦值探求相鄰項關(guān)系。令x=n,y=1,則f(n+1)=f(n)+f(1)+n,變形有，f(n+1)-f(n)=n+1.故f(n)=an為“等差型數(shù)列”，取n-1個等式累加有，an=(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)+a1=2+3+4+n+1=3簡析：閱讀理解基礎(chǔ)上，方程組的觀念構(gòu)建相鄰項之間的線性遞推關(guān)系。易得，An+1=0.8An+0.3Bn,Bn+1=0.2An+0.7Bn,而已知有，An+Bn=1000,所以有，An+1+Bn+1 =An+Bn=1000代入上式可得相鄰項間的遞推關(guān)系式為，An+1=0.5An+300,Bn+